浅议优化解题策略

杜海洋

摘要：2021年成都市高三一诊理科数学压轴16题由2018年江苏卷13题改编而成，属于典型的“同题”，笔者对学生的多种解法作对比分析，剖析学生解题过程中存在的问题.提出基于宏观优化解题目标策略，并再以2018年江苏卷13题为例，给出解题教学问题设计思维.

关键词：高考真题;一题多解;优化策略

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）16-0006-05

1 一道高考题及其分析

2018年江苏卷13题，是一道解三角形求最值问题，题型常规但不乏新意，解法众多但多解归一.本题作为全卷第13题（次压轴填空题）而成为2021年成都市高三一诊理科数学压轴16题，自身有一定难度和新意.解题方法较多，文＼[1＼]不同方法之间效果（思维、时间、运算、书写等要求差异较大）相去甚远，在逻辑推理思路、运算繁简、解题过程表达、时间成本付出等诸方面大相径庭.本题真正体现了高考突出“多考想、少考算”，在思维层次上区分的命题立意.但是，深层次探讨这些差异产生的原因，可以说都主要指向了解题过程的优化策略.这里笔者将通过对此道高考题的分析，谈一下解题优化策略.

1.1 模拟题目

（成都市2019级高中毕业班第一次诊断性检测理科16题）在△ABC中，已知∠A=2π3，∠A的平分线AD与边BC相交于点D，AD=2.则AB+2AC的最小值為.

答案6+42.（解答略，请读者仿照下面高考试题解答完成）

1.2 真题再现

（2018年江苏高考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为.

1.3 真题解析

解法1由题意可知S△ABC=S△ABD+S△BCD.

由角平分线性质和三角形面积公式，得

12acsin120°=12asin60°+12csin60°.

即ac=a+c，得1a+1c=1.

下面求4a+c的最小值

思路1（利用基本不等式） 4a+c=（4a+c）·（1a+1c）=

ca+4ac+5≥2ca·4ac+5=4+5=9，当且仅当ca=4ac

，即c=2a时等号成立，故4a+c的最小值为9.

思路2（构成方程，利用判别式求最值）由法1可得出a+c=ac.

令4a+c=t，则c=t-4a.

代入a+c=ac，得关于a的一元二次方程

4a2-t+3a+t=0.

由△=t+32-16t≥0，即

t-1t-9≥0，

解得t≤1或t≥9.

由已知BD=1可得tmin=9成立.

思路3（构造线性规划求最值）由法1得a+c=ac.

设a=x，c=yx>0，y>0，即xy=x+y.

所以y=xx-1=1+1x-1（x≠1）.

所以y′=-1x-12.

令Z=4x+y，则当直线Z=4x+y与曲线y=xx-1如图1所示相切时Z取最小值.

设切点Mx0，y0，所以-1x0-12=-4.

解得x0=32，y0=3.

此时Zmin=4×32+3=9.

评注本题实际上涉及解三角形知识，因为要建立a，c边的关系，根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.

解法2（利用正弦定理，边化双角）

因为∠ABC=120°，所以在△ABC中，由正弦定理，得

asinA=csinC=bsin120°=233b.

即a=233bsinA，c=233bsinC.

则4a+c=233b4sinA+sinC.

又因为BD平分∠ABC，

所以在△ABD中，ADsin60°=1sinA.

即AD=32sinA.

同理CD=32sinC.

则下面求4a+c的最小值.

思路1（利用基本不等式）

4a+c=233b4sinA+sinC

=233×324sinA+sinC1sinA+1sinC

=5+sinCsinA+4sinAsinC

≥5+24=9，

当且仅当sinC=2sinA，即sin60°-A=2sinA，即tanA=33时等号成立.

则4a+c的最小值为9.

思路2（利用函数单调性求最值）

令sinCsinA=x（x>0），则fx=5+x+4x.

即f ′x=1-4x2=x+2x-2x2.

易得函数fx在2，+

SymboleB@

单调递增，在0，2单调递减.

所以fxmin=f2=9.

解法3（利用正弦定理化单角的函数）

分别在△ABD，△BCD中，由正弦定理，得

1sinA=csin∠ADB，1sinC=asin∠CDB，

即4a+c=4sin∠CDBsinC+sin∠ADBsinA

=4sin120°-Asin60°-A+sin120°-AsinA

=43cosA+sinA3cosA-sinA+32cosA+12sinAsinA

=4·3cosAsinA+13cosAsinA-1+

32·cosAsinA+12.

令cosAsinA=t∈33，+

SymboleB@

，则

上式=4·3t+13t-1+32t+12=5+83t-1+123t-1

≥5+283t-1·123t-1=9.

即当且仅当83t-1=123t-1，即t=533时等号成立.

评注因为涉及所求边的关系在△ABC中，所以在此三角形中找∠A或∠B作为函数变量.建立函数，利用函数的单调性求最值是常见的一个重要方法，此法的关键是合理设元，再用函数知识求解，当然要留意未知数的范围.

解法4（正弦定理入手，建立角化边）

同法2有

4a+c=233b4sinA+sinC=233·324sinA+sinC1sinA+1sinC

=5+sinCsinA+4sinAsinC=5+ca+4ac=4a+ca+cac.

则可得a+c=ac，下同解法1.

解法5（利用余弦定理建立边的关系）

在△ABD中，由余弦定理，得

AD=c2+1-2ccos60°=c2+1-c.

同理，在△DBC中，由CD=a2+1-a，

又由角平分线的性质，得ac=CDAD.

即a2+1-ac2+1-c=ac.

两边平方整理，得

a-ca+c-ac=0.

若a=c，解得a=c=2，则4a+c=10.

若a+c-ac=0，下同解法1.

评注正弦定理、余弦定理是实现边角互化的工具.

解法6由三角形角平分线得向量表达式

BD=aa+cBA+ca+cBC.

因为BD=1，等式两边平方整理，得a+c=ac，下同解法1.

也可将a+c=ac化为a-1c-1=1.

即4a+c=4a-1+c-1+5≥9，

当且仅当4a-1=c-1时，

即a=32，c=3时等号成立.

评注向量与三角函数关系密不可分，本题用基底法表示向量BD是关键.同时在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件才能应用，否则会出现错误.

解法7（坐标法1）由题设以点B为坐标原点，BC所在的直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，由已知易得A-c2，3c2，D12，32，Ca，0.图2

由kAC=kDC得3c2-c2-a=3212-a.

整理，得a+c=ac，下同解法1.

解法8 （坐标法2）由题设以点B为坐标原点，BD所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，由已知易得Ac2，-3c2，C12a，32a.

作CM⊥x轴于点M，作AN⊥x轴于点N，则CMAN=DMDN.

即32a3c2=12a-11-12c.

整理，得a+c=ac，下同解法1.

评注坐标法是实现几何问题代数化的有力工具，解法7，8主要体现了建系的合理性.

解法9（几何法1）如图3，过点D作DE∥CB交AB于点E，易得△BDE为边长为1的等边三角形.

则1a=c-1c.

整理，得a+c=ac，下同解法1.

解法10（几何法2）如图4，过点D作DE∥AB交BC于点E，易得△BDE为边长为1的等边三角形.

则1c=a-1a.

整理，得a+c=ac，下同解法1.

解法11（几何法3）如图5，过点C作CE∥DB交AB的延长线于点E，易得△BCE为边长为1的等边三角形.

则1a=cc+a.

整理，得a+c=ac，下同解法1.

解法12（几何法4）如图6，过点A作AE∥BC交BD延长线于点E，易得△ABE为边长为1的等边三角形.

则1c-1=ac.

整理，得a+c=ac，下同解法1.

解法13（几何法5）如图7，延长CB至点E，使BE=AB，连接AE，由已知易得△ABE为边长为1的等边三角形.

即BD∥AE.则aa+c=1c.

整理，得a+c=ac，下同解法1.

解法14（几何法6）如图8，作DE⊥BC于点E，作AH⊥CB的延长线于点H，则易得DE=32，AH=32c，EC=a-12，HC=a+12c.

由DE∥AH，得DEAH=ECHC.

则有3232c=a-12a+12c.

整理，得a+c=ac，下同解法1.

評注以上6种几何法可看出从三角形任意点出发均可作图，可见作图的多样性，其核心都是围绕角平分线段BD展开.

1.4 考生答题情况简述

据笔者调查，总体来看，考生解答这道题情况并不理想.具体体现在：（1）目标意识不强，不明确解题方向，机械套用公式.例如，本小题的结论是边的最值关系，大方向应该是朝着建立边的关系变形.但有些考生对“消角留边”还是“化边为角”不清楚，一味机械套用正弦定理、余弦定理，绕来绕去没有抓住角平分线这一核心.（2）是解题策略选择不当，导致运算推理耗时太多.

（3）是分析问题的能力较差.主要表现在思维只停留在正余弦定理范围，寻求边a，c的关系，至于运用几何作图法，更是凤毛麟角，说明考生解题方法单一.

2 核心素养下的解题优化策略

2.1 核心素养下的解题

数学解题，一要先有目标，二要整体把握解题过程，可以从大处着眼，小处着手二个层次把握.大处着眼（俗称大局观）即：理解题意、弄清条件、明确目标是解题的基础.小处着手，就是具体解题过程的实施，套用基本模型，或建立数学模型，进行逻辑推理，或运算变形，还需要把握解题过程与步骤等.当然，在解题过程中，有效监控伴随始终，在思维受阻，运算推理遭遇困难时，需要调整优化预案，甚至有时需要改弦易辙，另起炉灶.

2.2 目标引领下的解题教学设计（片断）

对2018年江苏卷13题，前面给出了诸多解法，并对这些解法作了分析.就其解题而言，自然希望能较快找到解决问题的思路，并在明确解题目标的基础上，评估并选择最恰当的解题方法.那么，在解题教学时，如何引导学生分析目标，寻找恰当的思路呢？

下面给出该题解题中启发学生思考的问题串（要点），当然，在具体教学实施时，要突出问题的启发引导，并随机应变，顺势而为.①目标是求长度（边）和的最值，大方向是消角化边，找到两边关系;②所给条件核心是三角形角平分线的长度（唯一一边值）;③分析所给条件结构，应首先考虑用面积关系或正弦定理;④始终要用到角平分线，尽可能避免b边出现，可以看出前面给出的多种解法

都围绕这一目标而展开，或者说，这些解法全部指向求a，c的关系，不同方法只是求的路径不同.在这一意义下，甚至可以说，其几种解法只有一种，虽是一题多解，实则多解一法;⑤再观察式子a+c=ac与目标4a+c结构特征，同时也要引导学生意识到，直接求出a，c是困难的，应该对式子进行变形，其本质是可以减少字母个数或整体代换.

从以上方法来看，试题的解答入口很宽，命题设计上体现了具有开放性和探究性，同时在解法上出现了常规性和创新性.真正检验了考生的逻辑推理核心素养，同时也为我们传导了平时教学中对问题的深入探究，进一步提升教学方法.

参考文献：

[1] 渠东剑.目标引领下的解题与解题教学——以一道高考题为例＼[J＼].中学数学教学参考，2021（28）：46-50.

[责任编辑：李璟]