一道中考压轴题的解法探究

2022-07-20 00:35赵霞
数学学习与研究 2022年10期
关键词:一题多解

赵霞

【摘要】2019年娄底市中考压轴题是一道比较综合且复杂的大题,涉及了函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合等四大数学思想方法,其(2)(3)问还涵盖了动点问题,彰显了题目的开放性与灵活性.本题除了考查学生对基本知识、基本技能的掌握情况,还考查学生分析问题、解决问题的能力.文章主要对此题(1)(2)问进行了多种解法的探究,并对每种解法进行了相应的分析,旨在不局限于常规思维,培养学生思维的发散性.

【关键词】中考压轴题;动态几何;一题多解;解法分析

三、解法分析

(一)第(1)问解法分析

解题思路:因为抛物线参数a,b,c是未知的,所以求得a,b,c便可解得此题.

解法一,抛物线为y=ax2+bx+c,又因为过A,B,D三点,所以可以构造三元一次方程组,用待定系数法去求二次函数的解析式,由三个未知数列三个方程,便可求得a,b,c,从而可以得到抛物线的解析式.

解法二是先根据抛物线对称轴与两根的关系列出等式,解得b=-2a,从而使抛物线解析式变为关于a,c的二元一次方程,即y=ax2-2ax+c(x,y看作常数,b用含a的表达式代替),达到了消元的目的,此时还剩两个未知数a,c,如解法一,继续用待定系数法将B,D两点代入,解关于a,c的二元一次方程组,最终求得解析式.

解法三前面同解法二,再根据抛物线根与系数的关系进一步达到消元的目的,使抛物线解析式变成关于a的一元一次方程.解法一到解法三是方程从三元一次方程到二元一次方程,再到一元一次方程,体现了将方程由难变易、由多元到一元的转化,运用了转化与化归的数学思想方法.

解法四则体现了更深层次的解题思路,因为抛物线过特殊点(零点)A和B,因而可根据“交点式”直接设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3),将点D代入,直接得到关于a的一元一次方程,解得a,最终求得抛物线解析式.此解题思路体现了思维的转化,涉及了解题的基本方法,即综合法与分析法.

以上各种解法都有其自身的特点,但都体现了一点,即用待定系数法求其抛物线的解析式.学生碰到此类型题时,不能仅仅局限于解法一与解法四这种常规解法,可尝试应用自己已学的知识,根据已有的知识结构去积累更多的新的解题经验,比如在遇到问题时,可多动脑,勤思考,认真去探索如何才能成功求解,且在解决问题的过程中尝试一题多解,从多个角度去探究,不仅要掌握解题过程的具体步骤,还要能分析出为什么这样做以及其中蘊含的数学思想方法.

(二)第(2)问解法分析

此问涉及动点问题以及分类讨论的思想,主要考查动点与静态点所构成的三角形面积最大值问题,此外,还需确定点在运动变化过程中与图形相关的某些量.解决此题的关键是先找准△POD的底和高,再求出面积最大值.第一步可将重点放在题目的前提条件,因题目强调了点P在直线OD下方,因而可先通过直线OD与抛物线的交点求出点P横坐标的取值范围,为后面最值的讨论提供一定的取值依据,体现出数学的严谨性.第二步找到静态点所构成的静态线段,也可分析静态点与动态点所构成线段,将其作为三角形的底边,再去确定相应底边上的高.基于此,可设出动点P的坐标,根据两点间的距离公式求出△POD静态或动态线段的长度,根据点到直线的距离求出底边上的高,利用三角形面积公式S=12×底×高列出等式,最后探索等式右边满足什么样的条件时S有最大值.

本问因说明点P在直线OD下方,所以第一步应先求出动点P的取值范围,再考虑△POD中线段OD的长度是固定的,因而可将线段OD视为△POD的底边,最后找到底边上高的最大值便可求解.

解法一是从点到直线的距离的定义出发,求点P到直线OD的距离(△POD底边OD上的高)即为点H到直线OD的距离.求得距离是关于m的二次函数,图像为开口向下的抛物线,且顶点横坐标在动点P的取值范围之内,因而顶点纵坐标为距离的最大值,从而求得三角形面积最大值.

解法二是观察法与分析法的结合,分析底边OD上高的最大值,观察图像,将直线OD往下平移至与抛物线相切时,高最大,则△POD面积最大,体现了数形结合的思想方法.

而解法三与解法四主要是分析静态点与动态点所构成线段的关系,把动态点、动态线段当成已知点、已知线段,主要依据是三角形三边都可以作为三角形的底边,再求底边上对应的高,代入三角形面积公式,最后把得到的二次函数进行分析,便可求出△POD面积的最大值.

解法五是根据△POD可以拆分成△POG与△OGD,类似于以上解法可求解,本解法是找到两个三角形共同的底边OG,再分别求相应的高,列式分析即可.

以上五种解法都离不开三角形的面积公式,要想知道面积最大值,相应地要知道底边乘以高的最大值.求解此问题的难点在于如何求解三角形的底边和高,即能否实现几何问题向代数问题的转换.解此题最容易忽视的是确定动点P的横坐标的取值范围,是否能取到最值与是否符合题意息息相关.因此,解决此类题目时,要学会认真审题,分析题目隐含条件,从而把隐含条件展现出来,看是否能为最终的证明提供一定的引导.

(三)第(3)问解法分析

本问考点主要涉及分类讨论、数形结合的思想方法.依据题意,要使△OBE与△ABC相似,则△OBE与△ABC的三个角都对应相等.很显然,∠OBE=∠ABC,则三角形各自剩下的角对应相等有两种情况:①∠BOE=∠BAC,∠OEB=∠ACB,则点O与点A、点B与点B、点E与点C对应,即△OBE∽△ABC;②∠BOE=∠BCA,∠OEB=∠CAB,则点O与点C、点B与点B、点E与点A对应,即△OBE∽△CBA.再根据三角形相似的概念,有对应边对应成比例,根据已知线段求未知线段OE,BE,设出点E的坐标,再根据勾股定理列出方程组,便可求出点E的坐标,从而可以求出直线OE的解析式,而点Q是直线OE与抛物线的交点,联立可得点Q坐标.解决此题的关键是点Q为直线OE与抛物线的交点,要想求得点Q,便要求出直线OE的解析式,进而求出点E的坐标,这里体现了逆推的思想.

四、启示与思考

一题多解主要是培养学生的发散性思维.在教学过程中,教师不应只局限于一种解法,限制学生思维的发展,而应当结合前后知识点强化学生的思维.这样不仅能帮助学生温习旧知,搭建桥梁,建立起新旧知识的联系,同时锻炼了学生的智力,使其体会到解题的快乐.教师在教学过程中也应结合学生的认知发展,重视学生知情意行的培养以及函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合等思想方法的渗透,培养学生良好的数学学习习惯.

【参考文献】

[1]李加禄.抛物线中三角形面积最大值问题的解法攻略[J].数理化学习(初中版),2020(2):41-44.

[2]任永生.一道中考数学动点问题解析[J].新课程,2020(23):236.

[3]李玉荣.从一道中考题的解法谈起[J].河北理科教学研究,2019(1):8-10.

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