浅论石油工程专业本科生“渗流力学”学习效果与数理基础课的关系

饶 翔，纪国法，钟 珣

（长江大学石油工程学院，湖北 武汉 430100）

石油工程专业是一门典型的工科专业，在现阶段各石油院校对该专业本科生的培养计划中，在大一到大二上学期阶段会开展高等数学、大学物理、线性代数、概率统计学等数理基础课程，然后从大二下学期开始开展专业基础课程的学习，其中，“渗流力学”是专业基础课中用以分析储层多孔介质流动的基本工具，对于培养学生分析掌握地下油气渗流及采出规律的基本能力至关重要。然而，可以注意到，大部分石油工程专业本科生的数学基础课中仅包含高等数学、线性代数及概率统计学，但这几门基础课的相关知识往往难以支撑“渗流力学”课程的学习，从而导致很多石油工程专业本科生在本科阶段对这两门专业基础课的学习效果较差，当进入到研究生阶段后，则会出现基本功不扎实而导致学习和科研阻力较大的情况。对此，本文首先以“渗流力学”课程中典型的几个知识点为例指出由于目前石油工程专业本科生培养计划中数理基础课不足导致学生对“渗流力学”学习效果较差的现象，并分析了造成该现象的具体原因，然后探讨了这种现象对学生研究生阶段的具体影响，并从修改学生培养计划的角度给出了相应的措施意见。

1 “渗流力学”学习效果不佳的现象与分析

本文认为由于石油工程专业学生在数理基础课方面的学习不足，导致学生对专业基础课“渗流力学”的学习效果不佳，本节从以下三个典型的知识点为例具体说明该现象的存在并分析其原因。

1.1 势叠加原理与镜像原理

在“渗流力学”单相液体稳定渗流理论部分，会涉及势的叠加原理及镜像原理的内容，以长江大学石油工程学院使用的《油气层渗流力学》教材中为例[1]，该教材指出“当渗流服从线性定律”是势叠加原理成立的前提。然而，渗流服从线性定律的表述难以让刚学习渗流力学且没有数学物理方程基础的学生真正理解此处的线性定律具体是指什么，也有一部分学生完全忽略了该前提，因此会出现在面对由非线性渗流方程控制单相渗流问题时，有学生会联想采用势叠加原理去计算。实际上，势叠加原理的本质是线性微分方程的可叠加性[2]，即，若L是某线性微分算子，设此时分别有压力函数和分别满足：

则有：

因此，如果学生在学习这部分内容之前已对数学物理方程的一些基本概念和性质有了解，则能够对势叠加原理与镜像原理有更自然的认识。

1.2 平面渗流场的保角变换

在单相液体稳定渗流部分，有一节是关于平面渗流场的保角变换方法[1，3]，而这部分内容实际上是复变函数中共形映射的基本应用。如果学生对复变函数的基础知识不了解，则他们难以迅速理解保角变换中涉及的解析函数的导数、复数的模长和幅角等基本概念[4]。如果学生对复变函数中的共形映射不了解，则即使他们完全理解了直线供给边缘、圆形地层偏心井、环形井排、直线无穷井排等特殊情况下的保角变换（共形映射），也难以掌握其他变形或组合情况下的保角变换的构造方法。

在复变函数理论中，著名数学家黎曼将解析函数看成一个复平面向另一个复平面的映射。因此，复变函数论中对各类解析函数的映射性质进行了详细的分析，并基于解析函数的实部函数与虚部函数需满足柯西黎曼条件的性质，指出共形映射在拉普拉斯方程边值问题中的应用，而平面稳定渗流问题正是典型拉普拉斯方程，因此渗流力学平面稳定渗流问题的保角变换实际上是复变函数共形映射在拉普拉斯边值问题中应用的一个示例。而未学习过复变函数中这部分知识的学生，往往会忽视保角变换方法应用的前提，即压力满足拉普拉斯方程的稳定渗流问题，而会在面对非稳定渗流问题时甚至也会尝试去采用保角变换进行求解，这显然是一个无用功，因为非稳定渗流问题不再满足拉普拉斯方程。这种情况的出现说明学生们并没有真正理解保角变换在渗流力学中应用的相关内容，而更多地采用偏机械性记忆的方式学习这部分内容。

如果学生在大三涉及“渗流力学”课程之前已经掌握了复变函数论的相关知识，或未完全掌握但有相关内容的了解和映像，那么他们在渗流力学中学习这部分内容的时候将更有可能实现数理基础知识与专业基础渗流力学之间的融会贯通，从而将数理基础理论具象化，又从具象中巩固了数理基础理论的理解。

1.3 两相流中的等饱和度面移动方程

“渗流力学”课程在油水两相流理论中肯定会讲述十分经典的Buckley-Leverett水驱油理论，该理论建立在不考虑油水重率差、毛管力及压缩性的前提下，从而得到了如下所示的关于含水饱和度的方程：

对式（3）中方程的求解，“渗流力学”课程中直接给出式（4）中的等饱和度面移动方程（或称为Buckley-Leverett方程）及式（5）中的积分形式。

学生们在学习这部分内容时，往往对其中具体的推导过程不甚清楚，从而对这部分的内容掌握不清楚，而这部分内容是“渗流力学”课程中两相流理论的基础，也是重中之重。虽然这部分内容已经是十分古典的渗流力学解析求解理论，然而该理论即使到现在也不失其重要性，例如赵辉等提出的井间连通模型（INSIM）则是利用Buckley-Leverett水驱油理论对连通单元上含水饱和度的分布进行高效计算[5]。

实际上，式（3）是一个典型的双曲守恒率偏微分方程[2，6]，数学物理方程中常常采用特征线方法对其进行求解，而特征线即是此处的等饱和度面（线），因此可以立即得到Buckley-Leverett方程。因此，如果学生们在学习“渗流力学”课程之前具有数学物理方程方面较扎实的基础，则能够很自然得推导得到这个结果，并能够形成数理方程基础理论与工程物理问题之间的相互结合且相互加强的学习过程，这对于牢固的知识结构形成以及科研能力的训练都十分重要。

除了上述三个重要的知识点外，对“渗流力学”渗流微分方程求解中经常使用的拉普拉斯变换、傅里叶变换等工具及其所涉及的复数基本概念和复变函数积分等内容。然而，往往很少有学生对这些内容有所了解，从而导致学生们难以掌握求解渗流微分方程的有效工具，影响了教师的教学质量和学生的学习效果。而这些内容均是“复变函数”和“数学物理方程”的基本知识。

上述的这些现象和相应分析充分表明了目前石油工程专业本科生因为“复变函数”与“数学物理方程”这两门数理基本课相关知识的缺乏，导致对大三开始后的专业基础课“渗流力学”学习效果不佳，难以形成对所学习内容的充分理解，导致对许多内容以更偏机械化记忆或者些许理解+机械化记忆的方式掌握，使得后续分析油气地下渗流问题的能力有所不足。

2 该现象对学生研究生阶段的影响

现在很多本科毕业生会在本科毕业后继续攻读研究生，而石油工程专业的本科生在读研时一般有油气田开发和油气井工程这两个方向，而油气田开发工程方向的基础则是油气渗流力学。除了纯粹的物理实验，油气田开发工程方向研究生的主要科研类型包括构建油藏渗流的数学模型、对模型的解析、半解析或数值求解等，而构建油藏渗流的数学模型一般则是建立关于压力、饱和度、温度、组分浓度、应力等的微分方程，对模型的解析或半解析求解往往也需要用到大量的数学物理方程求解方法，例如常用的分离变量法、拉普拉斯变换、各类方程（拉普拉斯方程、亥姆霍兹方程等）的点源解、各类贝塞尔函数的表达式及性质、勒让德方程及勒让德多项式的应用等，而这些方法中都离不开复变函数的相关知识。在渗流控制方程的数值计算方面，虽然现在广泛采用的有限差分、有限体积法并不需要太多的数学物理方程的知识，然而如果想要在油藏数值计算方法方面有所突破，则必须要掌握更全面及更复杂的数值方法，例如计算力学中广泛使用的有限元方法，则要求我们对数学物理方程的变分问题、变分问题的近似解法（包括里茨法、伽辽金法）及衍生得到的有限元等要有较清晰的认识，以及间断伽辽金方法里的黎曼问题求解器等。

对于没有“复变函数”及“数学物理方程”课程基础或者这方面基础不扎实的学生，在面对这些知识点时会比较迷茫，在较为紧迫的科研任务面前，现学这些知识则显得阻力较大而比较吃力，从而导致学生的学习和科研效果不佳。

3 培养计划中数理基础课改革的建议

由于在“渗流力学”课程中，会大量使用复变函数及数学物理方程的基本知识，包括流函数、势函数，叠加原理，镜像原理，对非稳态方程的拉普拉斯变换求解等，且数学物理方程所需的很多基础知识来源于复变函数及线性代数，因此建议在大二上学期学习线性代数的同时开设适合工科学生的“复变函数”课程，从而在大二下学期开设“数学物理方程”课程，为后续在大三阶段学习“渗流力学”专业基础课打下坚实的数理基础，便于学生在学习专业基础课时能够取得更好的学习效果，也易于形成数理基础课与专业基础课之间的知识网络，从而形成了双向加强作用。

对于研究生而言，如果能够在本科生阶段打下扎实的数理基础，则对科研极有裨益。纵观世界科技史，往往世界数学、物理的中心即是世界科学技术的中心，自十九世纪以来，数学物理等基础学科的中心在法国，十九世纪末、二十世纪初转移至德国，彼时德国哥廷根学派闻名遐迩，科技水平居世界之最。随后希特勒上台，大批杰出的科学家前往美国，其中包括：爱因斯坦、冯诺依曼、哥德尔、范德瓦尔登等，由此美国逐渐成为世界科技的中心，成为战后的超级大国。例如，近现代以来工程领域中广泛应用的控制论、信息论等理论分别由当时赴美的数学家维纳和香龙提出，王选发明的汉字激光照排术则受到微分几何中对曲线参数化表征思想的启发。因此，只知道技术，而不精通技术背后的基础理论，是做不出原创性成果的。在石油工程领域内，除了纯粹的物理实验研究，其他的科研（例如油藏数值模拟、渗流模型解析解、注采制度优化等）一般均需要相应的数理工具，而其中大部分所需的数理工具也均来源于复变函数论与数学物理方程这两门数理基础课。此外，也建议在本科阶段或者研究生阶段可以同时提供更多数理基础类课程作为选修课程，供学有余力的学生能掌握更多的数理工具，因为很多原创性的科研成果来源于一些看似无关的领域之间的结合，例如，2016年诺贝尔物理学奖就颁发给了将拓扑学引入物理领域的三位科学家，他们从理论上发现拓扑相变和拓扑相物质，为材料科学和电子学的未来应用提供了更远大的前景。

4 结论

（1）一些石油工程专业本科生由于数理基础课知识的缺乏而对专业基础课“渗流力学”的学习效果不好；

（2）“复变函数”和“数学物理方程”这两门数理基础课能够为石油工程专业本科生学习“渗流力学”课程提供坚实的基础，也有助于形成数理基础课知识与专业基础课知识之间的双向加强学习；

（3）本文建议在大二上学期学习线性代数的同时开设适合工科学生的“复变函数”课程，并在大二下学期开设“数学物理方程”课程，为大三开始学习“渗流力学”课程打下坚实的数理基础。