有限群的σ半次正规子群①

郑毅， 吴珍凤， 殷霞， 杨南迎

江南大学 理学院， 江苏 无锡 214122

文中所涉及的群均为有限群．G总表示一个有限群， |G|表示G的阶，π(n)表示所有整除n的素因子的集合， 且π(G)=π(|G|)． |G|π表示能整除|G|且素因子均在π中的最大整数．

文献[1]首次引入了半正规的概念： 假定H≤G， 如果G中存在子群K， 满足G=HK， 且对任一K1

文献[2]利用子群的半正规性， 推广了Ito定理．

文献[3]结合次正规和半正规的概念引入了半次正规的概念： 假定A≤G， 如果A在G中次正规或者半正规， 则称A在G中是半次正规的， 并得到了有限群超可解的若干判别准则．

近些年， 学者们通过利用有限群的σ-理论和半正规子群的性质来研究有限群， 得到了有限群结构的许多重要的结果(参见文献[3-12])． 通过分析这些已有的结果与方法， 本文结合σ-次正规性和半正规性引入了如下概念：

定义1假定A≤G， 如果A在G中σ-次正规或者半正规， 则称A在G中是σ-半次正规的．

由定义， 半次正规子群显然也是σ-半次正规子群， 但下面的例子表明反之不成立：

例1设G=PSL2(7)， 则|G|=23·3·7， 且G中含有一个阶为3·7的极大子群， 记为M． 令σ={σ1，σ2}， 其中σ1={2， 3， 7}，σ2={2， 3， 7}′． 则G是σ-幂零的， 从而由文献[3]的命题2.3知M在G中是σ-次正规的， 则M是σ-半次正规的． 若M在G中是半次正规的， 那么由于G是单群， 故M在G中是半正规的， 从而存在B≤G使得G=MB， 且对任意B1

通过研究σ-半次正规子群， 我们给出有限群的σ-可解性和超可解性的一些新的充分条件． 未交代的符号和概念参见文献[13-19]．

1 预备知识

引理1[4，6]设A，K和N是群G的子群． 假设A在G中是σ-次正规的， 并且N正规于G， 则：

(i)A∩K在K中是σ-次正规的；

(ii)AN/N在G/N中是σ-次正规的；

(iii) 若A是G的σ-Hall子群， 则A正规于G；

(iv) 若H≠1是G的HallΠ-子群， 且A不是Π′-群， 则A∩H≠1且是A的HallΠ-子群；

(v) 若G是Π-完全群， 且A是Π-群， 则A≤OΠ(G)．

引理2[15]设G是群，H≤X≤G且N正规于G， 则下列结论成立：

(i) 如果H在G中半正规， 则H在X中半正规；

(ii) 如果H在G中半正规， 则HN/N在G/N中半正规；

(iii) 如果H在G中半正规， 且K是H在G中的S-补， 则对∀g∈G和L≤K，H与Lg置换， 特别地， 对任意g∈G，Kg是H在G中的S-补．

引理3设G是群，H≤X≤G， 如果H在G中σ-半次正规， 则下列结论成立：

(i)H在X中σ-半次正规；

(ii) 若N正规于G， 则HN/N在G/N中σ-半次正规．

证如果H在G中σ-次正规， 则由引理1得(i)-(ii)成立； 如果H在G中半正规， 则由引理2得(i)-(ii)成立． 因此(i)-(ii)成立．

引理4[4]σ-可解群在子群、 同态像和直积下是封闭的． 并且任意两个σ-可解群的扩张还是σ-可解群．

引理5[5]令H是群G的次正规且σ-可解子群， 那么H≤Rσ(G)．

引理6[15]令H是群G的半正规Hallπ-子群， 那么H在G中的任一S-补都是G的Hallπ′-子群．

引理7[15]令H是群G的半正规子群， 且K是H在G中的S-补， 那么对K的任一子群L，HL∩LH在G中次正规．

引理8[16]若X是群G的次正规且π-可解子群， 则XG是π-可解群．

引理9[17]设G是群，P∈Sylp(G)且P循环． 若p是整除|G|的最小素因子， 则G有正规p-补， 即G为p-幂零群．

引理10[18]有限群G是超可解群当且仅当G的所有极大子群的指数是素数．

2 主要结果

定理1设群G是具有Sylow型的σ-完全群， 且有完全Hallσ-集H={H1， …，Ht}． 令p是整除|G|的最小素因子， 假设对任意的i=1，…，t，Hi是p-幂零群． 如果对所有的非循环子群Hi，Hi在G中都是σ-半次正规的， 那么G是σ-可解群．

证假设结论不成立， 并设群G是一极小阶反例， 我们分以下步骤来证明：

步骤1如果R是群G的一个极小正规子群， 那么G/R满足定理1的假设， 从而G/R是σ-可解的．

步骤2Rσ(G)=1．

假设Rσ(G)≠1， 则G存在非平凡的σ-可解正规子群N． 那么由步骤1知，G/N是σ-可解的， 从而由引理4知G是σ-可解的， 矛盾． 因此Rσ(G)=1．

步骤3对任意非循环的子群Hi， 都有Hi半正规于G．

由假设， 对任意非循环的子群Hi， 都有Hi在G中σ-次正规或半正规． 如果Hi在G中σ-次正规， 则由引理1(iii)可知Hi正规于G， 与步骤2矛盾． 这表明对任意非循环的子群Hi， 都有Hi半正规于G．

步骤4令p∈σ1． 则H1是非循环的且在G中半正规．

若H1是循环的， 则G的Sylowp-子群也是循环的， 从而由引理9知G是p-幂零的． 又因为p是整除|G|的最小素因子， 所以G是可解的， 矛盾， 故H1是非循环的． 因此由步骤3知，H1在G中是半正规的．

步骤5|σ(G)|=2且G=H1H2．

由步骤4知H1半正规于G． 根据引理6得，G存在Hallσ′1-子群K， 使得K是H1在G中的S-补． 令L是K的任一Hallσi-子群(i≠1)， 则L也是G的Hallσi-子群． 又因G是具有Sylow型的σ-完全群， 从而存在x∈G使得Lx=Hi． 于是由引理2(iii)可得H1Hi≤G， 并且Kx也同样是H1在G中的S-补． 因此由引理3(i)得H1Hi满足定理假设． 如果|σ(G)|>2， 那么H1Hi

我们得到D是σ-可解的． 再根据引理5， 我们有D≤Rσ(G)． 故由步骤2， 得到D=1， 从而

因此Hi≤CG(H1)． 由Hi选取的任意性知H1◁G， 但这与步骤2矛盾． 因此|σ(G)|=2， 即G=H1H2．

步骤6最后矛盾．

下面分两种情况讨论：

情况1H2非循环． 由步骤3知H1，H2在G中半正规， 再由引理6和引理2(iii)可得，H1是H2在G中的S-补， 同时H2也是H1在G中的S-补． 现设L1，L2是H1的两个不同的极大子群， 且Ai=H2Li，i=1，2， 则

A1=H2L1

我们断言A1，A2均是σ-可解的． 显然{Li，H2}是Ai的完全Hallσ-集，Li=H1∩Ai是Ai的Hallσ1-子群． 因为H2是H1在G中的S-补， 所以对任意B

H1B∩Ai=(H1∩Ai)B=LiB

所以Li≤CG(H2)． 又因为H1=〈L1，L2〉， 从而H1≤CG(H2)， 故H2◁G， 矛盾．

情况2H2循环． 由步骤4知H1在G中半正规， 从而由引理6知H2是H1在G中的S-补． 我们断言|H2|=q． 设Q是H2的一个极大子群， 则H1Q是G的真子群． 因{H1，Q}是H1Q的完全Hallσ-集， 且由引理3得H1Q满足定理假设， 所以由G的选取知H1Q是σ-可解的． 于是同情况1同样的讨论可得到H1≤CG(Q)， 故Q◁G． 由步骤2，Q=1， 从而|H2|=q， 故G是可解群， 矛盾．

综上所述， 定理1得证．

推论1[15]如果群G的所有非循环Sylow子群在G中半正规， 那么G是可解群．

定理2设群G有完全Hallσ-集H={H1， …，Ht}， 使得Hi均为超可解子群， 对于所有i=1，…，t， 如果G的任意极大子群在G中都是σ-半次正规的， 那么G是超可解群．

证假设定理2不成立， 并设群G是一极小阶反例， 我们分以下步骤来证明：

步骤1若R是群G的一个非平凡的极小正规子群， 则G/R是超可解群．

步骤2G有唯一极小正规子群， 记作R．

设R1和R2是G的两个不同极小正规子群， 则由步骤1知，G/R1和G/R2均为超可解的， 故G是超可解群， 矛盾．

步骤3最后矛盾．

设M是G的任一极大子群． 如果R≤M， 那么M/R是G/R的极大子群， 于是由步骤1知，G/R是超可解群． 所以根据引理10， 我们有|G∶M|=|G/R∶M/R|为素数． 如果R≤/M， 那么G=RM， 且由假设，M在G中σ-半次正规． 若M在G中σ-次正规， 则M◁G或者G/MG为σ-准素的．

若M◁G， 则由R的唯一性知M=1， 从而G是素数阶循环群， 矛盾．

若G/MG为σ-准素的， 则对某个Hi∈H，G/MG=HiMG/MG， 因Hi是超可解的， 从而G/MG为超可解群， 故MG≠1． 又由步骤2知，R≤MG≤M， 矛盾． 该矛盾表明M在G中半正规．

现设K是M在G中的S-补， 则G=MK， 且对任意H

MK1∩K=(M∩K)K1=K

从而可得

MK1=M(M∩K)K1=MK=G

矛盾， 故M∩K≤Φ(K)． 设L是K的任一极大子群， 则ML是G的真子群． 又因M是G的极大子群， 于是ML=M， 则L≤M∩K≤K， 因此L=M∩K． 从而

Φ(K)≤L=M∩K≤Φ(K)

于是L=M∩K=Φ(K)是K的极大子群， 这表明K的极大子群唯一， 从而K为素数幂阶循环群， 故|G∶M|=|K∶M∩K|为素数． 因此， 对G的任一极大子群M， 都有|G∶M|为素数． 由引理10可知，G是超可解群， 矛盾． 定理2得证．

推论2[3]如果群G的所有极大子群在G中半正规， 那么G是超可解群．

定理3设群G是具有Sylow型的σ-完全群， 且有完全Hallσ-集H={H1， …，Ht}． 令p是整除|G|的最小素因子， 且当p∈σi时，Hi是超可解群． 如果Hi的所有极大子群都在G中σ-半次正规， 那么G是σ-可解群．

证假设定理3不成立， 并设G是一极小阶反例， 则由Feit-Thompson定理可知p=2． 不失一般性， 可假设p∈σ1．

步骤1如果R是G的非平凡正规子群， 那么G/R是σ-可解群．

若2⫮|H1R/R|， 则G/R为2′-群， 从而G/R是可解群．

M=M∩H1R=(M∩H1)R

因为H1是超可解群， 所以由引理10知|H1R/R∶M/R|=|H1R∶M|=|H1∶M∩H1|是素数， 从而M∩H1是H1的极大子群． 则由引理3知(M∩H1)R/R=M/R在G/R中σ-半次正规， 故G/R满足定理假设． 因此由G的选取可知，G/R是σ-可解群．

步骤2Oσ1(G)=Oσ′1(G)=1．

若Oσ1(G)≠1， 则由步骤1知G/Oσ1(G)为σ-可解群． 又因Oσ1(G)是σ-可解的， 从而根据引理4得到G是σ-可解的， 矛盾， 故Oσ1(G)=1． 若Oσ′1(G)≠1， 则由步骤1知G/Oσ′1(G)为σ-可解群． 又因Oσ′1(G)为奇数阶的， 故是可解群， 从而根据引理4得到G是σ-可解的， 矛盾， 因此Oσ′1(G)=1．

步骤3最后矛盾．

因此|H1|=2， 从而由引理9知G是可解群， 矛盾． 因此M在G中半正规．

设K是M在G中的S-补， 则G=MK． 于是对任意q∈σi∩π(G)(i=2，…，t)， 有q||K|． 设Q∈Sylq(K)， 令D=MQ∩QM， 则由引理7知D次正规于G． 如果D=1， 那么

[M，Q]≤[MQ，QM]≤MQ∩QM=1

从而Q≤CG(M)． 则由q的任意性知|G∶NG(M)|是σ1-数， 又由M◁H1可得M◁G， 与步骤2矛盾． 因此存在Q∈Sylq(K)， 使得D=MQ∩QM≠1． 显然D≤MQ， 于是由引理3知M在MQ中半正规． 又因为M≤H1是超可解的， 则M为2-幂零的， 从而由文献[15]的定理1知MQ为π(M)-可解的， 进而由引理8知DG为π(M)-可解的． 令R是G的极小正规子群， 且R≤DG， 则R亦是π(M)-可解的． 再因|H1∶M|=2， 那么π(H1)=π(M)或者π(H1)=π(M)∪{2}．

如果π(H1)=π(M)， 则R为π(H1)-可解的， 从而R是π′(H1)-群或初等交换t-群， 其中t∈σ1． 若R为π′(H1)-群， 则R≤Oσ′1(G)=1， 矛盾． 若R是初等交换群， 则R≤Oσ1(G)=1， 矛盾．

如果π(H1)=π(M)∪{2}， 那么|H1|2=2， 从而由引理9知G是可解群．

综上所述， 定理3得证．

定理4设群G是具有Sylow型的σ-完全群， 且H={H1， …，Ht}是G的一个完全Hallσ-集， 使得对所有的i=1，…，t，Hi是超可解群． 令A和B是G的子群， 且G=AB． 如果A，B的所有Hallσi-子群在G中都是σ-半次正规的， 那么G是超可解群．

证不失一般性， 可设Hi是G的Hallσi-子群(i=1，…，t)． 假设定理4不成立， 并设群G是一极小阶反例， 我们分以下步骤来证明：

步骤1对G的任一非平凡的正规子群R，G/R是超可解群．

令R是G的任一非平凡的正规子群， 则

G/R=AR/R·BR/R

H=(H∩A)R

且

|AR/R∶H/R|=|AR∶H|=|AR∶(H∩A)R|=|A∶H∩A|

是σ′i-数． 再令S是H∩A的任一Hallσi-子群， 则|A∶S|=|A∶H∩A||H∩A∶S|是σ′i-数． 从而S是A的一个Hallσi-子群， 则由假设知S在G中是σ-半次正规的． 又因为

SR/R≤H/R

且

|AR/R∶SR/R|=|AR∶SR|=|A∶S|/|A∩R∶S∩R|

是σ′i-数， 所以SR/R是AR/R的一个Hallσi-子群， 故SR/R=H/R． 由引理3(ii)知，H/R=SR/R在G/R中是σ-半次正规的． 类似地， 我们可以证明BR/R中的任一Hallσi-子群K/R在G/R中是σ-半次正规的． 因此G/R满足定理假设条件， 故由G的选取可知，G/R是超可解群．

步骤2G是可解群．

事实上， 我们只需证明G是σ-可解群． 因为若G是σ-可解的， 则对G的任一主因子H/K， 都有H/K是σ-准素的， 所以存在G/K的某一Hallσi-子群HiK/K， 使得H/K≤HiK/K． 又因HiK/K≅Hi/Hi∩K是超可解的， 故H/K是初等交换的q-群， 对于某个素数q，G是可解群．

下面我们证明G是σ-可解群． 令p是整除|G|的最小素因子， 且不妨假设p∈σ1． 因为G=AB， 所以若A，B都是σ1-子群， 则G是σ1-群， 从而G是σ-可解群， 得证．

下面我们可以假设A，B不全是σ1-子群， 不妨设A不是σ1-子群， 则A中存在Hallσi-子群Ai， 使得Ai≠1且i≠1． 由定理假设，Ai在G中是σ-半次正规的．

若Ai在G中是σ-次正规的， 则由引理1(v)知A≤Oσi(G)． 从而由步骤1知G/Oσi(G)是超可解的， 进而G是σ-可解的．

因此， 在任一种情况下， 我们都能得到G是σ-可解的． 从而步骤2成立．

步骤3G中含有唯一的极小正规子群， 记为N． 且N=Oq(G)=CG(N)， 对于某个素数q，q∈σi．

由步骤1和步骤2可以直接得到．

步骤4最后矛盾．

如果T在G中是σ-次正规的， 则

T≤Oσj(G)≤CG(N)=N

矛盾． 从而T在G中是半正规的． 故存在G的子群U， 使得G=TU， 且对任意U1≤U有TU1≤G． 显然N≤U， 从而TN1=N1T． 由TN1∩N=N1知T≤NG(N1)， 故

T≤NG(N1)∩A=NA(N1)

即|A∶NA(N1)|是σ′j-数． 由j的任意性知|A∶NA(N1)|是σi-数．

与上面的证明类似， 可得|B∶NB(N1)|也是σi-数．

综上所述， 定理4得证．

推论3[3]令A和B是G的子群， 且G=AB． 如果A，B的所有Sylow子群在G中都是半次正规的， 那么G是超可解群．