有理可循 有图可见

孙鑫

【摘   要】教师要让学生经历用直尺和圆规画三角形的过程，引导学生探索“两边之和大于第三边”并说出其中的道理。以唐彩斌老师在“白马湖之秋”课堂教学节上展示的《借助尺规再探三角形》一课为例，唐老师通过情境导入，了解“说理”基础;通过活动展开，探索“画图”方法;通过借图说理，体会三角形三边关系;最后引导学生进行归纳概括，感悟“其中”道理。这部分内容的教学对一线教师有一定的借鉴意义。

【关键词】尺规作图;三角形;说理;推理

《义务教育数学课程标准（2022年版）》与《义务教育数学课程标准（2011年版）》相比，有一些新的变化。其中有一个变化是对三角形认识的学习内容作了调整。调整后，第三学段（5～6年级）在“教学提示”中要求“图形的认识教学要引导学生经历基于给定线段用直尺和圆规画三角形的过程，探索三角形任意两边之和大于第三边，并说出其中的道理……”唐彩斌老师在2021年“白马湖之秋”课堂教学节上了一节《借助尺规再探三角形》的研讨课，让学生对三角形的认识从感性走向理性，让学生的表达“有理可循”，理解“有图可见”，为一线教师提供了一节“如何引导学生‘尺规作图’”的教学示范课。

一、情境导入，了解“说理”基础

数学教学要“知其然”，更要“知其所以然”。学生理解数学知识时，应“说出其中的道理”。我们一直认为小学生受年龄特点、心理特征、知识储备等限制，“说理”是一件很困难的事情。其实，数学学习中让学生“说出其中的道理”是对数学知识原理的理解，对数学知识的深层次思考。

师：四年级同学听说我今天要给六年级的同学上有关“三角形”的课，他们很不服气。他们说，他们也认识三角形，这是他们的讨论发言，咱们一起来看一看（出示图1）。

师：这些发言，你们同意吗？如果不同意，请说说你的理由。

生：第一个同学说的是对的。第二个同学忽略了重合的情况，所以她的说法是错的，第三个和第四个同学纠正了她的错误，没问题。最后一个同学说的是对的。

生：你前面的说法我都同意，但你认为最后一个同学说得对，这我不同意。“三角形由三条线段围成”是对的，“三条线段就能围成一个三角形”不对。如果三条线段是曲线就不行。

生：我们学过，线段是一条直的线，它有两个端点。所以说是线段，就已经说明不是曲线了。

师：大家听明白了吗？她说得有理由有根据，这样的表达让人信服！所以最后一个同学说的也是对的，大家同意吗？

（多数学生点头，少数学生举手）

生： 三角形是由三条线段围成的，但不是所有的三条线段都能围成三角形。

（更多的学生表示赞同）

师：数学是讲道理的，今天我们就这个问题再来探讨一下。

唐老师通过创设情境，以微信群讨论的形式引入教学，引导学生对“群讨论”的内容是否正确进行判断，让学生在交流中“有道理”地说明自己的理由，对三角形的认识和性质进行思考和辨析，为后续“说理”奠定基础。

二、活动展开，探索“画图”方法

动手操作是大脑和手的协同活动，体现了“做中学”的理念，学生在动手中激发好奇心，在动脑中拓展思维。唐老师以“画给定边长的三角形”为活动主题，引导学生在任务驱动下完成“尺规作图”的过程。

（一）独立尝试，画给定边长的三角形

出示问题：有4组线段，第一组边长分别是4、5、6;第二组边长分别是3、4、8;第三组边长分别是3、5、8;第四组边长分别是5、5、5（单位：cm）。请你判断，哪一组能围成三角形？哪一组不能围成三角形？

（经过集体判断后，学生开始独立尝试画第一组三角形）

师：我来调查一下大家的画法。在画这个三角形的时候，用过两次以上橡皮的请举手（绝大多数学生举手）。用尺子就把这个三角形画成功的请举手（少部分学生举手）。

（展示学生作品1，如图2）

师：他第一条画的是6cm线段，第二条画的是4cm线段。于是这位同学就去量最后这条线段两点之间的距离，一量却发现那一段……

生：不是5cm。

师：不是5cm，他总不好意思很违心地就把它连起来，怎么办？所以很多同学和他的经历差不多，就把这一条擦掉，重新再画过，但画了好几次都没有成功。

师：也有运气很好的同学，成功了，我们一起来看看。

（展示学生作品2，如图3）

生：老师，你仔细看，会发现5cm的那條和4cm那条还差一点点，我刚才也试了好几次，总差一点，太难了。

师：在不断地尝试中，总想找到刚好画上去是5cm，但又不要影响那个4cm，看起来还行，但自己总觉得还差那么一点点。

让学生独立探索画“给定边长的三角形”是有一定难度的。唐老师让学生经历尝试的过程，学生在实践中会对“画三角形”这个任务的难度有深刻的体会。同时，好奇心将驱使学生进一步思考：有没有方法可以比较方便地画出标准的三角形呢？这为学习尺规作图的方法奠定了心理基础。

（二）示范演示，讲解用尺规作图画三角形的基本方法

师：画三角形好像没有看起来那么简单，有没有不用体验那么多挫折感，就能画出给定边长的三角形的好办法呢？

（教师利用几何画板演示，先画一条长6cm的线段）

师：我们要做的是找一个点，这个点到6cm线段一个端点的距离刚好是4cm，我们遇到的困难是这个点连接6cm线段的另一个端点时，长度不是5cm。其实到这个点距离等于4cm的点有很多，在很多个点中总有一个点是符合要求的。

师：用什么工具可以帮助你找到很多距离这个点是4cm的点？

生（全体）：圆规。

（教师用圆规演示，以6cm线段的一个端点为圆心，圆规两点之间的距离为4cm，画一条弧线）

师：我们再看6cm线段的另外一个端点，圆规两点之间的距离是几？现在你有办法了吗？

生：（兴奋地）我知道了！用圆规，以6cm线段的另一个端点为圆心，两点之间距离为5cm画一条弧线。这两个弧相交的地方就是我们要找的点。

师：你们能听懂他说的吗？是什么意思？

生：我明白了，左边这条弧上所有的点到左边端点的距离都是4cm，右边这条弧上所有的点到右边端点的距离都是5cm。两条弧相交的点，既满足到左边端点距离等于4cm，又满足到右边端点距离等于5cm，太标准了！

生：画完以后把弧线擦掉，再这样把这个点和线段两边的端点连起来，就是一个符合要求的三角形。

学习过程是知识同化与顺应的过程，在这个过程中，学生的学习动机起到非常重要的作用。所谓“不愤不启，不悱不发”，唐老师在学生画图遇到困难的时候，提供了“圆规可以帮忙”的引导，学生在这一思路的引领下，想到“找两条弧长的交点确定三角形第三个顶点位置”的方法。学习成了学生自我成长、自我挑战、自我完善的过程。

三、借图说理，体会三角形三边关系

（一）尝试交流，体会三角形“任意两边之和大于第三边”的原因

师：刚刚大家尝试画了边长为4、5、6和5、5、5的两个三角形。我们知道用边长为3、4、8和3、5、8的两组线段，画不出三角形。你能用“画”的办法，说明为什么画不出来的道理吗？

生：如果线段长度为3、4、8的话，先画一条长4cm的线段，再以一个端点为圆心画一个半径为3cm的圆，以另一个端点为圆心画一个半径为8cm的圆。这个小圆被包含在大圆里面，永远都不可能有交点，也就是说找不到第三个点，所以画不出来。

师：看来大家已经可以用画的办法，说明长度是3、4、8cm的线段是组不成三角形的。还有同学觉得不用画，也能说明它是组不成三角形的。谁能来说说理由？

生：因为三角形的任意两条边之和必须大于第三条边。

师：那么我们是不是要两两组合都试一下，比如说8+4是不是大于3，也需要试吗？

生：我觉得只要算这三条边中较短的两条边就可以了。因为最长的那条边无论和谁加起来都会比最后一条边长。

师：就看短的两条边就行了。刚刚还有一种情况是线段长为3、5、8，3+5刚刚好等于8，刚刚好行不行？

生：3加5等于8，两条线重合了。我们想象一下，先画一条8cm长的线段，到左边这个端点等于3cm的点和到右边端点等于5cm的点，会有交点吗？如果有，交点会在哪个地方？

师：可以把它画出来。

生：（一边画一边说）它们相交的点刚刚好在这条8cm长的线段上，它不是一个三角形。

（其他学生点头表示同意）

师：所以不是所有的三条线段都能组成三角形。对于三条线段能不能组成三角形，我们通常用什么方法去判断？

生：任意两边之和大于第三边。

师：我们原来就知道这个“原则”，现在的知道和以前的知道之间有没有什么不一样的地方？

生：我现在能够用画的方法，更有道理地说明为什么这样了！

以上过程，唐老师引导学生用“画”的方法，对三角形三边关系，从“知其然”自然地上升到了“知其所以然”，学生对“数学是讲道理的”有了更深刻的感悟与理解。

（二）拓展应用，利用三角形三边关系解决问题

“抽盲盒”活动：图4中，有三个高度为4cm的盲盒，每个盲盒里面都装有竖着放置的三根长度是整厘米数的小棒。

师：请你闭着眼睛来抽盲盒，无论抽到哪一个盒子都要做出判断，说清这个盒子里的三根小棒能不能围成一个三角形。先想一想抽到哪一个可以围成三角形，哪一个不能，可以相互商量一下。

（学生先独立思考，再同桌交流）

师：你心里最想抽到的是几号？

生：①号。

师：为什么？

生：因为①号三根都看见了，不管怎么样都能围成一个三角形。

（学生抽到了②号）

师：你抽到了②号，能判断它里面的三根小棒是否可以围成三角形？

生：②号盲盒里有两根小棒的长度是看到了的，一根长6cm，一根长8cm。另外一根看不到，说明看不到的那根小棒的长度小于或等于4cm。如果它的长度是1cm或2cm，那么这根小棒加上6cm长的小棒都不能大于8cm，就围不成三角形。如果它的长度是3cm或4cm，那么和6cm加起来就大于8cm，能围成三角形。

师：如果他抽中的是③号，能判断出是否能组成三角形呢？

生：不能组成。

师：一定不能组成，还是不一定能组成？

生：一定不能。因为③号只有一根8cm的小棒是可以看得到的，还有两根肯定是等于或者小于4cm，就算两根小棒都是4cm，两根加起来也只是刚好等于8，所以说它想要连成三角形是不可能的。

师：假如还有一个盲盒，一根小棒的长度都看不到，你还能判断吗？

生：不一定！

师：有一个同学偷偷地瞄了一眼，发现了一个重要的信息，她说三根都是一样长的，可不可以？

生（全体）：可以。

师：她说有两根一样长的。

生（部分）：可以。

师：说说理由。

生：如果三根一样长，可以围成等边三角形。如果两根一样长，比如其中两根是3cm，有一根是1cm，那么1+3=4比3大，那就一定能围成。如果两根一样长，都是2cm，另外一根是1cm，1+2=3，比2大，也可以。

生：我有不同意見，如果有两根是1cm的，还有一根是3cm的就不行。只要有一种情况不行，就不能说可以，只能说不一定。

师：看来一个盒子里面蕴含的问题还挺多，但是我认为我们看见也好，看不见也好，在判断它能不能组成三角形的时候，都依据了一条重要的规律，是什么？

生（全体）：任意两边之和大于第三边。

以上过程中，唐老师以猜盲盒的形式拓展学生的思考空间。学生以“任意两边之和大于第三边”为应用依据，判断小棒是否可以围成三角形。从“三根小棒都能看见”为起点，过渡到“两根小棒能看见”“一根小棒能看见”再到“三根小棒都看不见”，学生不但能从知识本身出发进行“说理”，也能结合实际，注意到盒子长度的隐性条件进行思考，从而解决问题。在这个过程中学生的表达非常精彩。这些精彩来自教师之前对“说理”的铺垫，来自学生在动手“画”的过程中的体悟。

（三）归纳概括，感悟“其中”道理

师：咱们根据“三角形任意两边之和大于第三边”解决了盲盒的问题。这句话是怎么来的呢？你有没有怀疑过这句话？这句话一定正确吗？

生：我们首先假设三角形的一条边等于另外两条边的和，就像刚才我们用圆规画三角形一样，以短的两条边为半径画成的两个圆只有一个相交的点，就是在那条长的边上，所以不能围成三角形。然后我们再假设两条短的边的和小于长的边，那么一样这个圆就无论如何都碰不在一起，没有交点就不能围成三角形，所以三角形的任意两边之和大于第三条边。

师：他脑子里有一幅刚才我们用圆规画的图，通过有没有交点以及交点的位置判断是否可以围成三角形，这样想很好。

生：我觉得还有一个解释。三角形三条边分别为a、b、c，如果a是下面的一条长线段，b和c要是能和a一起组成一个三角形，相当于它们两个连在一起至少相当于a的上面（或下面），这两条边像一条折了一下的线，所以它肯定比a边要长一点。

生：简单地说就是两点之间线段是最短的。

师：厉害！基于这个基本事实我们就可推理了，你能不能用一个算式来表示两边之和大于第三边的结论？

生：因为两点之间线段最短，所以a+b>c，a+c>b，b+c>a。

师：根据这样的结论，我们就可以坚定不移地说，它是一个正确的结论。这个今天反复被我们使用的结论叫什么？

生：三角形任意两边之和大于第三边。

师：这个结论千真万确，有理有据。不是我们量出来的，不是我们算出来的，而是我们基于一个基本的事实推导出来的结论，所以可以放心地使用。

本节课，首先唐老师通过恰当情境构造说理环境，充分調动学生说理的积极性和逻辑性，让学生做到了“有理可辩”;其次对学生不那么容易理解的“道理”，唐老师没有直接从判断推理进入，而是以尺规作图画三角形开始，让学生在“有图可见”中，逐步明晰道理;接着，他运用盲盒这一情境，让学生经历推理的过程，拓展思考空间，演绎了“有理可循”;最后学生经历从具象的“看到”到抽象的推理论证的过程，成就了“有据可证”。唐老师的课围绕新内容“尺规作图”，让我们看到了如何引导学生操作，怎样教会学生推理，值得一线教师深入思考，反复学习！

（浙江省湖州市安吉蓝润天使外国语实验学校313300）