活用学生资源 激活高阶思维

江苏南京市长江路小学（210018）邹佳琦

一节数学课能留给学生什么？是碎片化的数学知识，还是知识背后通透的意义和关联？是浅尝辄止后的平淡无奇，还是头脑风暴后的意犹未尽？是眼前的“风景”，还是希望的“田野”？当下，一些教师更多的是关注学生对知识的记忆、理解、运用等低阶思维的培养，很少给学生提供分析、评价和创造等高阶思维的机会，因此学生在日复一日的机械化训练中对数学的体验不深入、理解不深刻，逐渐失去了学习数学的动力和兴趣。

精彩的课堂往往离不开学生的生成，学生的数学思维不是静止的，而是一种动态的“流”，至于流向哪里，取决于教师能否把握学生思维发展的走向。数学课程标准指出，数学课程的目标是要能够培养学生的抽象思维和推理能力，发展学生的创新意识和实践能力。如何实现这样的目标，切实有效提升学生的数学核心素养？关键在于教师要以高阶思维为支撑，通过各种形式将学生的生成进行加工，抓住契机优化学生的思考模式，引导学生形成知识技能和数学思想。唯有如此，方能培养学生的高阶思维。

一、抛砖引玉，在质疑中探索

学生学习知识时，可能会由此及彼地联想到相关的一些问题进而产生疑问或者提出不同的见解。此时，教师应该专注倾听，让有价值的质疑成为教学难点的突破口，让学生经历主动猜想、探究、论证的过程，促使学生在已有的知识背景下发现新问题、学习新知识，对具体问题做出多角度的联想和思考。

例如，教学“商不变规律”时，教师要求学生自主计算、对比，探究得出“被除数和除数同时乘以或除以一个相同的数（0除外），商不变”这一规律。正当教师准备带领学生练习时，一位学生提出疑问：

生1：商是不变了，那万一有余数怎么办？余数是变还是不变呢？

师：这位同学提了一个非常有价值的问题，那接下来请同学们围绕这个问题，先思考，再用喜欢的方法来证明自己的观点。

生1：我认为余数是要变的。我是用竖式计算证明的。比如900÷40=22……20和90÷4=22……2，被除数和除数都同时缩小了10倍，余数也缩小了10倍。

生2：我也认为余数会变。如果余数不变的话，反过来验算就不成立。比如900÷40=22……20，被除数和除数缩小10倍，假设余数不变，就是90÷4=22……20，反过来就是4×22+20=108，不等于90，所以余数肯定要变。

生3：我们刚学的是“商不变规律”，它没有说余数不变，商和余数是两回事，所以被除数和除数扩大或缩小时，余数也应该有相应的变化。

……

师：大家说得都很有道理。看来大家通过思考都找到了答案。没错，当有余数时，余数是要变的，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），那余数也要扩大或缩小相同的倍数。

至此，学生明确了“商不变，余数要变”的道理。在此过程中，学生的思维得到解放，他们敢于尝试、敢于分析，在生生、师生互动中深入学习与思考。因此，面对学生的质疑，教师要营造平等轻松的学习氛围，不妨将学生的质疑再次以问题的形式还给学生，放手让学生探索解决问题的办法。

二、顺势而为，在问题中思辨

学生为什么只有一种想法？为什么常常出现思维定式？为什么只会书本上教的知识？海阔凭鱼跃，天高任鸟飞。在当下的信息化社会，如果教学还囿于一隅，那么学生的视野将会变得狭隘，思维就会僵化，长此以往，不利于数学素养的提升。唯有让学生思维碰撞，迸发出智慧的火花，才能闪现那极具创造性的灵光。

教学可围绕问题来展开。问题主要分为教师的问题和学生的问题。然而很多时候，大家似乎更加关注教师的问题，而忽略了学生的问题。学生问题表达的其实是内心最真实的困惑，反映了认知的起点，即我在哪里，准备往何处去。面对学生的问题，如果只是避重就轻，那课堂并非是在为学生服务，而是在解决教师的问题，很容易陷入为活动而教和为灌输而教的两大误区。《学习的本质》一书中指出，只有当个体进入了提问步骤，他才会试图去理解。基于此，教师首先应当重视学生提出的每一个问题，保护学生的求知欲；其次在面对学生提出的形形色色的问题时，要善于甄别和捕捉，紧扣数学本质，充分挖掘问题的价值，实现学生思维“增值”。

例如，教学“万以内数的读和写”时，笔者大胆放手，课前让学生预习后试着提1～2个自己认为最有价值的问题并写在学习单上。第二天上课时，让人感到惊喜的是，笔者想要问的问题，学生基本上都提出来了，比如万以内的数怎么读写？万以内的数在读写时要注意什么？为什么0在中间需要读？等等。当然，也出现了笔者没有预设到的问题。

生1：为什么中间连续有2个0的四位数只读一个0？

师（起初并没有多想，只是把它看作一个规定，即中间有2个0时只读1个0）：谁能回答他的问题？

生2（在黑板上写下1000000000009）：大家看我写的这个数，如果每个0都要读出来，岂不是变成了一零零零……九，如果还有更大的数，中间的0都读不尽了，太麻烦了。

师：谁知道他的“太麻烦了”是什么意思？

生3：他的意思是中间有很多0的时候如果全部读很麻烦。

生4：我觉得中间有很多0的时候，没有必要一个个都读出来，只读一个就行了，这样比较简单。

师：瞧，学着学着，我们不仅明白了为什么中间有2个0时只读1个0，还拓展到了中间有连续有多个0的数的读法，感受到了数学的简洁性。

学生的问题不仅有利于调动学生探究的积极性，还是对教师备课的再次补充。同时，在热烈的思考中，学生不仅学到了本节课要掌握的知识，更是感悟到了一种普遍性的规律。对学生而言，高阶思维的培养离不开创造，而创造的机会往往蕴藏在学生的问题当中。教师作为学习的启动者，必须善于倾听学生的问题，致力于发掘学生问题的研究价值和学生高阶思维的培养，在学生自我提问和自我释疑的过程中，把他们对数学知识的理解和对数学思想的感悟推向一个新的高潮。

三、多中选优，在对比中优化

在开放的教学环境下，一个大问题带来的往往是以“串联”的方式呈现的学生资源。这样的学生资源零散、杂乱而又不具有代表性，不利于学生辨析和提升思维。对小学生而言，分析和比较是一种高阶思维方式，没有分析和比较就没有鉴别和创新。因此，教师可以从不同的思维层次和视角对学生资源进行选择和分类，然后“并联”式地呈现给学生，帮助学生在对比优化中沟通不同方法之间的区别和联系，发展学生的高阶思维。

例如，教学“解决问题的策略——一一列举”时，教师对例题进行了创造性改编：王大伯用20根一米长的木条围一个面积是20平方米的长方形的羊圈，不能剩余、不许折断，这样的方案可行吗？

学生独立完成以后，教师选择了有代表性的作品（如图1），并安排学生有序地上台分享。

图1

生1：面积是20的话，4×5=20，但是周长是18，不符合条件。还有2×10=20，周长是24，所以也不行。我认为王大伯的方案不可行，请问大家有补充吗？

生2：我不同意你的想法，你只是列举了2种情况，恰好都不符合，万一要是后面有一种情况符合了怎么办呢？

师：看来光列举这几种还不够有说服力，要把所有的情况都列举出来进行分析后，才能做出准确的判断。

生3：我用的是列表的方法。周长是20米，那么用周长除以2就得到了一条长加一条宽的长度，是10米。从长9米、宽1米开始列举，发现后面的面积都不可能是20平方米，所以王大伯的方案不可行。

生4：我也是用了列表的方法。因为面积是20平方米，所以长和宽分别有3种情况，但是这样一来，周长都不可能是20米。

师：比较一下生3和生4的方法，有什么异同点？

生5：他们都用到了列表的方法。

生6：他们都是按顺序列举的，并且把所有的情况都列举出来了。

生7：他们一个是从周长去列举的，一个是从面积去列举的。

师：是的，他们尽管思路不一样，但都是按照顺序把所有的情况都列举出来了，做到了不重复不遗漏，这在数学上就叫作一一列举。这两种方法都用到了一一列举，你更喜欢哪一种方法呢？

生8：我更喜欢从面积入手去列举，因为如果从周长入手去列举的话情况比较多，要列举好久。而从面积入手去列举，只要列举三种情况就能判断了，更简单些。

在这节课中，教师将课堂教学进行“重心下移”，设计了一个开放性问题，为每个学生都提供了独立思考和解决问题的机会。于是，在丰富的互动中，多样化的思路应运而生。面对学生的多种答案，教师快速地将其筛选分类，对有代表性的作品进行了“放大”和“细磨”。当学生介绍完方法后，教师不是一带而过，而是又抛出问题，引导学生比较两种思路的异同点和优缺点。在深入的对比、分析中，学生的思维拾级而上，认知不断提高。

正如乌申斯基所说，比较是一切理解和思维的基础，我们正是通过比较来了解世界上的一切的。学生在比较中不仅体悟到了“不变”，即数学的本质，还进一步感受到了数学简约的特性，以及不同思路下解题方法的优劣，从而实现了由低阶思维向高阶思维的“跃迁”。

四、变废为宝，在错误中明理

错误在数学学习中的价值非同小可，它的意义在于能够使学生从数学的本质上对自己的错误主动地进行自我评价、反思和修正。在课堂中，学生产生一些认知偏差而导致错误时，教师要善于捕捉、灵活处理，通过适当的启发和提问，展现学生不同的声音和思考，引导学生分析和纠错，让学生不断修正、提升学习思维和思路，发展高阶思维。

例如，有关“平均数”的一道练习题：下表是某厂一年四个季度的生产产值，算一算这一年平均每月的产值是多少万元。

一季度240万元二季度280万元三季度320万元四季度300万元

出示学生的两种解题方法：（1）（240+280+320+300）÷4=285（万元）；（2）（240+280+320+300）÷12=95（万元）。

师：你认为哪种方法正确？

生1：我认为方法（2）是对的，题目问的是平均每月的产值，所以应除以12个月。

师：那方法（1）错在哪呢？为什么会出现这样的错误？

生2：不能除以4，一年又不是只有4个月。他肯定认为有几个数字相加，要求平均数就除以几。

师：你说得很有道理，那要使（1）正确，应该怎么修改题目？

生3：改成“平均每个季度的产值是多少万元”。

师：如果问题不变，顺着第一种解法继续思考，你能解决问题吗？

生4：只要再除以3就可以了，因为一个季度有3个月。

学习平均数时，由于例题和之前做的习题都是用总数除以份数，而份数就是总数相加的个数，所以学生就形成了定式思维，产生了错误。对此，教师以学生的错误为基础，展开了两个追问，引导学生从正反两种不同的角度修正错误。由此，学生认识到，解决问题不能想当然，不能凭着解题习惯不假思索地予以解答，而应从题目本身出发，谨慎地审题、深入地分析。这种有根有据的思维方式，正是学生具有高阶思维的表现。

又如，有关“小数加减法”的一道练习题“4.25+3.6”，学生可能得出7.85和4.61两种答案，很明显，错误的原因在于学生把整数加减法中的末尾对齐与小数加减法中的小数点对齐混淆，认为末尾对齐就是相同数位对齐，从而使整数加减法对小数加减法产生负向迁移。针对上述错误，教师可以先通过估算的方法引导学生辨析计算结果，让学生明确了整数中“末尾对齐”的方法在小数加减法中并不适用。在此基础上，教师通过问题“小数加减法中小数点为何要对齐？”引导学生理解对齐的目的是让相同数位对齐，如果是末尾对齐就可能会造成小数和整数相加的错误算法。最后让学生对比整数加减法，明白“末尾对齐”和“小数点对齐”这两种方法的本质是使得相同数位对齐。

负迁移并不是绝对的坏事，相反的，它是一种典型的、可利用的错误资源。教师不妨顺势而为，把易混淆的知识和易引起冲突的认知重新抛给学生，让学生在质疑、对比、判断、说理的过程中，建构正确的概念或理论。

可见，面对学生的错误生成，教师不仅要判断对错，更重要的是引导学生反思，从而调整思路，寻找对策。当学生明确正确解法后，教师可以进一步挖掘错误，提出富有挑战性的问题，引导学生思考分析，进行再发现、再创造，使学生的高阶思维培养落到实处。合理地利用学生的错误，不仅可以帮助学生突破思维定式，培育学生敏锐的洞察力，还能拓宽学生的思维空间，训练学生思维的批判性和创造性，让学生的高阶思维水到渠成、自然流淌。

数学学习重要的不是获得知识，而是发展思维能力。课堂的生成性资源无处不在，只要教师善于捕捉，并巧妙利用，就能让学生的思维从零散走向系统，从浅表走向深入，从狭隘走向开阔，从而实现思维由“低”向“高”不断进阶。