带有外部扰动的热波耦合系统的H∞鲁棒性

梁 阳，金雪莲

带有外部扰动的热波耦合系统的H∞鲁棒性

梁 阳1，金雪莲2

（1.锦州师范高等专科学校，辽宁 锦州 121001；2.辽宁工业大学 理学院，辽宁 锦州 121001）

为了研究带有外部扰动的热波耦合系统的稳定性，首先对能量函数进行求导，然后构造Lyapunov函数并求其导数，最后在负比例反馈下，使用Matlab中LMI工具包和矩阵的负定性得到系统的H∞鲁棒性，利用类似方法可以得到在动态反馈下系统的H∞鲁棒性。

Lyapunov函数；负比例反馈；外部扰动；H∞鲁棒性

耦合系统是工程学、力学和数学等领域中重要的研究内容之一，特别是耦合系统的稳定性，它的研究具有复杂性。目前，热波耦合系统在负比例反馈和动态反馈这两种反馈方式下的指数稳定性已经得到证明，热波耦合连续系统和离散系统的指数稳定性也已经被证明，本文在此基础上对热波耦合系统实施外部扰动，研究带有外部扰动的热波耦合系统的稳定性，在负比例反馈下，利用Matlab中LMI工具包和矩阵的负定性得到系统的H∞鲁棒性，类似方法可以证明动态反馈条件下系统的H∞鲁棒性，为后续研究系统的一致指数稳定性以及可观性反问题等提供了理论基础。

1 问题描述

本文研究如式(1)所示偏微分方程组所描绘的、带有外部扰动的一维热波耦合系统，该系统由两部分组成：一根热杆，一根振动弦。(, -)表示热杆时刻位于∈(0, 1)处的温度；(,)表示热杆时刻位于∈(0, 1)处距离平衡位置的位移；对于该系统实施的外部扰动1(,),2(,)∈2(0,∞;2(0,1))[1]。通过分析，系统(1)的状态空间如式(2)所示。

H具有的内积如式(3)所示。

式中：=((, -), y(,),y(,))∈。

系统(1)的能量是相应于内积导出的范数，如式(4)所示。

定义[2]鲁棒性指系统在不确定参数摄动下，系统维持其自身某种性能（稳定、某指标）的特性。

本文所研究的H∞边界控制问题是指[3]，给定＞0和负比例反馈下，对于所有可容许外部干扰1(,)、2(,)，相应于系统(1)的解满足式(5)。

2 主要结果

对式(4)两端求导数，如式(6)所示。

构造Lyapunov函数，如式(8)所示。

式中：0＜＜1，()如式(9)所示。

引理 辅助函数()满足式(10)：

证明

式中：

证明

3 结束语

本文首先对带有外部扰动的热波耦合系统的能量函数进行求导，然后构造Lyapunov函数并求其导数，最后在负比例反馈下，利用Matlab中LMI工具包和矩阵的负定性得到系统的H∞鲁棒性，为后续研究系统的一致指数稳定性以及可观性反问题等提供了理论基础。

[1] 郑福, 李艳. 具有动态边界阻尼的波方程的降阶型差分半离散化的一致指数稳定性[J]. 控制理论与应用, 2020, 37(7): 1589-1594.

[2] Fridmane, Orlovy. An LMI approach to H∞boundary control of semi-linear parabolic and hyperbolic systems[J]. Automatica, 2009, 45: 2060-2066.

[3] 金雪莲, 张思佳, 郑福. 热波耦合系统的指数镇定及其H∞鲁棒性[J]. 控制理论与应用, 2021, 38(12): 2069-2075.

[4] 张恭庆, 林源渠. 泛函分析讲义(上册)[M]. 北京: 北京大学出版社, 1987.

[5] Russell D L. A General framework for the study of indirect damping mechanisms in elastic systems[J]. Journal of mathematical analysis and applications, 1993, 173: 339-358.

[6] Gibson J S, Rosen I G, Tao G. Approximation in control of thermoelastic systems[J]. Control and optimization, 1992, 30(5): 1163-1189.

[7] Junior A, Ramos A, Santos L. Observability inequality for the finite-difference semi-discretization of the 1-d coupled wave equations[J]. Comput. Math. 2015, 41: 105-130.

[8] Feng H, Guo B Z. New unknown input observer and output feedback stabilization for uncertain heat equation[J]. Automatica, 2017, 86:1-10.

The H∞Robustness of the Heat-wave Coupled System with External Disturbance

LIANG Yang1, JIN Xue-lian2

（1. Jinzhou Normal College, Jinzhou 121001, China; 2. College of Science, Liaoning University of Technology, Jinzhou 121001, China）

In order to research the stabilization of the heat-wave coupled system with external disturbance, energy function is derivated. Then, Lyapunov function is built and derivated. Finally, based on negative proportional feedback by using LMI tool kit of Matlab language and negative definiteness of Matrix, the H∞robustness of the heat-wave coupled system with external disturbance is proved. By the analogous method, based on dynamic feedback, the H∞robustness of the system is proved, too.

Lyapunov function; negative proportional feedback; external disturbance; H∞robustness

10.15916/j.issn1674-3261.2022.03.011

O231

A

1674-3261(2022)03-0193-04

2021-08-03

辽宁省教育厅科学研究经费项目(JJL201915408)

梁 阳(1972-)，男，辽宁锦州人，助理研究员。

金雪莲(1979-)，女(朝鲜族)，辽宁锦州人，副教授，硕士。

责任编辑：陈 明