含单裂纹带圆孔板单轴破坏试验及仿真

经来旺，彭绍驰，李学帅，李树文，严 悦，经 纬

(安徽理工大学土木建筑学院，安徽 淮南 232001)

自然界中的岩石内部不均匀地分布着各种类型的裂纹与空腔，这些裂纹与空腔使得岩石受载时产生高度应力集中现象，导致岩石的峰值强度有所降低，而由于空腔和裂纹的存在，岩石的破坏形态也可能发生改变。在地下工程中，岩石的强度及破坏形态是巷道支护、切顶卸压等支护方法的重要指标，所以，研究带空腔与裂纹的岩石强度与破坏形态有着重要的工程意义。

由于空腔与裂纹的应力集中，含裂纹试件的位移解析解的研究很难取得突破，因此目前研究裂纹的主要方法是试验和仿真。在试验方面，研究岩石受载过程中裂纹扩展速率、裂纹种类以及能量损耗的试验主要为声发射试验[1-3]，如张志婷等[1]研究了开放性裂隙岩石三轴加载破坏前兆信息；张玉良等[2]研究构建了岩石热损失演化模型。光弹性试验主要用于研究裂纹尖端应力分布状态[4-6]，如周慧颖等[4]开展了V形裂隙类岩石材料单轴压缩光弹性试验；REN等[5]研究了不同孔隙结构的应力应变分布。定量化岩石破碎中裂纹扩展的主要方法是CT扫描[7-9]，如刘树新等[7]利用CT图像灰度曲线定量分析砂岩损伤规律；张艳博等[8]通过全程CT观测扫描定量化表征裂纹扩展情况。在数值仿真方面，扩展有限元(extended finite element method，XFEM)使用最为广泛，但XFEM在进行闭合型裂纹扩展计算时误差较大，这是由于XFEM在裂纹扩展时难以定义新生裂纹面之间的接触，且XFEM进行裂纹扩展计算时受裂纹扩展准则影响较大，所以目前裂纹扩展仿真主要针对张开型裂纹，而工程中岩石多处于压剪应力状态，针对XFEM对闭合型裂纹计算存在先天性不足，学者们提出了两种解决方案，即二次开发XFEM[10-11]和颗粒流离散元软件[12-13]。对于二次开发XFEM，唐世斌等[10]自研软件FACT(Failure Analysis and Computing Toolkit)集成的MTS准则(最大周向应力准则)成功地预测了巴西圆盘裂纹扩展过程；对于颗粒流离散元软件，武东阳等[12]利用PFC3D软件研究了不同锚固角对裂纹扩展的影响。

随着试验设备和求解方法的更新，学者们逐渐从单裂纹分析过渡到多裂纹、空腔+裂纹的研究[14-18]，力求研究成果更贴近工程实际，多裂纹方面如MEI等[15]研究了水压力作用下的平行裂纹和非平行裂纹扩展特征；空腔+裂纹方面如压缩单裂纹圆孔板(single cleavage drilled compression，SCDC)，SCDC是较为新颖的脆性材料断裂实验方法，被广泛应用于动态裂纹扩展与止裂分析，但其在静态领域或准静态领域的研究偏少，尤其是在不同裂纹倾角下的圆孔板破坏特征。针对单裂纹带圆孔板在不同裂纹倾角下的准静态破坏研究较少的问题，本文研究了不同裂纹长度、倾角下的类岩石强度及破坏特征，利用颗粒流离散元软件PFC进行数值仿真，得到各裂纹状态下类岩石试件的力链图和应力强度因子变化曲线，以及试件破坏强度与裂纹长度和倾角的关系，为地下工程中的巷道支护和切顶卸压提供参考。

1 类岩石试件制备

水泥和石膏是制备类岩石试件的两种常用材料，但水泥具有一定的干燥收缩性，水泥干燥后极易产生微小裂纹，给试件的裂纹扩展研究造成较大的误差，所以本次类岩石试件制备材料选用石膏，但纯石膏遇水后迅速凝固，甚至在搅拌过程中就开始硬化，使得震动和裂纹抽拔的时间被极限压缩，经多次配比试验发现：当石膏∶水∶减水剂∶消泡剂∶缓凝剂为0.8∶0.2∶0.2%∶0.05%∶0.5%质量比时能较好地解决石膏硬化过快的不足。试件制备如图1所示，带圆孔板尺寸为100 mm×100 mm×100 mm，圆孔直径为15 mm，裂纹采用镀锌板替代，厚度0.5 mm，长度分别取7.5 mm、12.5 mm、17.5 mm，取少量胶水，在石膏浇筑之前将镀锌板粘贴在模具底部，使镀锌板的一端点落在圆孔边上，且镀锌板延长线经过圆孔圆心并与水平线的夹角分别呈0°、15°、30°、45°、60°、75°、90°。将石膏和添加剂充分搅拌后倒入模具中浇筑，放置在振动台上震动3 min，以排出浇筑过程中产生的气泡，静置20 min后，将镀锌板轻轻拔出，当石膏表面温度恢复至室温时拆除模具，将试件轻轻取下，放入恒温箱中养护28 d。每组试件各制作3个，本试验共制备类岩石试件66个。将制备好的试件进行编号见表1。

图1 类岩石试件制备Fig.1 Preparations for rock-like specimens

2 试验结果分析

2.1 裂纹扩展规律

本次试验采用DDL-200型电子万能试验机进行单轴压缩实验，加载方式选取加载速率为0.1 mm/s的位移控制方式，由于石膏较高的黏性容易造成端部效应，所以在实验前将试件表面以及试验机上下夹具表面均匀涂抹凡士林以减小摩擦。在试验机正前方放置手机支架，用以拍摄试件压缩过程中的裂纹扩展情况，手机照片采集速度为3帧/s，分辨率为1 080 p，照片连续采集直至试件破碎。

利用照片采集研究试件单轴压缩时裂纹尖端以及圆孔处裂纹起裂和扩展的过程，单轴压缩状态下，带圆孔板在圆孔两帮处有应力集中，在无预制裂纹作用下，剪切裂纹从圆孔两帮发育，随后呈一定夹角向外扩散；在有预制裂纹作用下，剪切裂纹的发展与裂纹倾角和裂纹长度相关，且由于泊松效应，圆孔顶、底处产生拉伸裂纹，拉伸裂纹萌生速率与预制裂纹的长度和倾角相关，以裂纹长度17.5 mm，裂纹倾角0°分析试件单轴压缩作用下裂纹起裂、扩展过程。随着单轴压缩试验的进行，圆孔顶、底靠近裂纹部位首先出现拉伸裂纹，随后裂纹逐步向试件顶、底处扩展；当拉伸裂纹扩展十分明显后，预制裂纹尖端的剪切裂纹开始萌生并逐步发展；在预制裂纹与剪切裂纹的拐角处，试件表皮逐渐脱落，圆孔左侧也开始萌生剪切裂纹，圆孔可观察到微小的错动，由于试件位错的影响，先前在圆孔底部产生的拉伸裂纹逐渐闭合，而孔边剪切裂纹在拉应力的作用下产生翼型裂纹并向试件顶部扩展；当加载继续，底部拉伸裂纹完全闭合后，孔边剪切裂纹发育新的次生共面裂纹，该裂纹属于剪切型裂纹，并引发新一轮的试件错动，使得圆孔上方的拉伸型裂纹(包括顶部拉伸裂纹和剪切裂纹诱发的翼型裂纹)逐渐闭合；试验继续，由于剪切型裂纹的扩展，试件位错效应的影响力逐渐下降，各拉伸裂纹重新出现并迅速扩展，直至试件完全破坏。从上述裂纹演化过程可知，含单裂纹的带圆孔板在单轴状态下，首先在顶、底部出现拉伸裂纹，随后在裂纹尖端或孔边萌生剪切裂纹并造成试件的位错，试件的位错效应抑制拉伸裂纹的扩展，随着剪切裂纹的扩展，位错效应逐渐降低，拉伸裂纹重新出现，直至试件完全破坏。试件随加载过程裂纹扩展如图2所示。

图2 类岩石单轴压缩裂纹扩展Fig.2 Crack propagation of rock-like under uniaxial compression

图3是不同预制裂纹长度、倾角下的类岩石试件单轴破坏图。其中，图3(a)是无裂纹破坏实拍图，裂纹从圆孔两侧出萌生，以剪切裂纹为主进行扩展；图3(b)～图3(g)为裂纹长度为7.5 mm，裂纹倾角为15°、30°、45°、60°、75°、90°的试件破坏实拍图，图中试件左侧裂纹扩展差距不大，但随着预制裂纹倾角的增大，试件右侧裂纹的萌生逐渐从裂纹尖端转移到圆孔处，这说明裂纹倾角对试件应力状态有着较大的影响，倾角增大，应力向孔边处集中；图3(h)～图3(o)分别为其对应编号下的破坏实拍图，随着裂纹长度的变化，类岩石试件的裂纹萌生位置也随之改变，裂纹长度越长，应力越容易在裂纹尖端处集中。综上所述，含单裂纹带圆孔板的裂纹扩展规律包括以下两点。

图3 各编号类岩石试件裂纹扩展Fig.3 Crack propagation of rock-like specimens with different number

1) 拉伸裂纹先剪切裂纹出现，但随着试验的进行，由剪切裂纹扩展造成的位错效应抑制拉伸裂纹的扩展，使得拉伸裂纹逐渐闭合；试验继续，位错效应随着剪切裂纹的扩展反之减弱，拉伸裂纹得以重新出现并由于泊松效应迅速扩展，直至试件完全破坏。

2) 裂纹倾角与长度对试件的应力状态有很大的影响，随着裂纹长度的增加，应力逐渐向裂纹尖端转移，使得新生裂纹的萌生与扩展也转向裂纹尖端；随着裂纹倾角的增加，应力逐渐转移至孔边，使得试件右侧的新生裂纹萌生与扩展逐渐向孔边转移。

2.2 强度分析

预制裂纹能够有效地改变试件的应力状态，一方面，预制裂纹的倾角与长度直接影响试件的实际承载截面面积；另一方面，应力在圆孔边与裂纹尖端的转移能够将应力较好地分散，从而减小应力集中系数，使得裂纹的萌生更加困难。研究预制裂纹对试件极限强度的影响，一方面是提高试件的极限强度，尤其是在地下工程中，提高岩体的极限强度对整个工程的稳定性有至关重要的作用；另一方面是降低试件极限强度，尤其是在煤矿采空区切顶卸压方面的应用，使裂纹向指定方向扩展，让工程结构的破坏变得可控，各编号类岩石试件的极限强度见表2。

表2 各编号类岩石试件强度Table 2 Strength of rock-like specimens with different numbers

整体而言，类岩石试件的极限抗压强度随着预制裂纹长度的增加而减小，随着预制裂纹倾角的增大而增大，当预制裂纹倾角为75°，预制裂纹长度为7.5 mm、17.5 mm时的类岩石试件的极限抗压强度甚至超过无裂隙的类岩石试件，这说明合理的裂纹倾角、长度搭配可以获得更高的极限强度；此外，当预制裂纹倾角为90°时，预制裂纹长度对类岩石试件的强度影响较小，此时的类岩石试件强度十分接近无裂纹的类岩石试件强度，由于摩尔库伦准则在类岩石材料破坏中被广泛接受，所以认为剪切破坏是类岩石试件破坏的主要因素，图3(a)也佐证了这一观点，这说明预制裂纹倾角为90°时，预制裂纹对剪切裂纹的萌生与扩展没有实际作用。综上所述，含单裂纹带圆孔板的类岩石试件强度规律包括以下两点。

1) 预制裂纹长度越长，类岩石试件极限抗压强度越低；预制裂纹倾角越大，类岩石试件极限抗压强度越高，合理的裂纹长度及倾角搭配，能使试件的极限抗压强度强度得到提高。

2) 预制裂纹倾角为90°时，试件的抗压强度几乎不受影响，预制裂纹对剪切裂纹的萌生与扩展没有实际作用，但对于拉伸裂纹有促进作用，此时的裂纹从闭合型转变为张开型。

3 PFC数值仿真

PFC作为一款被岩土工程领域广泛使用的颗粒流离散元软件，能够较为精确地模拟试件单轴压缩破坏的全过程，PFC仿真一方面能够重现实验中不能被直接观察到的应力分布场景；另一方面可以计算得到试验中无法获取的裂纹尖端应力强度因子，为裂纹扩展的进一步分析提供依据。本文利用PFC2D软件对含单裂纹带圆孔板类岩石试件进行单轴压缩试验，接触选用线性平行黏结模型(linear parallel bond model，PB)，颗粒半径0.2～0.3 mm，颗粒数44 461个，预制裂纹直接采用删除命令制作，PFC模拟黏结参数见表3。

表3 PFC3D模拟黏结参数Table 3 Bonding parameters of PFC3D simulation

对各编号对应的仿真模型进行单轴压缩试验，得到各模型破坏云图、力链图以及裂纹尖端应力强度因子，以无预制裂纹以及预制裂纹长度为7.5 mm为例，得到不同倾角下的模型破坏云图如图4所示。

相较于实拍图，仿真图中的裂纹扩展分区情况更加清晰，由图4(b)～图4(d)可以明显看出新生裂纹的萌生是从裂纹尖端开始的，由图4(f)～图4(h)可以看出新生裂纹从孔边萌生，再次验证了裂纹扩展演化规律。但裂纹萌生位置的改变只能定性地验证应力的转移，很难对应力转移进行定量化分析，为了定量化分析应力转移，本文对实验中的力链变化进行监测，得到轴向应变为0.1%时的类岩石试件力链图如图5所示。此外，本文在圆孔两侧距圆心8 mm处设置有半径为2 mm的测量圆，测量圆可以测量实验中的圆内颗粒平均应力，孔边平均应力变化曲线图如图6所示。

图4 破坏仿真云图Fig.4 Failure simulation cloud chart

图5 颗粒接触应力Fig.5 Particle contact stress

图6 孔边平均应力Fig.6 Average stress at hole edge

图5中白色稀疏区域为受拉区，随着裂纹倾角的增大，受拉区的面积逐渐减小；随着裂纹长度的增加，受拉区的面积逐渐增大。此外，随着裂纹倾角的增大，应力逐渐从预制裂纹尖端转移至孔边，同时，试件整体的受力更加均匀，有利于抗压强度的提高。从图6中可以定量化分析应力转移情况，随着裂纹倾角的增加，右侧孔边颗粒平均应力不断攀升，左侧孔边颗粒平均应力先下降后上升，当两边平均应力都低于无裂纹应力曲线时，试件的抗压强度有所提高，如裂纹倾角为75°时，裂纹长度为12.5 mm的右侧曲线高于无裂纹，故编号为B-6的试件抗压强度低于无裂纹时的强度；而裂纹长度为7.5 mm、17.5 mm两侧曲线均低于无裂纹曲线，故编号为A-6、C-6的试件的抗压强度高于无裂纹时的抗压强度。综上所述，数值仿真所得规律可总结以下两点。

1) 倾角越小、长度越大的预制裂纹会对试件造成更大的受拉区，并且应力更容易在预制裂纹尖端集中，试件整体受力更不均匀。

2) 预制裂纹倾角对孔边应力的影响大于预制裂纹长度对孔边应力的影响；随着裂纹倾角的增加，左侧孔边应力先减小后增大，右侧孔边应力持续增大，当试件圆孔两侧应力曲线均在无裂纹曲线下方时，试件抗压强度有所提高。

4 应力强度因子

应力强度因子是目前各裂纹扩展准则中的重要参数，如类岩石中常用的MTS准则[19]、MSS准则等。通过研究应力强度因子的变化，可以对工程结构的可靠性与安全性进行评估，在SCDC试验中，倪敏等[16]推导拟合得出半解析公式，使得SCDC试验得到进一步的分析，但该公式的适用性仅限于裂纹倾角为90°，且宽径比小于6的类岩石试件，针对目前不同裂纹倾角下裂纹应力强度因子研究不足的问题，本文首先利用PFC求得裂纹尖端的应力强度因子，其次结合复合型裂纹应力强度因子计算公式，通过四项sin和函数拟合的方法，得到适用于本类岩石试件的拟合型应力强度因子计算公式。图7为单位轴向压缩应力下PFC计算得出的裂纹尖端应力强度因子变化曲线，应力强度因子的整体变化规律是随着裂纹倾角的增大先降低接近至0，而后逐渐升高，裂纹逐渐从闭合型转变为张开型；并且裂纹长度越大，逼近0所需倾角也越大。函数拟合曲线如图8所示，拟合参数见表4。

图7 裂纹尖端应力强度因子Fig.7 Stress intensity factor at crack tip

表4 拟合参数Table 4 Fitting parameters

图8 函数拟合曲线Fig.8 Fitting curve of function

拟合得到的应力强度因子计算公式见式(1)。

a3sin(b3x+c3)+a4sin(b4x+c4))

(1)

式中：K为应力强度因子；σ为轴向荷载；a为预制裂纹长度。

拟合曲线能够较好地反映应力强度因子的变化规律如下所述。

1) 随着预制裂纹倾角的增大，裂纹尖端应力强度因子不断减小，此时裂纹仍属于闭合型裂纹；当裂纹倾角达到一定值时，应力强度因子达到最小值，随后以较大的速度上升，此时裂纹属于张开型裂纹。

2) 随着裂纹长度的增加，闭合型裂纹所属的裂纹倾角范围越广，即应力强度因子曲线中最小值所对应的裂纹倾角越大。

5 结 论

本文对含不同裂纹倾角的带圆孔板进行单轴压缩试验，并利用PFC进行数值仿真计算，得到如下结论。

1) 拉伸裂纹先剪切裂纹出现，但随着试验的进行，由剪切裂纹扩展造成的位错效应抑制拉伸裂纹的扩展，使得拉伸裂纹逐渐闭合；试验继续，位错效应随着剪切裂纹的扩展，反之减弱，拉伸裂纹得以重新出现并由于泊松效应迅速扩展，直至试件完全破坏。

2) 随着预制裂纹倾角的增大，试件应力集中逐渐从裂纹尖端转移至孔边，使得新生裂纹的萌生与扩展向孔边转移，同时，试件受拉区域面积逐渐减小，试件的极限抗压强度逐渐提高；预制裂纹长度增加，试件受拉区域面积显著上升，且应力集中从裂纹尖端向孔边过渡更加缓慢，试件的极限抗压强度降低。

3) 圆孔左侧平均应力随裂纹倾角的增大呈先减小后增大变化规律，圆孔右侧平均应力随裂纹倾角的增大呈逐渐上升趋势，当同一裂纹长度及倾角下的圆孔两侧平均应力均在无裂纹平均应力之下时，试件的极限抗压强度比无裂纹时更高，此时的预制裂纹有提高试件强度的作用。

4) 随着裂纹倾角的增加，裂纹尖端应力强度因子先逐渐降低，此时预制裂纹属于闭合型裂纹；当预制裂纹倾角达到一定角度时，应力强度因子逐渐上升，此时预制裂纹属于张开型裂纹；预制裂纹长度的增加可以提高这一角度，并降低张开型裂纹的应力强度因子。

本文试验仅针对预制裂纹的倾角、长度和单轴应力状态下的类岩石试件进行研究，而在实际情况中，岩石处于三轴压缩应力状态，中间主应力和最小主应力会对裂纹的演化产生抑制作用；并且裂纹大多不垂直分布，在Z轴方向上也存在转角，故对于含单裂纹的带圆孔板在复杂应力状态下的三维裂纹扩展演化分析有待进一步研究。