构造法解题的策略

鲍永葆 王永庆

构造法是数学上的一种基本方法，在解题中通过对条件和结论的深入分析，牢牢抓住反映问题的条件与结论之间的内在联系，找出“已知”与“所求（所证）”之间的联系纽带，构造出一种适当的数学模型，使问题巧妙地得到解决，从而避免繁杂的运算或复杂的证明.

1 构造几何图形解题

例1 x取什么值时，下列式子9+x2+9+（4-x）2的值最小.

分析 所求式子的两个部分9+x2和9+（4-x）2与勾股定理形状相似，可以通过构造几何图形即直角三角形来解.

解 在Rt△ABE和Rt△CDE中，点B，E，D在一条直线上，且AB=CD=3，BD=4.

若设BE=x，则DE=4-x.

在Rt△ABE中，

AE=32+x2=9+x2，

在Rt△CDE中，

CE=32+（4-x）2=9+（4-x）2，

AE+CE=9+x2+9+（4-x）2.

当A，E，C三点在一条直线上时，AE+CE最短，即AC长.

过点C作CF垂直于AB的延长线，垂足点是F.

所以四边形CDBF是矩形，

BF=CD=3，BD=CF=4，

在Rt△AFC中，AF=3+3=6，

所以AC=FA2+CF2=62+42=52=213.

所以9+x2+9+（4-x）2的最小值是213.

例2 已知正方形ABCD边长为2，E，F分别是BC，CD上的动点，且满足BE=CF，连接AE，BF，交点为P点，则PD的最小值为.

分析 容易证得∠APB=90°，

因为AB，是定直线，所以点P在以AB为直径的圆上运动，构造辅助圆解题.

解 在正方形ABCD中，

AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，

又因为BE=CF，

所以△ABE≌△BCF.

得到∠BAE=∠CBF，

又因为∠ABP+∠CBF=90°，

所以∠ABP+∠BAE=90°，

即∠APB=90°，

所以点P在以AB为直径，O为圆心的圆上运动.

连接OD交⊙O于M点，当点P运动到M点时，DP=DM最短，因为AO=1，AD=2，

所以OD=OA2+AD2=12+22=5，

又因为OM=1，

所以DM=5-1，

即PD的最小值为=5-1.

例3 求|x+1|+|x-3|+|x-5|的最小值.

分析 因为|x+1|=|x-（-1）|，根据绝对值的意义可知，|x+1|表示x与-1之间的距离，同理， |x-3|表示x与3之间的距离，|x-5|表示x与5之间的距离.求|x+1|+|x-3|+|x-5|的最小值，就是找到x，它到-1，3，5的距离和最小.可以在数轴进行讨论.

解 若x用点P表示，求|x+1|+|x-3|+|x-5|的最小值，就是求PA+PB+PC的最小值.

（1）当点P在点A的左边（包括点A）时，

PA+PB+PC=PA+PA+AB+PA+AC=3PA+AB+AC=3PA+4+6=10+3PA.

（2）当点P在点A与点B的之间（包括点B）时，

PA+PB+PC=PA+PB+PB+PC=PA+PC+2PB=AC+2PB=6+2PB.

（3）当点P在点B与点C的之间（包括点C）时，

PA+PB+PC=AB+PB+PB+PC=AB+PB+PC+PB=AC+PB=6+PB.

（4）当点P在点C右边时，

PA+PB+PC=AC+PC+BC+PC+PC=AC+BC+3PC=6+2+3PC=8+3PC.

综合（1）、（2）、（3）、（4）可知，当点P与点B重合时，即PB=0，

PA+PB+PC=6+0=6最小，此时x=3.

2 构造方程解题

例4 若ab≠1，且有5a2+2001a+9=0及9b2+2001b+5=0，则ab的值是（）

（A）95. （B）59. （C）-20015. （D）-20019.

分析 所给两个等式形式很相同，可以构造一元二次方程来解.

解 将9b2+2001b+5=0两边同时除以b2得

9+2001b+5b2=0，

即5·1b2+2001·1b+9=0，

又有5a2+2001a+9=0.

所以a，1b是方程5x2+2001x+9=0的两个根.

因为ab≠1，

即a≠1b，

由根与系数关系可知a·1b=95，

即ab=95.

故选（A）.

3 构造函数解题

例5 已知a，b，c均為实数，且满足b2<a+c，4a+b+c<0，则下列选项中正确的是（）

（A）a-b<0，b2-16ac>0.

（B）b-c<0，b2-16ac≥0.

（C）b-c>0，b2-16ac>0.

（D）b-c>0，b2-16ac≥0.

分析 因为b2<a+c，

所以a-12b+c>0，

又因为4a+b+c<0，

可以构造函数y=ax2+12bx+c（a≠0）进行解题.

解 因为b2<a+c，

所以a-12b+c>0，

即-4a+2b-4c<0，①

又因为4a+b+c<0，②

①+②得3b-3c<0，b-c<0.

（1）若a=0，b=0，

则由b2<a+c，得c>0，

由4a+b+c<0，得c<0，矛盾.

所以a=0，则b≠0，b2-16ac=b2>0.

（2）若a≠0，由a-12b+c>0，4a+b+c<0，可以构造二次函数y=ax2+12bx+c，

当x=-1时，y=a-12b+c>0，

当x=2时，y=ax+b+c<0，

由二次函数图象可知y=ax2+12bx+c与x轴有两个交点，

即Δ>0，12b2-4ac>0，14b2-4ac>0，

即b2-16ac>0.

综合（1）、（2）可知选（A）.