第11届(2000年) “希望杯”全国数学邀请赛试题初中一年级 第1试

一、选择题

1.（-1）2000的值是（）

（A） 2000.（B） 1.

（C） -1.（D） -2000.

2.a是有理数，则11a+2000的值不能是（）

（A） 1.（B） -1.

（C） 0.（D） -2000.

3.若a<0，则2000a+11|a|等于（）

（A） 2007a.（B） -2007a.

（C） -1989a.（D） 1989a.

4.已知a=2，b=3，则（）

（A） ax3y2和bm3n2是同类项.

（B） 3xay3和bx3y3是同类项.

（C） bx2a+1y4和ax5yb+1是同类项.

（D） 5m2bn5a和6n2bm5a是同类项.

5. 已知a=-1999×1999-19991998×1998+1998，

b=-2000×2000-20001999×1999+1999，

c=-2001×2001-20012000×2000+2000，

则abc=（）

（A） -1.（B） 3.

（C） -3.（D） 1.

6.某种商品若按标价的八折出售，可获利20%.若按原标价出售，则可获利（）

（A）25%.（B）40%.

（C）50%.（D）66.7%.

7.如图1，长方形ABCD中，E是AB的中点，F是BC上的一点，且CF=13BC.则长方形ABCD的面积是阴影部分面积的（）倍.

（A） 2.（B） 3.

（C） 4.（D） 5.

8.若四个有理数a、b、c、d满足1a-1997=1b+1998=1c-1999=1d+2000，则a、b、c、d的大小关系是（）

（A） a>c>b>d.（B） b>d>a>c.

（C） c>a>b>d.（D） d>b>a>c.

9.If a2+b2>0，then the equation ax+b=0 for x has（）

（A）only one root.

（B）no root.

（C）infinite roots（無穷多个根）.

（D）only one root or no root.

10.小明编制了一个计算程序.当输入任一有理数，显示屏的结果总等于所输入有理数的平方与1之和.若输入-1，并将所显示的结果再次输入，这时显示的结果应当是（）

（A） 2.（B） 3.

（C） 4.（D） 5.

二、 A组填空题

11.用科学记数法表示2150000=.

12.一个角的补角的13等于它的余角.则这个角等于度.

13.有理数a，b，c在数轴上的位置如图2所示：若m=|a+b|-|b-1|-|a-c|-|1-c|，则1000m=.

14.如图3，在长方形ABCD中，E是AD的中点，F是CE的中点.若△BDF的面积为6平方厘米，则长方形ABCD的面积是平方厘米.

15.a的相反数是2b+1，b的相反数是3a+1，则a2+b2=.

16.Suppose（设）A spends 3 days finishing 12 of a job，B 4 days doing 13 of it.Now if A and B work together，it will takedays for them to finish it.

17.某商店将某种超级VCD按进价提高35%，然后打出“九折酬宾，外送50元出租车费”的广告.结果每台超级VCD仍获利208元.那么每台超级VCD的进价是元.

18.图4中，C是线段AB上的一点，D是线段CB的中点.已知图中所有线段的长度之和为23，线段AC的长度与线段CB的长度都是正整数，则线段AC的长度为.

19.张先生于1998年7月8日买入1998年中国工商银行发行的5年期国库券1000元.回家后他在存单的背面记下了当国库券于2003年7月8日到期后他可获得的利息数为390元.若张先生计算无误的话，则该种国库券的年利率是.

20.甲、乙分别自A、B两地同时相向步行，2小时后在中途相遇.相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/小时.当甲到达B地后立刻按原路向A地返行，当乙到达A地后也立刻按原路向B地返行.甲乙二人在第一次相遇后3小时36分钟又再次相遇.则A、B两地的距离是千米.

三、 B组填空题

21.有理数-3，+8，-12，0.1，0，13，-10，5，-0.4中，绝对值小于1的数共有个;所有正数的平方和等于.

22.若-4xm-2y3与23x3y7-2n是同类项，则m2+2n=，n2+2m=.

23.设m和n为大于0的整数，且3m+2n=225.（1）如果m和n的最大公约数为15，则m+n=.（2）如果m和n的最小公倍数为45，则m+n=.

24.如图5，若a，b，c是两两不等的非0数码.按逆时针箭头指向组成的两位数ab，bc都是7的倍数.则可组成三位数abc共个;其中的最大的三位数与最小的三位数的和等于.

25.某书店积存了画片若干张.按每张5角出售，无人买.现决定按成本价出售，一下子全部售出.共卖了31元9角3分.则该书店积存了这种画片张，每张成本价元.

参考答案

一、选择题

题号12345678910

答案BCDCACBCDD

提示

1.（-1）2000=1.

选（B）.

2.因为11a+2000的分子不等于0，

所以其值不可能为0.

故选（C）.

3.因为a<0，

所以|a|=-a.

2000a+11|a|=2000a+11（-a）

=2000a-11a

=1989a.

选（D）.

4.当a=2，b=3时

2x3y2与3m3n2不是同类项，排除（A）.

3x2y3与3x3y3不是同类项，排除（B）.

5m6n10与6n6m10不是同类项，排除（D）.

而 当a=2时，2a+1=5，b=3时b+1=4.

所以 3x5y4与2x5y4是同类项.

选（C）.

5. a=-1999×1999-19991998×1998+1998

=-1999（1999-1）1998（1998+1）

=-1999×19981998×1999

=-1.

同理可求得b=c=-1.

所以 abc=（-1）（-1）（-1）=-1.

选（A）.

6.设该商品进价为x元，标价为y元，则

80%y-xx=20%.

解得yx=1.5.

则y-xx=yx-1=1.5-1=0.5=50%.

选（C）.

7.设长方体的面积为S.

则S△ABC=12S，S△BEF=12×23×12S=16S.

所以SAEFC=12S-16S=13S.

即长方体的面积是阴影面积的3倍.

选（B）.

8.由1a-1997=1b+1998=1c-1999=1d+2000得

a-1997=b+1998=c-1999=d+2000，設为k，

于是a=k+1997，b=k-1998，

c=k+1999，d=k-2000.

所以c>a>b>d.

选（C）.

9.显然，当a≠0时，必有a2+b2>0.

此时，方程ax+b=0有唯一解x=-ba.

当a=0时，要a2+b2>0，仅当b≠0时才可能，此时，方程ax+b=0无解.

所以选（D）.

10.设输入值为x，小明编制的程序为

x2+1，

当x=-1时，x2+1=（-1）2+1=2.

当x=2时，x2+1=22+1=5.

选（D）.

二、 A组填空题

题号1112131415

答案2.15×10645-20004815

题号1617181920

答案4120037.8%36

提示

11.2.15×106.

12.设这个角为α，依题意可得

13（180°-α）=90°-α.

解得α=45°.

13.由图2可见，a<0，b<0

a+b<0|a+b|=-（a+b），

又b<0<1b-a<0|b-1|=-（b-1），

a<0<ca-c<0|a-c|=-（a-c），

c<11-c>0|1-c|=1-c.

所以m=|a+b|-|b-1|-|a-c|-|1-c|

=-（a+b）-[-（b-1）]-[-（a-c）]

-（1-c）

=-（a+b）+（b-1）+（a-c）-（1-c）

=-a-b+b-1+a-c-1+c

=-2.

因此，1000m=1000×（-2）=-2000.

14.如图6，连结BE.

设长方形ABCD面积为x平方厘米，

则S△BEC=x2平方厘米，

S△EDC=x4平方厘米.

由于三角形中线平分三角形面积，

所以S△BCF=x4平方厘米，

S△CDF=x8平方厘米.

因此，四边形BCDF=x4+x8=3x8平方厘米.

又S△BCD=x2平方厘米，

所以S△BDF=x2-3x8=x8平方厘米.

由x8=6，得 x=48平方厘米.

15.由题设条件得

-a=2b+1，-b=3a+1，

解得a=-15，b=-25，

所以a2+b2=-152+-252=15.

16.设整个工作为1，则由题意可知：

A 3天可以完成一件工作的12，则A每天完成这件工作的16.B用4天可以完成这件工作的13，则B每天可完成该件工作的112.

因此，A、B合作每天完成该件工作的

16+112=312=14.

所以A、B合作4天可以完成该件工作.

17.设每台超级VCD的进价是x元，则依题意可列出方程

0.9（1+35%）x-50-x=208.

解得x=1200（元）.

18.设线段AC的长为x，CB的长度为y，则图4中所有线段及其长度表示如下：

AC=x，AD=x+y2，

AB=x+y，CD=y2，

CB=y，DB=y2.

所以列得方程

3x+72y=23.（*）

式中x，y均为正整数.

由（*）式可知，y为偶数，

当y≥6时，3x+72y>23，

所以y只能取2或4.

当y=2时，3x+7=23，x=163不是整数.

所以y≠2，

因此只能y=4，进而x=3.

即线段AC的长度为3.

19.设该种国库券年利率为x，则根据题意得

1000（1+5x）=1000+390.

解得x=0.078.

即該种国库券年利率为7.8%.

20.如图7，设A、B两地距离为s，甲速度与乙速度之和为v，则甲乙同时相向而行，2小时后第一次相遇，此时甲乙二人共行s千米.从第一次相遇又经过3.6小时，甲乙二人又共行了2s千米始得第二次相遇.因此可列出方程组

s=2v2s=（v+2）×3.6

解得v=18千米/小时，s=2×18=36千米.

答：A、B两地距离是36千米.

三、 B组填空题

题号2122232425

答案5个;8910990029361059015个11260.31元103张

提示

21.所有绝对值小于1的数共有5个.

所有正数的平方和为

82+0.12+132+52

=64+1100+19+25

=89+9+100900

=89109900.

22.由-4xm-2y3与23x3y7-2n是同类项，得

m-2=37-2n=3

即m=5n=2

所以m2+2n=52+22=25+4=29.

n2+2m=22+25=4+32=36.

23. （1）因为m和n的最大公约数为15，所以可设m=15a，n=15b，a、b都是大于0的整数，且a，b互质.

由3m+2n=225

得3×15a+2×15b=225，

3a+2b=15.

可见a只能是奇数，当a≥5时，3a+2b>15.

所以只能取a是1或3.当a是3时，b必须是3，与a和b的最大公约数是1不符.

因此a=1，b=6，

m+n=15+6×15=105.

（2） 当m和n的最小公倍数为45时，有

m≤45，n≤45，

而3×45+2×45=225.

所以只能m=n=45.

所以 m+n=90.

24. 由已知 ab=10a+b=7k，

bc=10b+c=7n.

（其中k，n均为正整数）

而 ca=10c+a

=10c+100b-100b-1000a+1001a

=10（10b+c）-100（10a+b）+7×143a

=10×7n-100×7k+7×143a

=7（10n-100k+143a），

所以ca也是7的倍数.

由于所写的数码是两两不等的非0数码，所组成的7的倍数只有14，21，28，35，42，49，56，63，84，91，98这11个.

设a=1，abc=142，149;

a=2，abc=214，284;

a=3时，abc=356;

a=4时，abc=421，428，491，498;

a=5时，abc=563;

a=6时，abc=635;

a=8时，abc=842，849;

a=9时，abc=914，984.

总计共15个，其中最大的一个为984，最小的一个为142，它们的和等于1126.

25. 设书店积压画片x张，每张出厂价为k分，31元9角3分合计3193分.

依题意列得方程

kx=3193=1×3193=31×103

其中k，x都是正整数，显然，1≤k<50.

又31与103都是质数，

所以k=1或k=31.

当k=1时，与出厂价实际不符，理应排除.

所以只能k=31，此时x=103.

即每张画片出厂价是0.31元，共积压了这种画片103张.