基于概率犹豫模糊相似度的交互式群体决策方法

华维灿，孙刚，王贵君

(1.天津师范大学数学科学学院，天津 300387；2.湖南工学院理学院，湖南 衡阳 421002)

0 引 言

在复杂客观事物评价中，由于专家的学术经验、能力水平和客观考量等存在差异，决策者往往需要将多个专家的多属性指标评价信息集成为综合指标信息，形成群体决策。目前，针对多属性指标信息的群体评价已有诸多理论框架和决策方法。然而，在实际问题中对专家的初始评价值仅通过一次集成难以获得满意的决策方案，往往需要不断修正评价过程中的权重向量和交互，将信息集成后，才可最终获得满意的决策方案。

TORRA[1]基于闭区间[0，1]上多个可能的隶属度提出了反映专家评价信息的犹豫度概念，并引入了犹豫模糊集（hesitant fuzzy set，HFS）概念。近年来，国内外学者对HFS理论及其应用开展了大量研究，并取得诸多研究成果。由于传统模糊集仅考虑隶属度，为同时兼顾非隶属度对决策的影响，ZHU等[3]结合直觉模糊集（IFS）和HFS的定义引入了对偶犹豫模糊集（DHFS）。刘卫峰等[4]结合毕达哥拉斯模糊集（PFS）和HFS引入了犹豫毕达哥拉斯模糊集（HPFS），从而对HFS进行了推广。为了更准确描述决策者的犹豫心理，XU等[5]提出了概率犹豫模糊集（probabilistic hesitant fuzzy set，PHFS）概念，在HFS基础上增加了每个隶属度的概率值信息，从而更细致地表现决策者对不同隶属度的偏好[5-8]。实际上，PHFS不仅在犹豫性上增加了隶属度数量，而且考虑了其概率，同时兼顾不同专家对隶属度的偏好，在群体决策问题中具有广阔应用前景。WU等[9]基于PHFS对动态突发事件应急处理问题提出了GM（1，1）模型，并给出了一种TOPSIS决策方法。梁玉英[10]、武文颖等[11]分别通过引入概率犹豫模糊信息集成算法和概率犹豫模糊加权Maclaurin几何平均算子给出了新的群体决策方法。上述算法对进一步研究概率犹豫模糊集理论及其应用具有重要意义。

此外，交互式群体评价可通过修正专家权重最终达成群体一致的决策方案。ZENG等[12]根据专家个体评价与群体间的相似度确定专家权重，并基于直觉模糊相似度提出了交互式群体评价方法。LIAO等[13]在权重不完全的犹豫模糊环境下基于满意度提出了一种交互式决策方法。杜鹃等[14]通过不断修正多属性指标的权重向量研究了交互式迭代群体决策方法，并讨论了起点相等的属性权重及其迭代过程。袁宇翔等[15]针对不确定语言变量提出了多粒度语言信息转换函数概念及交互式多属性群体决策方法。WANG等[16-17]基于折线模糊数的有序表示对物流运输提出一种TOPSIS方法。本文主要目的是通过犹豫模糊数（hesitant fuzzy number，HFN）的概率化表示和相似度建立多属性交互式群体决策方法。概率犹豫模糊数（probability hesitant fuzzy number，PHFN）通过对犹豫模糊数的每个隶属度添加相应的概率描述模糊信息，交互式群体决策则通过引入协商机制和不断修正评价信息达到群体偏好意见一致。因此，在PHFN环境下交互式群体决策算法更具优越性。本文在概率犹豫模糊环境下通过改进汉明距离（Hamming distance）和相似度，依据概率犹豫模糊矩阵（probability hesitant fuzzy matrix，PHFM）相似度提出了交互式群体评价方法，并用实例说明该方法的有效性。

1 概率犹豫模糊数

2 PHFN的得分函数和相似度

分别按定义9和定义10计算3组标准化PHFN的距离测度，结果如表1所示，可知，定义10更具优越性。

表1 3组标准化PHFN的距离测度对比Table 1 Comparison of distance measures of three standardized PHFN

3 交互式群体决策方法

4 实例分析

高等教育水平是衡量国家发展水平和潜能的重要标志，办好高等教育和加快“双一流”大学建设是事关国家发展和民族未来的战略任务。为提升我国高等教育水平，定期对一线教师实施教学质量评价很有必要。

例如，某省教育厅聘请3名专家对所辖5所高等师范院校进行教学质量评价，设置4个属性指标：教学态度(c1)、教学技能(c2)、教学水平(c3)和科研水平(c4)。专家集为{l1，l2，l3}，方案集为{Y1，Y2，Y3，Y4，Y5}，属性集为 {c1，c2，c3，c4}，评价值用PHFN形式表示，3位专家的初始评价矩阵R（k）分别见表2～表4。

表2 专家l1的初始评价矩阵R(1)Table 2 The initial evaluation matrixR(1)given by the expertl1

表3 专家l2的初始评价矩阵R(2)Table 3 The initial evaluation matrixR(2)given by the expertl2

表4 专家l3的初始评价矩阵R(3)Table 4 The initial evaluation matrixR(3)given by the expertl3

表5 集成后群体评价矩阵RTable 5 Comprehensive evaluation matrixRafter integration

表6 修正权重后专家群体综合评价矩阵R′Table 6 Comprehensive evaluation matrixR′of expert group after modifying weight

进一步，将本文方法与文献[5]和文献[10]的方法进行比较。文献[5]是在概率犹豫模糊环境下利用犹豫概率模糊偏好关系和模糊Hausdorff距离给出的决策方法。文献[10]是基于概率犹豫模糊Frank加权平均算子提出的多属性群体决策方法。二者的本质区别在于采用的距离测度和相似度（相似度矩阵）公式不同，但最终均归结为计算得分函数值，且依据得分函数值的大小对备选方案进行排序，从而得到最优方案。3种方法下5所高等师范院校教学质量Yi对应的综合评价值（得分函数）和综合排序见表7。

表7 3种方法下高等师范院校教学质量Yi对应的综合评价值（得分函数）和综合排序的比较Table 7 Comparison of the score function and comprehensive ranking obtained by three methods

由表7可知，3种方法下高等师范院校{Y1，Y2，Y3，Y4，Y5}对应的综合评价值（得分函数）虽然不同，但综合排序中最优方案和第二方案相同。由于3种方法的计算公式不同，造成后方案Y3，Y4，Y5的排序不同。文献[5]和文献[10]的方法均未考虑专家初始权重的稳定性和犹豫性。通常，专家的初始评价值仅通过一次集成难以获得满意的决策方案，需不断修正权重向量并完成几次交互集成信息方可最终获得满意的决策方案。本文方法克服了文献[5]和文献[10]的方法缺陷，所得决策方案更合理，因此综合排序结果Y1≻Y2≻Y5≻Y3≻Y4最优，表明本文提出的交互式群体决策方法具有优势。

5 结 论

用PHFN刻画多属性指标信息，从而提高综合评价精度，PHFN不仅能体现专家评价时的犹豫心理，而且能减少专家评价信息的丢失。此外，基于PHFWA算子和PHFM相似度，给出了交互式群体决策方法。本文方法不仅将交互式群体评价方法推广至PHFN空间，而且克服了传统群体决策方法的部分缺陷。然而，如何根据PHFM相似度优化修正权重是下一步重点关注的问题。