应用解题技巧优化初中数学难题

吕明娟

【摘要】许多学生不知道如何运用数学知识分析和解决问题，一些学生混淆知识点，导致数学问题解决中出现错误，从而影响数学问题解决的效率和质量.鉴于此，数学教师有必要加强对学生问题解决的指导，使学生掌握问题解决的技能，提高问题解决的效率和质量.

【关键词】初中数学;教学难题;解题技巧

为了不断提高数学解题技能，熟练掌握各种常规方法和技能，解决好各类问题，有效提高解题能力，教师应教会学生善于根据问题中的不变量解题，灵活转变解题思维，掌握简化复杂度的问题解决能力.

1 分类讨论在初中数学难题解题中的应用

在实际数学问题中，并非所有给定的三角形条件都是明确的，而且许多三角形的形状是不确定的.因此，有必要对学生进行深入的分析，渗透分类讨论的思想，以得到正确的答案.

例1 等腰三角形的两腰之间的夹角为20°，请计算出顶角的度数.

在解决此类问题的过程中，由于无法明确定义三角形的具体形状，应将其分类讨论.

（1）如果顶角是锐角，则腰部高度在三角形内，如图1所示.因为三角形的内角之和为180°，所以已知一个角的度数为90°，另一个角的度数为20°，因此顶角的度數为90°-20°=70°.

（2）如果顶角为钝角，则腰高在三角形之外.如图2所示，根据两个不相邻的内角（如三角形的外角）之和，顶角为90°+20°=110.

因此，三角形顶角的度数为70°或110°.

在解决这类问题的过程中，我们应该考虑三角形属于什么样的三角形，并根据主体所提供的所有条件进行分析和讨论，并用该方法得到正确的答案.

在解决数学问题的过程中，常常需要设计所有的对象，按照相应的标准将它们分成若干个，然后逐步讨论，以得到正确的答案，这就是分类讨论的思想.在解决绝对值相关问题的过程中运用分类讨论的思想，可以充分体现“数”与“形”的分类思想，从而更有效地解决绝对值问题.

例2 解方程x+2+3-x=5.

要解决绝对值问题，绝对值符号中的对象应分为正数、零数和负数三种情况.这个方程中有两个绝对值，即x+2和3-x.对于x+2，应分为x=-2、x>2和x<-2;对于3-x，应分为x=3、x<3和x>3.通过对这些情况的分析和讨论，可以得到三种情况：①x<-2;②-2≤x≤3;③x>3，由此可以得出结论

（1）当x<-2时，简化可得到-x+2+3-x=5，得到x=-2，与x<-2矛盾，因此当x<-2时为无解方程;

（2）当-2≤x≤3时，原方程x+2+3-x=5x+2+3-x=5成立，所以满足-2≤x≤3的实数x都是方程的解;

（3）当x>3时，简化可以得到x+2-3-x=5和x=3，这与x>3是矛盾的，因此当x>3时方程没有解.

由上可知，原方程的解是-2≤x≤3范围内的任意实数.

该问题包含不等式，属于一级分类讨论问题.因此，通过正确的分类，可以更好地将更复杂、更繁琐的问题提升为更严谨、更完整、更清晰的问题.在这个过程中，需要注意的是，应该对结果进行有效的总结和最后的总结.

2 数形结合在初中数学难题解题中的应用

与其他数学解题方法不同，数形结合可以从数和形两方面锻炼学生的数学解题思维，使学生能够灵活运用数形关系解决实际数学问题，简化数学问题.在指导学生运用数形结合的方法解决问题时，教师应首先说明数形结合的内涵，以及适合哪些数学问题，然后提出具体问题，使学生能够独立思考是否用数字和形状解决数学问题，从而引导学生灵活运用数字和形状之间的关系，快速解决数学问题.

例3 在如下数轴（见图3）中，数轴上点A表示数a，请求解a的值是多少？

分析 当解决这道数学题时，学生可以使用数轴来分析数a.学生可以从图中看到点A在数轴上的实际位置是-2.根据A点的位置，学生可以快速找到a的值.

解答 因为点A在-2，而数轴上点A代表的数a=-2，那么a=2.

3 代入法在初中数学难题解题中的应用

代入法是初中数学中常见的解题方法，可以帮助学生将数学问题中的未知数转化为熟悉的内容，简化原来复杂的数学问题，进而增强学生解决数学问题的信心和动机，提高学生解决问题的效率.

例4 已知4x2-2x+5=7，求解2x2-x+1的值.

分析 在这道数学题中，如果学生直接计算x的已知值，不仅会浪费解题的时间，还会导致问题的产生.根据已知条件4x2-2x+5=7，教师可以引导学生运用代入思维分析问题，并在解决问题中找到突破点.例如，学生可以将方程4x2-2x+5=7的项移位，然后将方程的两边同时除以2，得到2x2-x=1.由此，我们可以看到已知条件与问题评价之间的关系，学生可以将2x2-x整体代入，从而找出相关值.采用代入法解决相应的评价问题，可以有效地培养学生的问题解决思维，知道如何巧妙地利用题目当中的信息解决问题，提高数学问题解决的效率.

解答 依照已知的条件4x2-2x+5=7，能够得出4x2-2x=2，从而能够得出2x2-x=1，所以2x2-x+1=1+1=2.

4 化归思想在初中数学难题解题中的应用

在初中数学问题解决中，化归思想是一种常见的数学问题解决思维，它可以帮助学生简化复杂的数学问题.例如，在回答混合运算和其他问题时，学生可以转换思维，并将混合运算转换为更简单的表达式.

例5解方程2（x-1）2-5（x-1）+2=0

分析 这是一个一元的二次方程.学生通常直接回答，但很少使用一些简单的问题解决技巧.虽然学生可以解决问题，但他们将失去更多的时间来解决其他数学问题.因此，教师应向学生讲解一些解决问题的技巧，以尽可能提高学生的数学问题解决效率.在解这个方程时，学生可以运用约化的思想，可以将（x-1）设为y，通过这样的方法就能够将原来的方程转化成为包含y的一元二次方程.

解答 设y=x-1，所以就可以将方程转化成为2y2-5y+2=0，通过解题能够得出y1=2或者y2=12，所以x-1=2或者x-1=12，所以原来的方程解是x=3或x=32.

4 结语

综上所述，初中生需要掌握许多数学解题技巧，如代入法、数形结合、化归思想等.只有学生能够灵活运用所学的数学解题技能，学会掌握解题中的不变量，具有良好的阅读和审题能力，阅读问题后对各种情况做出准确判断，具有简化问题的思维，澄清问题的类型，理清问题的内在逻辑，有效提高数学解题量，才能快速、正确地回答数学问题.因此，数学教师应教授学生解决问题的技能，引导学生根据具体问题选择合理的问题解决方法，从而提高问题解决的效率和质量.

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