融入数形结合思想 提升学生的数学素养

王亚萍

国际学生评估项目（PISA）的概念是：数学素养是一个人能够在不同情境中形成、运用和解释数学的能力，其中包括数学推理，运用数学概念、数学程序、数学事实和数学工具来描述、解释、预测实际生活。数学素养能够帮助个体理解数学在社会生活中的作用，并做出相对正确的决策和判断；数学素养是学生数学情感态度与价值观、数学知识、数学能力的综合体现，也是中国学生必备的核心素养之一。《义务教育数学课程标准》（2011年）中指出，数学课程的四大总目标分别为：知识技能、数学思考、问题解决和情感态度，可见问题解决在数学课程中占据着十分重要的位置，对学生数学素养的提高有着非常重要的意义。在平时的教学实践中，教师会发现解决问题的种类千姿百态，结构变化多端，同时也有相当一部分学生在遇见解决问题的题目时愁眉不展，不知从哪里入手，特别是在学完北京版教材六年级上册分数乘除法及百分数的相关内容后设置的与分数、百分数有关的实际问题单元，学生更是一头雾水。通过仔细分析，学生出现这种状态的原因是不能将题目中的数学信息和问题很好地转化成数学语言，且不能较好地与实际生活相结合，进而不能有效地分析出题目中包含的数量关系，更无法用相应的、合适的、与实际应用关联的策略去灵活有效地分析和解决问题。

朱智贤在《儿童心理学》一书中指出：“小学生思维发展的基本特点是从以具体形象思维为主的形式逐步过渡到以抽象逻辑思维为主的形式，但这种抽象逻辑思维在很大程度上仍然是直接与感性经验相联系的，具有很大程度的具体形象性。”因此，虽然六年级学生处于小学生涯的末期，抽象逻辑思维有了一定程度的发展，但是这种发展还没有完全成熟。而在解决实际问题的过程中需要学生有很好的逻辑思维，这就出现了矛盾冲突。“数形结合”可以较好地缓解这种冲突。“数形结合”是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化解决问题。解决小学数学的数形结合问题就是把数学问题中的数学信息和问题通过图形的方式形象地表示出来，让学生清楚地明白题目中的数量关系，让数和形各展所长，实现抽象逻辑思维和具体形象思维之间的和谐统一。接下来，笔者将从北京版教材六年级上册解决有关分数和百分数的实际问题的完整过程入手，分析“数形结合”思想的重要性。

一、认真审题，获取题目中有用的数学信息

随着新课程改革的逐步推进，解决问题的题目越来越贴近我们的实际生活，叙述也越来越生活化，这与学生熟悉的数学语言存在一定的差距。同时，很多题目存在抽象、冗长的特点，有的题目还会出现与解决实际问题无关的干扰信息，导致学生往往抓不住重点，不能很好地理解题目意思，这在无形之中又增加了学生解决问题的难度，所以教会学生“认真审题”是解决问题的第一步。通过审题的过程，可以幫助学生获取题目中有用的数学信息，过滤掉与解决问题无关的干扰信息。

由此可见，良好的审题习惯是小学生必须掌握的一项基本数学素养，而审题能力是提高学生解决问题能力的关键，更是正确解决问题的前提。当然，培养学生养成良好的审题习惯并不是一蹴而就的，必须依靠一定的时间和持续性的强化训练。在日常训练时，教师首先要向学生提出明确的要求，并指导学生圈画出关键字眼，建立阅读的表象，明确数学的问题，建立数学信息和数学问题之间的关系，为下一步分析题目中的数量关系打下坚实的基础。

二、数形结合，分析题目中的数量关系

当学生顺利通过审题的第一步，成功获取题目中有价值的数学信息之后，可能仍会是一头雾水。此时，教师就需要引导学生运用“数形结合”的方法，让学生通过简单的图形、符号和文字做示意图，标示出题目中的重点数学信息，将复杂抽象的数学信息转化为简单形象的图形语言，促进学生具体形象思维和抽象逻辑思维的协同发展。这样更有利于打开学生解决问题的思路，帮助学生更好地理解问题、分析问题，并厘清题目中的数量关系，进而采用更加有效的方法解决问题。此外，在平时的教学过程中也时常会出现这样的情况，当学生遇到难题百思不得其解的时候，脑海中又没有解决类似问题的经验，教师就需要稍加指点或者以画草图的方式演示给学生如何切入题目，打开学生思路，顺利解决问题。可见，数学图像能将复杂的数学信息简单化，从而有利于学生数学思维的表达。

例如，根据补充的条件，将正确算式的序号填在括号里。

果园里有苹果树180棵，________，梨树有多少棵？

（1）梨树的棵数比苹果树多25%（）；

（2）梨树的棵数是苹果树的25%（）；

（3）梨树的棵数比苹果树少25%（）；

（4）苹果树的棵数比梨树多25%（）；

（5）苹果树的棵数是梨树的25%（）；

（6）苹果树的棵数比梨树少25%（）。

A.180×25%B.180÷（1+25%）C.180×（1-25%）

D.180÷25%E.180÷（1-25%）F.180×（1+25%）

像这种数学信息比较相近的题目，学生更容易发晕，但是通过画图，苹果树的棵数与梨树的棵数之间的数量关系就一目了然了。比如，补充第（1）和第（4）个条件，不同的已知条件，单位“1”就不一样，根据“______的前比后”确定单位“1”的规律，可以知道补充条件（1），单位“1”就是苹果树，补充条件（4），单位“1”就是梨树，从而画出来的图也就不一样，进一步说明两幅图所表示的数量关系也不一样。通过画图有利于加强数学信息和线段图之间的联系，加深学生对数学信息的理解，降低学生分析问题的难度。

总而言之，在恰当的时候运用数形结合法不仅能降低解决问题的难度，还可以使学生快速厘清题目中的数量关系，提升学生的思维能力，提高学生对数学学习的积极性和主动性。

三、根据数量关系，列式解答

当上面两步顺利完成，列出相应的算式对学生来说就不是难点了。依旧以上面梨树、苹果树的问题为例，补充第（1）个条件：梨树的棵数比苹果树多25%，那么，题目中所包含的數量关系就是：梨树的棵数是苹果树棵数的（1+25%），再结合之前课堂中掌握的内容，给出单位“1”和分率求分量用乘法，给出分量和分率求单位“1”用除法，所以列式为：180×（1+25%）；补充第（4）个条件：苹果树的棵数比梨树多25%，题目中所包含的数量关系就是：苹果树的棵数是梨树棵数的（1+25%），所以列式为：180÷（1+25%）。经过这两个问题的启发，补充其他的条件，学生即使不把线段图画在纸上，也能将线段图呈现在脑子里，进而分析出苹果树和梨树之间到底是一种什么样的数量关系，顺利列式解答。

四、多种方法验证，提高题目的正确率

当然，解决问题的学习不是简单快速得到结果就好了，而是要在有效解题之后进行自我反思验证，验证自己是否有解题纰漏，从而提高正确分析问题、解读和解决数学问题的能力。小学高年级的学生已经具备一定的归纳和概括能力，引导学生反思验证可以帮助其在原有知识的基础上不断提升能力，让学生在学习之后可以更加深入的理解知识。同时，反思验证也是学生发现自身问题的一种有效手段，是学生解决问题过程中必不可少的一个环节，是学生未来发展路程中必备的品质，对学生的成长有着重要的作用。

还以苹果树和梨树的例子来说，当学生自认为问题已经解决了，已经得到正确结果的时候，教师需要提醒学生将得出的结果再放回到原题中进行验证，检验我们的解题思路是否正确；如果不正确，再思考到底哪里出现了问题。教师可以引导学生重现自己的解题思路，看看自己能不能把自己说服，如果自己能给自己讲通，就说明有90%的把握做对了这道题。教师还可以引导学生采用多种方法再解这道题，如果所有方法的结果都是一样的，那说明解法肯定没有问题。例如，苹果树和梨树的问题，补充第（1）个条件，经过一系列的分析选择了算式180×（1+25%），到底正确吗？让学生换种思路再来看这道题，可以运用方程法，设梨树的棵树为x棵，进而列的方程就是（x-180）÷180=25%，经过解方程、计算，发现两种方法的结果是一样的，这就说明刚才的分析思路没有问题。

五、适时评价，提升成就感

众所周知，教学评价是数学教学的重要组成部分，评价是一个过程，是一个教育的过程，是一个促进学生发展的过程，是一个师生共建的过程。在当前的教育教学中，评价不再单指教师评价，还包括家长评价、社会评价、生生评价以及学生的自我评价。尤其是学生的自我评价必不可少，学生在自我评价的过程中会看到自己的优点，并不断发现自己的不足，进而改变自己、完善自己。评价对教育活动起着非常重要的导向作用，它是数学课堂实施的重要环节，科学而有效的课堂教学评价不但可以为高质量的教学提供重要保障，而且还有助于学生数学核心素养的有效提升，同样“问题解决”的学习活动也要重视评价。

当苹果树和梨树这样看似复杂的数学问题出现的时候，作为教师的我们首先要放手，给予学生独立思考空间，在充分思考之后鼓励学生勇于提出自己的想法。如果学生能运用自己的解题经验并主动运用数形结合的思想清晰地阐明自己的思路，可以引导学生进行生生评价，促使学生汲取他人解题过程中的优点，教师也要给予学生充分的肯定，同时对学生的思路进行正向的评价而不仅仅是关注结果。即使学生的思路出现了小问题，但他只要勇于说出自己的想法就应该受到鼓励，同时他的问题也为大家提供学习经验。当然学生也要从字迹、思路、回答问题的次数、声音等方面对自己做出评价。长此以往，越来越多的学生在解决问题时，就会主动思考、表达自己的想法。总之，教师要用有温度的教学评价向学生内心洒下缕缕阳光，全面关注学生的未来成长。

我国数学家张广厚曾经说过：“抽象思维如果脱离直观，一般是很有限度的。同样，在抽象中如果看不出直观，说明还没有把握住问题的实质。”可见，抽象逻辑思维与直观形象思维有着十分密切的联系。在小学高年级解决有关分数、百分数实际问题的过程中，“数形结合”思想可以使学生学得轻松而有效，教师要善于根据学生的实际情况，在引导学生正确审题的前提下，将“数形结合”的思想自然而然地融入到教学活动中，使学生的具体形象思维和抽象逻辑思维有机结合起来，帮助学生更好地分析解题思路，同时对学生的回答给予适时的恰当评价，进一步提高学生解决问题的能力，进而激发学生的数学学习兴趣，提升学生的数学素养。