对一道平面向量模考题的探究与思考

华志远 (江苏省无锡市第一中学 214031)

在无锡市2021年秋学期高三期中考试中，第20题是一道以三角形为背景的平面向量试题．统计表明，该题难度系数仅为0.15，得满分者更是寥若晨星．从题面上看，试题内容看似平实，实则内涵极为丰富；试题呈现方式简洁，提出问题逐级深入；涉及知识综合有度，方法灵活多样；具有较强的探索性，深度检测了数学素养，充分体现了新高考评价体系的精神，即把关键能力作为高考评价的核心指标和因素．从题干上看，本题从三角形的基本量和点线的位置关系出发，通过引入向量语言，使数与形有机结合．第(1)问是求两条线段的比值，属于几何问题；第(2)问是求两个向量数量积的最小值，属于代数问题，从而使试题具有较强的探索性和开放性，学生可以从平面向量的多个维度寻找解题突破口，并利用向量共线定理进行转化，而数量积的最值可利用基本不等式或求导获得答案．由于学生解答情况较差，因此我们对本题作重新研究、评估和反思．本文试图通过探索该题的命题背景，尝试一般的解题策略，依托数学思想方法，引领学生走出思维误区，以发展学生的能力和素养．

1 试题及背景分析

试题

在△

ABC

中，已知为

BC

的中点，

E

为边

AB

上的一个动点，

AD

与

CE

交于点

O

．设

(1)若求的值；

(2)求的最小值．

分析

从几何维度去分析，本题第(1)问求两线段的比值，容易想到构造相似三角形求解，因

D

是

BC

的中点，故可以取

CE

的中点

F

，则

DF

∥

BE

，且(图1)．再由△

ODF

∽△

OAE

，得到的值，进而求得的值．事实上，若将△

BEC

看成被直线

AD

所截，则由梅涅劳斯定理可直接得出结论，这正是这道试题的平面几何背景．

图1

从向量维度去分析，本题首先可以选定一组基向量然后将

C

,

O

,

E

和

A

,

O

,

D

三点共线转化为向量的共线，再利用共线向量定理进行转化．也可以利用三点共线的一个重要模型，即以为基向量，则

C

,

O

,

E

三点共线的充要条件是其中

λ

+

μ

=1，从而实现解题目标．从建系维度去分析，根据三角函数定义，应以

A

为原点，

AB

为

x

轴，这样有利于写出各个点的坐标，从而将向量问题转化为坐标的代数运算．

2 解法探究

(1)

解法1

(利用相似三角形性质)由题设，得取

CE

的中点

F

，连结

DF

，则

DF

∥

BE

，且由△

ODF

∽△

OAE

，得于是

解法2

(利用梅涅劳斯定理)在△

BEC

中，直线

AD

与三边所在直线分别相较于

O

,

A

,

D

，得由条件得故

解法3

(利用基向量法)由

C

,

O

,

E

三点共线，可设即得同理，可设由此得解得所以

解法4

(利用重要模型)设因故由

C

,

O

,

E

三点共线，可设由得于是故即

解法5

(建立坐标系法)以

A

为坐标原点，

AB

为

x

轴，建立直角坐标系(图2)．由三角函数的定义得的中点设

O

(

x

,

y

)，由而故解得设解得

λ

=4，于是

图2

解法6

(利用解析几何法)建系写坐标与解法5类似，只是在求点的坐标时，由直线及直线求得它们的交点坐标再利用距离公式，求得(2)

解法1

(与(1)中解法1类似)由题意，得

AE

=2

x

，

BE

=2-2

x

，

DF

=1-

x

．由△

AOE

∽△

DOF

，得故于是从而令

x

+1=

t

，由

x

∈[0,1]，得

t

∈[1,2]．于是当且仅当即时，的最小值为-4．

解法2

(与(1)中解法3类似由(1)中解法3得解得代入上式，得设则令

f

′(

x

)=0，得故当时，

f

′(

x

)<0，

f

(

x

)在上单调递减；当时，

f

′(

x

)>0，

f

(

x

)在上单调递增，故当时，

f

(

x

)有极小值，也是最小值.由得的最小值为-4．

解法3

(与(1)中解法4类似由

C

,

O

,

E

三点共线，得于是后面同上．

解法4

(与(1)中的解法5、6类似)设

O

(

x

,

y

)，

E

(2

x

,0)，则由得解得(也可用解析几何求交点的方法求得答案)．于是求得后面同上．

3 解法评价

数学解题中，不同的思维视角对解题的长度、逻辑推理及数学运算产生较大影响，其中确立思维的起点最为重要．以《平面向量》一章为例，通常可以从几何法、基向量法、坐标法、数量积等作为思维的开启，在解题目标的驱使下作合理的选择、调整和实施．如本题若从图形上加以整体分析，则利用平面几何知识，可使解题显得一气呵成、简洁明了，这对学生的直观想象素养提出了要求；若从向量角度思考，则要选好基向量，并通过其线性运算，结合向量的共线找到其中的内在联系，但由于本题图形中涉及的点线较多，许多学生解题时产生了“原地打转”的现象，思维缺乏进阶；若从坐标法去分析思考，则关键要建立适当的坐标系，写出相关点及向量的坐标，同时对数学运算的目的性、条理性及准确性提出了较高的要求．由此可见，只有让学生形成大单元的视野，掌握主干知识结构和体系，依据数学思想方法，才能自然地找到思维的起点，并在思维导图的引领下，实现解题的目标．从考试卷面上看，首先众多学生面对问题无所适从，因而零分率超过60%，说明在复习教学中，学生的认知体系构建存在不足；其次是解题的目标意识不强，在探寻结论与条件的关系时，找不到中间转化的量(线段长、向量或坐标)，从而使思维受挫；再次是逻辑推理、数学运算、直观想象等数学素养有待进一步提高，尤其是利用坐标法求解的学生，无论从坐标系的建立，还是运算的正确率都有待加强．

4 走出解题困境

著名数学及教育家G·波利亚在《怎样解题》一书中，将数学解题分为四个步骤，即审题联想、拟定计划、实施解答和回顾反思．审题联想是从宏观上要求解题者理解题意，弄清条件与结论，并产生有效联想，从而找到解题目标，其中包括信息的获取与检索、题目与知识的关联性以及思维起点的确立等；拟定计划是从中观上要求解题者在明晰方向后，形成具有可操作性的解题步骤，即从条件与结论的联系出发，运用数学思想方法作引领，尽量将复杂的、陌生的问题化归为简单的、熟悉的问题；实施解答是从微观层面上动手操作，要求解题者利用数学知识和通性通法，进行有条理的推理和演算，并在解题过程中加以监控、调整和优化；回顾反思则是指既要总结解题成功的经验，又要反思解题失败的教训，并从认识论、方法论、价值论的维度加以提炼，促进解题者理性思维的发展，从而不断积累数学活动经验，提高“元认知”能力．以这道模拟考题为例，如果我们从这一解题理论去指导学生分析和解决问题，那么对学生构建《平面向量》一章的认知结构、优化思维品质、提升关键能力，都会起到积极的引领作用．