浅析闭路复积分的计算方法

崔汉哲 上海电机学院

一、引言

《复变函数》是高校中众多理工科专业的一门重要的基础必修课。对于非数学专业的理工科学生而言，它为后续众多的专业课程——如《电路学》,《信号与系统分析》,《数字信号处理》等等——提供了重要的数学工具，是必须掌握的基础知识。

《复变函数》课程的具体教学内容，主要是复变量函数的微积分。详细而言，即是将《高等数学》课程中关于实变函数微积分的各类定义、定理和诸多数学结构推广到复变函数（自变量和因变值都为复数的函数）之上。在该过程中，有些内容在实变函数和复变函数上是较类似的，如函数极限的定义和计算、连续函数的概念与判断准则等。这体现了实变函数和复变函数在某些方面的相通，也显示了相关数学概念和结构的普适性。但与此同时，另外一些内容在实变函数和复变函数上就有较大的甚至是本质上的区别，如解析函数的定义与性质等。这就说明了复变函数和实变函数在本质上的区别，凸显了学习复变函数的必要性。而闭路复积分的计算方法，恰恰就属于后者。

顾名思义，微分学和积分学共同构成了微积分的主体内容。而各种类型积分的定义和计算是积分学的主要组成部分，也是教学的难点和重点所在。闭路复积分是积分曲线起点与终点完全重合的积分，是复积分的主要类型。在《复变函数》课程中，闭路积分的定义与计算方法，在篇幅上占据了非常大的比重。如教材[1]第三章的几乎全部（第一节到第四节）和第五章的三分之一（第二节）。之所以如此的一个主要原因是，计算闭路复积分所要用的各种定理和方法相当多，计有：参数方程法、柯西积分定理（或称柯西―古萨基本定理）、闭路变形原理、复合闭路定理、柯西积分公式、高阶导数公式、留数定理等。这和实变函数中的情形构成了鲜明的对比。在那里，闭路积分仅仅是从属于第二类曲线积分的一个子类型，教学篇幅限于《高等数学》下册教材正文中的几个甚至一个较简单的例子，所用的定理和方法也远不如《复变函数》课程中丰富。更重要的是，闭路复积分的计算方法几乎都是复变函数所独有的，并不是实变函数积分方法的简单复制和推广。因此，如何教好这部分内容，对《复变函数》课程的教学有着重要意义。

根据笔者的实际经验，学生（特别是非数学专业的理工科学生）在学习闭路复积分时所碰到的主要困难，如上一节所述，一是内容新，二是方法多——都是相对于实变函数的积分而言。对于具体的积分实例，初学者往往难以快速和准确判断应该用何种方法、哪个定理求解。这就要求教师在教学中，要特别注重不同定理和方法之间的联系和比较。结合具体实例的讲解，提纲挈领，分门别类，因地制宜，以使学生能对闭路复积分的内容能有整体的把握和理解。

事实上，在计算闭路复积分的众多方法和定理中，是暗含了一条主线的。随着教学进程的深入和展开，后继内容往往都是前述内容的深化和推广。例如，参数方程法中某些简单的积分实例，经由闭路变形原理推广后，就成为一个常用的重要公式。而将该重要公式中的被积函数略加变化，就成为了重要的柯西积分公式。高阶导数公式则是柯西积分公式的推广。更进一步，留数定理则是复合闭路定理、柯西积分公式和高阶导数公式的综合与深化。这就要求教师在讲授新的教学内容时，要与已授内容相结合，指明新旧定理之间的逻辑关系和具体区别。站在新定理的角度回看之前的实例，能体会到新定理的威力，也能清楚旧定理的局限，进而明确不同定理的具体对象和适用范围，从而真正掌握方法，不至于迷失在诸多纷繁复杂的定义和公式之中。以下根据教学进程，结合实例展开具体论述。

二、闭路积分的计算方法

（一）参数方程法

该方法是由复积分的定义直接推导而来，是计算所有类型复积分的最基本方法。对于初学者而言，重要的不是从积分定义推导该方法的过程，而是将该方法用于具体积分的计算。因此首先要从概念上明确“参数方程”所指为何。顾名思义，参数方程即为复积分的积分曲线的参数方程。本方法用一句话概括，即将参数方程写出后，直接代入所求复积分中，将该复积分转化为关于参数的实变函数定积分进行计算。在《复变函数》课程中主要学习如何从复积分转换为定积分，最后计算定积分的方法是《高等数学》课程中的已学内容。

需要提醒学生注意的有以下几点。1.积分曲线的参数方程要写成复数表达式。如学生直接写复数形式的参数方程有困难，则可先利用平面解析几何的知识写出实数形式的参数方程x=x(t)，y=y(t)，再由便得复数形式的参数方程。2.被积函数f(z)中的z用参数方程z=z(t)代换之后，微分同样要做代换，即。3.积分曲线是有方向的曲线段，端点有起点和终点之别。最后定积分的上下限取决于曲线段的起终点，与参数的大小无关。具体而言，积分下限对应曲线起点，积分上限对应曲线终点。二者不能混淆。

复积分的参数方程法，本质上和实变函数第二类曲线积分（即对坐标的曲线积分）的计算方法是相同的。作为学习复积分的第一种方法，学生在复习已学内容的基础上，是能够较快掌握的。而该方法要求首先写出积分曲线段的参数方程，因此它的适用范围，便是积分曲线为规则曲线的情形。对于闭路积分而言，当积分曲线为圆周或圆弧时，可试用参数方程法求积分。

解：积分曲线为圆周。故先写出参数方程为z=z0+reiθ,θ:0→2π。代入原积分，化简得。为应用牛顿―莱布尼兹公式，分两种情况分别计算原函数，最后得。

例1是一系列重要结论的开端。后文将其推广成为重要公式后，在闭路复积分的计算中时经常会用到。因此除了要求学生掌握计算方法之外，例1的结论也应记住。特别要向学生强调，区分例1的两种不同情况，不应死记硬背n的取值，而应弄清此时被积函数的具体形状。

（二）柯西积分定理

柯西积分定理又称柯西―古萨基本定理，在闭路复积分的计算中占有中心地位。首先它本身可用来计算某些特定的闭路积分。而它的一系列推论，如闭路变形原理、复合闭路定理等，则可用来计算更复杂的一些闭路积分。另外，柯西积分定理从本质上刻画了解析函数的特性，是沟通复变函数微分学和积分学的基本桥梁。

柯西积分定理是说，若被积函数f(z)的所有奇点均位于积分闭曲线C之外，则闭路积分。因此在计算任何类型的闭路复积分时，首先要找出被积函数的所有奇点，确定它们和积分闭曲线的相对位置关系，即确定积分闭曲线之内是否有或者有几个被积函数的奇点。这是计算闭路复积分的一条铁律。如果被积函数在积分闭曲线之内和之上处处解析，那么根据柯西积分定理，可直接得出积分值即为0。这种情况下不需要任何计算步骤。

柯西积分定理最简单的一个应用是如下的

【例2】若f(z)在整个复平面内处处解析，则对于任何闭曲线C，积分显然满足柯西积分定理的条件，于是。具体教学时，教师可用该例帮助学生复习已学习的解析函数的内容。例如，可让学生尝试自己写出一些常见解析函数的具体实例。

另一个常用例子是例1的推广。

（三）闭路变形原理

一般而言，柯西积分定理的条件过于理想和简化。在实践应用中需要计算闭路积分时，积分闭曲线大多都包含了被积函数的若干奇点。此时柯西积分定理的条件不再成立，需要用其它方法计算。闭路变形原理就是其中之一。

闭路变形原理是说，只要从一条积分闭曲线1C连续变形到另一条积分闭曲线C2的过程中不经过被积函数f(z)的任何奇点，那么当1C和C2的方向相同时，就有。利用该原理，可将原闭路积分的不规则曲线变形为规则曲线，再用参数方程法计算其值。

事实上，我们可将之前的例1用闭路变形原理推广成一个重要公式，在以后闭路复积分的计算中会经常用到。

解：本例的积分闭曲线和例1的共同点在于都包围z0，唯一区别是现在曲线的形状任意。而利用闭路变形原理，可将积分曲线C变形为以z0为圆心、某正数r为半径的正向圆周，积分的值不变。于是由例1的结论可得。

值得一提的是，在今后闭路积分的计算中，闭路变形原理本身并不经常被直接用到。更常用的是例4的重要公式。原因是当被积函数为有理分式时，都可用化部分分式的方法，将被积函数化简为例4中的情形。因此从理论上讲，例4解决了绝大部分有理函数闭路积分的计算问题。而在部分教材中，该重要公式只是在课文中一笔带过，甚至没有作为专门的定理或例题。因此教师在教学时更有必要通过多个实例的讲解，强调该公式在计算应用中的重要意义。

（四）复合闭路定理

将闭路变形原理推广，就得到复合闭路定理：若积分闭曲线C中包含被积函数的孤立奇点z0,z1,...,zn，则可在C中作小的简单闭曲线C0,C1,...,Cn，分别仅围绕孤立奇点z0,z1,...,zn，成立。

当积分闭曲线C中仅包含被积函数的一个孤立奇点时，复合闭路定理就成为闭路变形原理。由此可得复合闭路定理的适用范围，是被积函数在积分闭曲线之内的孤立奇点多于一个的情形。教师在讲授该定理时，应结合直观的图像，使学生明白它和闭路变形原理的区别，以免概念上的混淆。另外需要强调的是，被积函数的位于积分曲线之外的孤立奇点，对积分值没有任何影响，因此不需要作小的闭曲线围绕它们。需要考虑的仅仅是积分闭曲线之内的孤立奇点。根据教学经验，这里是学生极易犯的错误之一。

解：被积函数的两个孤立奇点1与 -1 都在C之内，因此可用复合闭路定理。在C内分别作正向的闭曲线1C仅围绕1，C2仅围绕 -1 。由复合闭路定理，原积分。再化部分分式，得原积分。最后用例4的重要公式与柯西积分定理分别计算其中的四个积分，得原积分==0。

一般有理函数的闭路积分都可用例6的方法计算。再进一步分析，例6用了复合闭路定理后，为计算有理函数的积分，需要化部分分式。但也不妨一开始就化部分分式，可直接得。也即如果要用部分分式的方法，可以直接用，没有必要先用复合闭路定理再化部分分式（这样会导致最后需要计算的积分个数较多）。如果事先用了复合闭路定理，那么往往要和下面的柯西积分公式相结合，计算会比较简便。

（五）柯西积分公式

柯西积分公式和之前的柯西积分定理，名称仅二字之差，但所计算的积分类型是较不同的。柯西积分公式是说，，这里积分曲线C为围绕z0的任意简单闭曲线，取正向。而f(z)的所有奇点都位于C之外。换言之，f(z)在积分曲线C之内和之上是处处解析的。

在教学时，公式的证明是次要的。教师需要向学生着重指出，柯西积分公式是例4的重要公式在n=0情形的推广。两者的唯一区别就在于被积函数的分子项，从例4的常数函数变为现在的一般函数f(z)。也即若此时的f(z)≡1，那么柯西积分公式就成为例4。而对积分曲线的要求是相同的。另外柯西积分公式也从本质上刻画了解析函数的特性，即解析函数的函数值可以写成曲线积分的表达式。但从应用的角度看，柯西公式的价值首先体现在计算闭路积分上。

另外由柯西积分公式的具体内容可知，它的适用范围，也是积分闭曲线C仅仅包围被积函数的一个孤立奇点。且应用公式之前，需要先将被积函数恒等变形成的形状，验证公式的条件都满足以后，才可写出公式的结论。

解：在C内分别作C1仅围绕1，作C2仅围绕 -1，均取正向。由复合闭路定理得原积分。以下用柯西积分公式计算这二个积分。

为此首先需要将被积函数变形为柯西公式中的形状。注意到C1围绕1 但不围绕 -1，于是，也即在柯西公式中，z0=1，f(z)=。这时公式的条件都满足，直接得到。类似可得。于是原积分=πi-πi=0。

（六）高阶导数公式

高阶导数公式在解析函数的高阶导数和闭路积分之间建立了联系。从计算的角度出发，教学重点应是用高阶导数计算闭路复积分。教师应向学生比较其与柯西积分公式的区别和联系，指出它们的唯一不同即在于被积函数的分母。如果分母是一次幂函数，那就是柯西积分公式；如果分母的幂次大于一次，则为高阶导数公式。换言之，若在高阶导数公式中令n=0，则该公式即成为柯西公式。而其余条件：对积分曲线段的要求，被积函数分子项所满足的条件，二者都是相同的。由此学生也就可以明确高阶导数公式的适用范围与具体使用步骤。

另外，既然柯西积分公式是高阶导数公式的特例，在学习过程完成后，可将这两个公式视为一个整体。事实上，在较高阶的专业教材中，往往将它们统称为“柯西积分公式”，如教材[2]。但从初学者的角度出发，特别是对非数学专业的理工科学生而言，还是应将它们分开学习。循序渐进，由浅入深，先易后难，才能收到良好的学习效果。

解：积分曲线中只包含被积函数的一个奇点1,因此由高阶导数公式，得原积分。

（七）留数定理

留数定理是说，沿正向曲线的闭路复积分的取值等于被积函数在曲线内各孤立奇点处的留数之和。即，这里z0,z1,...,zn为f(z)在积分闭曲线C内的所有孤立奇点。留数定理沟通了复变函数的微分学、积分学和级数理论，是《复变函数》课程的一个带有总结性质的重要定理。从计算闭路积分的角度看，它也是对前述各方法的一个小结。教师在教学时应着重指出，留数定理是前述各定理与方法的推广。学生不应孤立的将其看成全新的方法，而是应趁学习留数定理的时机，系统总结闭路积分的各种计算方法，弄清它们彼此之间的联系，最终达到融会贯通的学习效果。

例如，柯西积分定理是留数定理的特例：若被积函数f(z)的所有奇点均位于积分闭曲线C之外，那么根据留数定理，此时没有任何留数需要计算，自然等于0。这正是柯西积分定理的结果。

而复合闭路定理实质是留数定理的一种等价叙述方式:当闭曲线Ci仅仅围绕孤立奇点zi时，根据留数的定义与性质，f(z)在zi处的留数处恰为积分，于是。这正是复合闭路定理。

而留数定理也是柯西积分公式和高阶导数公式的推广。例如在柯西积分公式的条件下，对于被积函数，若f(z0)≠0，则z0是的一级极点，。若f(z0)=0，则z0是的可去奇点，。不论何种情况，均有，即为柯西积分公式。高阶导数公式的情形与此类似。学生如能清楚说明留数定理和前述方法的联系，并能根据闭路积分的具体情形选取合适的计算方法，那么可以说，对《复变函数》课程内容的理解就上了一个台阶。

以下用一个一题多解的实例，作为闭路复积分众多计算方法的小结。

解一：积分曲线中包含被积函数的两个孤立奇点1与0,因此由复合闭路定理，，这里正向闭曲线C1仅围绕1，正向闭曲线C2仅围绕0。再由柯西积分公式与高阶导数公式，得。

解二：注意到被积函数的分母为多项式，因此类似化部分分式的方法，先得。于是。再由柯西积分公式和高阶导数公式，得。

解三：积分曲线中包含被积函数的两个孤立奇点1 与0,因此也可直接用留数定理，得。

三、小结

闭路复积分的计算在《复变函数》课程的教学内容中占有重要地位。在教学中若能注重比较不同定理和方法的区别，使学生明确它们之间的逻辑关联，并根据积分的不同类型选择相应的计算方法，则可收到事半功倍的教学效果。