推导Navier–Stokes方程用的Stokes的三条假设1)

黄树新

(上海交通大学工程力学系, 上海 200240)

(上海交通大学水动力学教育部重点实验室, 上海 200240)

Navier-Stokes方程是流体力学中的基本方程，也是教学中要求学生理解掌握的方程[1]。这个方程在航空、环境、化工等众多领域有着广泛的应用。推导Navier-Stokes方程一般有2种方式，一个是Navier采用的从分子运动的角度分析并得到这个方程，一个是Stokes采用的基于连续介质力学的方式。笔者在流体力学课程的教学中，讲的是Stokes的推导方式[1−3]。

Stokes用连续介质力学的方法得到Navier-Stokes方程时，用了3个假设[1−3]。这3个假设可以简单地表述为，（1）应力和应变率存在线性关系；（2）流体各向同性；（3）静止时的法向应力等于静压强。3个假设的表述在Acheson的著作中[4]也是类似的。Acheson[4]介绍，Stokes在1845年从这3个假设得到了流体中应力的表达式。

在近来的文献查阅中，笔者读了Cauchy的两份工作[5−6]，注意到在Cauchy的工作中已经有这3个假设的使用。这里，介绍一下Cauchy的工作中和这3个假设有关的内容。

1 三条假设和Cauchy的工作

Stokes于1845年发表的文献[7]中的式(8)包含的6个式子为

其中，u，v，w是速度分量；x，y，z是空间坐标；p是压强；P1，P2，P3是法向应力；T1，T2，T3是剪切应力；µ是流体的黏度；δ是和∇·v有关的量。式（1）和现在写法的差别，主要在它的速度梯度是用d表示求导。这个式子就包含了Stokes用的3个假设。

1.1 应力和应变率存在线性关系的假设

Cauchy于1828年发表的文献[6]中的式(25)包含的3个式子为

其中，A，B，C是法向应力；D，E，F是剪切应力；X，Y，Z分别是x，y，z三个方向上的重力分量；ρ是流体的密度；χ，δ，τ 是加速度分量。式(2)就是Cauchy用的动量方程，其中的应力在Cauchy的文献[6]中的式(95)给出，即

其中，k是表征流体特性的参数，相当于流体黏度的2倍，R为

其中，K是和k有关的参数。式(4)包括Cauchy的文献[6]中的式(29)和式(97)。很明显，Cauchy的文献[6]中的式(95)也表达了应力和应变率存在线性关系。所以，Stokes用的第1个假设在Cauchy的1828年的工作中已有。

1.2 流体各向同性的假设

在Cauchy的1828年的工作中[6]，有下面两句话，‘1. en supposantket∆variables avecx,y,z,’，和‘2. en supposantket∆constantes’，其中，∆是和流体的密度有关的物理量。第1句就是假设流体的物理特性k和∆随坐标变化，第2句就是假设流体的物理特性k和∆是常数。用第1句假设的条件，就有Cauchy的文献[6]中的式(90)，即

用第2句假设的条件，就有Cauchy的文献[6]中的式(91)，即

这两个式子都表明，Cauchy用的流体的物理特性k是各向同性的。

1.3 静止时的法向应力等于静压强的假设

这条假设在Cauchy的1828年的工作[6]中没有，但在Cauchy的1827年的工作[5,8]中有类似的表述。文献[5]中的式(16)为

式(7)就是Cauchy的1828年的工作[6]中去掉惯性力的式(25)。同时，在文献[5]中，Cauchy还给出了式(17)～式(19)三个式子，分别为

式(8)～式(10)就表明流体静止时只有静压强的作用力。式(10)就是静止流体的平衡微分方程。

考虑到Cauchy已经用过这3个假设，在近两年的教学中，笔者在讲课时就说，Stokes使用了3个假设，然后可以推导得到Navier–Stokes方程。以表达这3个假设不是Stokes原创的。

2 结语

本文介绍了Stokes在1845年推导Navier–Stokes方程时用的3个假设的历史，这3个假设在Cauchy的两份工作中也出现过。

致谢：感谢CALIS (China Academic Library &Information System，中国高等教育数字图书馆)上海市文献信息服务中心和上海交通大学图书馆提供了Cauchy 和Stokes 的文献。