巧构造，妙解题

罗娅 高明

构造法是一种解答高中数学问题的常用方法，尤其是在解答数列问题、立体几何问题、导数问题、方程问题时，巧妙地构造出新数学模型，便可从新角度找到解题的方案.这样不仅能有效地提升解题的效率，还能拓宽解题的思路.运用构造法解题，难点在于怎样构造出合适的数学模型.下面结合实例来进行探讨.

一、妙用构造法，解数列问题

数列问题侧重于考查等差、等比数列的通项公式、性質、前n项和公式.对于一些复杂的数列问题，我们常需要根据已知条件，构造出等差或等比数列，利用等差、等比数列的通项公式、前n项和公式来求解.巧妙地运用构造法，来构造出辅助数列，可使复杂的问题简单化.

二、妙用构造法，解立体几何问题

立体几何问题对同学们的空间想象能力和抽象思维能力有较高的要求.有些立体几何问题较为复杂，很难快速找到解题的思路，此时可根据几何图形的特点和相关的定理、性质、定义来添加合适的辅助线，构造出规则的几何体、向量、平行线、垂线等，这样便能将问题简化，快速找到解题的突破口.

通过构造向量来将问题转化为向量问题求解，是解答立体几何问题的常用思路.

三、妙用构造法，解不等式问题

很多不等式问题中给出的条件较为简单，为了证明结论，常需运用构造法，将不等式进行变形，构造出合适的函数模型、方程、几何图形等，利用函数的性质、方程的性质、几何图形的位置关系来解题.这样能减少计算量，降低解题的难度.

四、妙用构造法，解方程问题

解答方程问题常用的方法有因式分解法、配方法、换元法、待定系数法等，但当面对一些复杂的解方程题目时，运用这些方法往往很难奏效，此时可运用构造法，根据方程中代数式的特点、几何意义，构造出向量、函数、几何图形，运用向量的运算法则、函数的图象、性质、几何图形的位置关系来解题.

在解题受阻时，要学会转换解题的思路，可以将复杂的数列与等差、等比数列靠拢;也可以将不等式与函数、方程关联起来;也可以利用“向量”的双重身份，根据几何图形的特点构造出向量，还可以深入挖掘问题中代数式的特点、几何意义，构造出几何图形，运用构造法来解题.这就要求我们在解题时，展开想象，运用发散性思维，将问题与其他知识关联起来，以便另辟蹊径，构造出合适的数学模型，利用其他板块的知识来解题，从而将复杂问题简单化.

（作者单位：西华师范大学数学与信息学院）