遇等腰直角三角形这样作辅助线

杨再发

在解答某些条件是等腰直角三角形的问题中，需要作辅助线才能得以解决.一般有以下几种常见的作辅助线的方法，现举例说明，供参考.

1 有斜边中点，连接成斜边上的中线

例1 图1

如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，在BC边上任取一点P，作PQ∥AB交AC于点Q，作PR∥CA交BA于点R，D是BC的中点，求证：△RDQ是等腰直角三角形.

证明 连接AD，RQ.

在△ABC中，

∠A=90°，AB=AC，

所以∠DBR=45°，

因为D是BC的中点，

所以AD⊥BC，

∠DAQ=45°，

AD=BD=CD，

所以∠DBR=∠DAQ，

∠ADB=∠ADC=90°，

因为PQ∥AB，

PR∥CA，

所以四边形ARPQ是矩形，

则PR=AQ，

∠ARP=∠PRB=90°，

即∠B=∠RPB=45°，

所以PR=BR，

则BR=AQ，

所以△DBR≌△DAQ（SAS），

即DR=DQ，

∠BDR=∠ADQ，

因为∠ADR+∠BDR=90°，

所以∠ADR+∠ADQ=∠QDR=90°，

则△RDQ是等腰直角三角形.

例2 如图2，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点，

①写出点O到△ABC的三个顶点A，B，C的距离的大小关系（不要求证明）;

②如果点M，N分别在线段AB，AC上移动，在移动中保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论.

解 ①连接AO，有OA=OC=OB.

②△OMN是等腰直角三角形.

理由如下：

在Rt△ABC中，AB=AC，

∠BAC=90°，

所以∠C=∠B=45°，

因为点O是BC的中点，

所以AO⊥BC，

OA=OC=OB，

∠OAC=∠OAB=45°，

即∠AOC=∠AOB=90°，

∠OAC=∠B，

因为AN=BM，

所以△AON≌△BOM（SAS），

所以ON=OM，

∠AON=∠BOM，

因为∠BOM+∠AOM=90°，

所以∠AON+∠AOM=90°，

则∠MON=90°，

所以△OMN是等腰直角三角形.

例3 如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，E，F分别是AB，AC边上的点，且DE⊥DF，BE=12，CF=5，求△DEF的面积.

解 连接AD.

因为∠BAC=90°，

AB=AC，

所以∠B=∠C=45°，

因为D是BC的中点，

所以∠EAD=∠FAD=45°，

AD=BD=CD，

∠ADB=∠ADC=90°，

则∠EAD=∠C，

∠CDF+∠ADF=90°，

因为DE⊥DF，

所以∠EDA+∠ADF=90°，

所以∠EDA=∠CDF，

即△EDA≌△FDC（AAS），

则AE=CF，DE=DF，

因为BE=12，CF=5，

所以AE=5，

即AC=AB=BE+AE=12+5=17，

所以AF=12，

则EF=AE2+AF2=52+122=13，

因為DE2+DF2=EF2=169，

所以2DE2=169，

DE2=1692，

因为S△DEF=12DE×DF=12DE2，

所以S△DEF=1694.

2 作斜边上的垂线

例4

如图4，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是AC的中点，AE⊥BD于点E，延长AE交BC于点F，求证：∠ADB=∠FDC.

证明 过点A作AG⊥BC于点G，交BD于点H，

在△ABC中，

∠BAC=90°，AB=AC，

所以∠C=45°，

因为AG⊥BC于点G，

所以∠BAH=∠DAH=45°，

∠AGE=90°，

即∠BAH=∠C=∠DAH，

因为AE⊥BD于点E，

所以∠HEF=90°，

即∠EHG+∠EFG=180°，

因为∠AFC+∠EFG=180°，

所以∠AFC=∠EHG，

因为∠BHA=∠EHG，

所以∠BHA=∠AFC，

则△BHA≌△AFC（AAS），

所以AH=CF，

因为D是AC的中点，

所以AD=CD，

所以△ADH≌△CDF（SAS），

所以∠ADH=∠CDF，

则∠ADB=∠FDC.

3 构造成正方形

例5 图5

如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M是AC的中点，点P是斜边AB上的动点，求PM+PC的最小值.

解 作△ABC关于AB为对称轴的△ABD，连接CD，PD.

因为∠ACB=90°，

AC=BC=4，

所以四边形ACBD是正方形，

即AD=AC=4，

PC=PD，

当点P在线段DM上时，PM+PC的值最小.

因为M是AC的中点，

所以AM=2，

则DM=AM2+AD2

=22+42

=25.

因为PM+PC=PM+PD=DM，

所以PM+PC的最小值是25.

例6 如图6，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是BC上一点，DE∥AC，DF∥AB，且BE=4，CF=3，求S矩形DFAE.

解 作△ACB关于BC的轴对称△GCB，延长ED交CG于点M，延长FD交BG于点N，

因为∠A=90°，AB=AC，

所以四边形ABGC是正方形，

因为DE∥AC，DF∥AB，

所以四边形CFNG，ABNF，DNGM，AEDF是矩形，四边形DEBN，DFCM是正方形，

因为BE=4，CF=3，

即CF=DF=3，

则S矩形DFAE=DF×DE=12.

4.构造等边三角形法

例7 图7

如图7，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是△ABC内的一点，且满足∠DAC=∠DCA=15°，求证：BD=BA.

证明 以AB为边作等边△ABE，

则AB=AE，∠ABE=60°，

因为∠DAC=∠DCA=15°，

∠BAC=90°，

所以∠EAD=∠CAD=15°，

∠BAD=75°，

DA=DC，

因为AB=AC，

所以AE=AC，

因为AD=AD，

则△AED≌△ACD（SAS），

所以DE=DC.

因为BD=BD，

所以△ABD≌△EBD（SSS），

即∠ABD=∠EBD，

所以∠ABD=∠EBD=30°，

则∠BDA=180°-∠BAD-∠ABD

=180°-75°-30°

=75°.

所以∠BAD=∠BDA=75°，

則BD=BA.

5.延长补形法

例8 图8

如图8，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于点E，且AE=12BD，求证：BD是∠ABC的角平分线.

证明 分别延长AE，BC交于点F，

因为∠ACB=90°，

所以∠ACF=90°，

因为AE⊥BD交BD的延长线于点E，

所以∠AEB=∠FEB=90°，

因为∠ADE=∠BDC，

所以∠FAC=∠DBC，

因为AC=BC，

所以△AFC≌△BDC（AAS），

所以AF=BD，

因为AE=12BD，

所以AE=12AF，

即E是AF的中点，

所以BA=BF，

则BE是∠ABF的角平分线，

即BD是∠ABC的角平分线.