基于双层控制策略的四轮独立转向无人驾驶汽车路径跟踪

李宇昊，赵又群

(南京航空航天大学 能源与动力学院，江苏 南京 210016)

车辆的运动控制是指根据运动规划输出和实时反馈的车辆行驶状态来控制底盘执行器的动作，使车辆稳定、精确地跟踪期望路径[1].而无人驾驶汽车的路径跟踪控制问题是车辆运动控制中的核心问题.

近年来，已有许多国内外学者对无人驾驶汽车的路径跟踪问题进行了大量研究，而其中最常用的控制方法是模型预测控制(model predictive control，MPC)、滑模控制和最优线性二次调节控制(linear quadratic regulator，LQR)等.GUO H.Y.等[2]、U.Z.ABDUL HAMID等[3]、M.AMIR等[4]基于MPC算法，采用微分进化、机器学习等方法设计了无人驾驶汽车路径跟踪控制器，提高了MPC算法的实时性和路径跟踪的准确度.K.ALIPOUR等[5]、JI X.W.等[6]设计了鲁棒滑模、反步滑模路径跟踪控制器，并验证了控制器的自抗扰性和准确性.E.KIM等[7]在MPC路径跟踪控制器中引入二阶转向模型，保证了无人驾驶汽车的路径跟踪性能.

目前无人驾驶汽车的路径跟踪控制研究大多采用MPC算法，但该算法计算量大，无法满足无人驾驶汽车行驶时的实时性要求.常用的滑模控制算法抖振问题对无人驾驶汽车执行机构的可靠性也影响较大.同时，大多数国内外学者在研究四轮独立转向(four wheel independence steering，4WIS)无人驾驶汽车路径跟踪时将前后轮转角简化至相等，不利于改善轮胎磨损，对车辆的行驶稳定性也会有影响.

针对以上问题，笔者设计一种基于双层控制策略的四轮独立转向无人驾驶汽车路径跟踪算法.上层为基于Popov超稳定理论[8]的模型参考自适应控制(model reference adaptive control，MRAC)路径跟踪控制器，并基于线性二次最优控制方法，引入正实反馈补偿矩阵，解决系统正向线性环节无法严格正实的问题.同时，根据文献[9]研究的基于阿克曼转向定理的四轮转角分配算法，设计考虑轮胎侧偏的四轮转角分配下层控制器.利用CarSim/Simulink联合仿真平台进行仿真试验，将提出的双层控制策略与基于Popov超稳定性理论的单层路径跟踪控制器、基于LQR的单层路径跟踪控制器进行对比.

1 车辆动力学模型

图1 车辆单轨模型

若轮胎侧偏角较小，轮胎侧向力和轮胎侧偏角可近似表示为线性关系，则简化的线性二自由度车辆动力学模型为

(1)

2 MRAC路径跟踪上层控制器设计

2.1 MRAC系统构建

基于Popov超稳定性理论设计稳定的上层MRAC系统，该上层控制器框图如图2所示，其中：uw(t)为参考模型输入；u(t)为被控无人驾驶汽车的输入；xs(t)为被控无人驾驶汽车模型输出状态量；xm(t)为参考模型输出状态量；ex(t)为路径跟踪误差；Ku及Kp分别为待设计的自适应控制器前馈与反馈增益；D为具有恰当维数的矩阵，表示线性补偿器；v(t)为线性环节的输出量.

图2 基于Popov超稳定性理论的MRAC系统

上层控制器由控制内环与控制外环组成.控制内环是参数可调的模型跟踪控制器，由参考模型、可调参数的前馈及反馈控制器组成.外环为自适应机构，可调整内环中前馈及反馈控制器中的相关参数，及时改变无人驾驶汽车的前后轮转角，使得被控无人驾驶汽车的状态尽可能跟踪理想参考模型状态，即误差信号收敛至0.定义参考模型输出状态量为

式中：yref、φref分别为车辆理想侧向位移和理想航向角.

被控无人驾驶汽车模型输出状态量为

另定义：

(2)

式中：e1为车辆实际侧向位移与理想侧向位移之差；e2为车辆实际行驶航向角与理想航向角之差.

采用横摆角速度反馈来补偿后轮转角，前、后轮转角控制为

(3)

利用误差变量方程(2)及前后轮转角关系式(3)，并结合车辆二自由度动力学模型式(1)，可导出基于四轮独立转向的路径跟踪误差状态方程，即

(4)

由该误差状态方程可以看出，采用横摆角速度反馈的4WIS无人驾驶汽车的路径跟踪控制，本质上是对单轨模型前轮转角进行控制，使误差信号ex(t)收敛至0.其由自适应的前馈控制器及反馈控制器组成，后轮转角由前轮转角和横摆角速度反馈组成，具体可表示为

(5)

为了使控制器的调节作用不会因误差状态量ex(t)趋于0而消失，控制律中应包含记忆性质的时变积分作用.同时为了保证控制律的自适应性，控制律中也应加入自适应变增益比例项.因此,选择的自适应控制律如下：

(6)

式中：Φ1、Ψ1为时变积分作用中的被积分项；Φ2、Ψ2为自适应变增益比例项；Kp0、Ku0分别为控制律Kp、Ku的初值.

由式(5)得到单轨模型的前、后轮转角后，即可通过下层转角分配控制器进行进一步的转角分配.

2.2 等价非线性时变反馈系统设计

采用非线性孤立化方法，将非线性增益Kp及Ku化为非线性部分，将误差状态方程化为线性定常部分，则图2所示的控制系统可规范化为图3所示的非线性时变反馈系统，其中r(t)=0，u(t)=δf.等价非线性时变反馈系统(图3)线性定常环节位于正向通路，非线性环节位于反馈通路.

图3 非线性时变反馈系统框图

正向通路上的线性环节为

(7)

反馈通路上的非线性环节为

ω(t)=-u(t)=

(8)

式(7)、(8)可构成等价非线性时变反馈系统.

2.3 基于LQR的严格正实正向线性环节

根据Popov超稳定性理论，等价非线性时变反馈系统为渐进超稳定的充要条件之一，是其正向线性环节的传递函数矩阵，是严格正实传递矩阵[11].由式(7)可得正向线性环节传递函数矩阵为

Gv(s)=D(sI-Am)-1Bs，

(9)

式中：s为拉氏变换的辅助变量；I为单位矩阵.

Gv(s)必须为严格正实矩阵.根据正实引理，Gv(s)为严格正实矩阵的充要条件是存在对称正定矩阵P和Q，满足：

(10)

则当D=BsTP时，Gv(s)是严格正实，此时正向线性环节严格正实.

广义误差状态矩阵Am第1列为0向量，式(10)无法成立.因此将反馈控制矩阵Kp分为正实反馈补偿矩阵Kp1和自适应反馈矩阵Kp2，Kp1可保证正向线性环节严格正实，Kp2满足选择的自适应律式(6).故可将式(5)中的前轮转角改写为

δf=-(Kp1+Kp2)ex(t)+Kuuw(t).

(11)

式(11)使得原正向线性环节补偿后，式(10)可改写为

P(Am+BsKp1)+(Am+BsKp1)TP=-Q.

(12)

结合最优控制思想，式(12)中的正实反馈矩阵Kp1与正定矩阵P、Q可由线性二次型最优问题得出.因为该系统可控，则黎卡提方程必定有解，即

(13)

式中：R1为加权系数.

2.4 基于Popov积分不等式的非线性反馈环节

线性环节严格正实后，需要使等价非线性反馈环节满足Popov积分不等式[11]：

(14)

式中：η为输入输出内积的积分，表示输入输出内积的平均值大于某一负常数；γ0为任意正数.

根据提出的无人驾驶汽车模型参考自适应控制路径跟踪系统，需要寻找自适应律式(6)中Φ1、Φ2、Ψ1和Ψ2的解，使得反馈系统中的等价非线性反馈环节满足上述Popov积分不等式，就能把所描述的渐进稳定反馈系统设计问题转化为一个超稳定性问题.

将式(8)代入式(14)，定义Kp20和Ku0分别为控制律Kp2和Ku的初值，Popov积分不等式转化为

η(0,t1)=η1(0,t1)+η2(0,t1)+

(15)

上述Popov积分不等式中，矩阵函数Φ1(v,τ,t)、Φ2(v,t)、Ψ1(v,τ,t)及Ψ2(v,t)满足：

(16)

矩阵函数的选取详见文献[11].综上所述，基于Popov积分不等式的MRAC路径跟踪自适应律为

(17)

3 转角分配下层控制器设计

3.1 阿克曼转向关系

汽车在行驶转向过程中，为了使每个车轮的运动路径都符合其自然运动规律，避免产生过度的轮胎磨损，要求转向系统能保证所有车轮均做纯滚动.在车轮为绝对刚体的假设条件下，理想的前左右轮及后左右轮的转角关系[12]为

(18)

式中：δfl、δfr、δrl和δrr分别为左前轮、右前轮、左后轮和右后轮转角；dw为车辆轮距.

理想的阿克曼转向关系是在车轮为绝对刚体的假设下得到的，但在车辆实际行驶过程中，轮胎由于发生侧偏现象而产生侧偏角.汽车实际行驶时的转角关系如图4所示，车轮的行驶方向将偏离轮胎所在平面，如果按理想的阿克曼转向关系进行转角分配，将无法保证车轮作纯滚动，且会加速轮胎磨损，因此，在汽车行驶过程中需要考虑轮胎侧偏角对阿克曼转向关系的影响.

图4 汽车实际行驶时的转角关系

3.2 考虑轮胎侧偏的阿克曼四轮转角分配

先考虑前轮的转角分配关系，再推广至后轮.根据图4的4WIS整车模型，可以得到前左右车轮的车轮转角和轮胎侧偏角之间的关系，即

(19)

式中：αfl、αfr分别为左前轮和右前轮的轮胎侧偏角.

汽车行驶过程中的横摆角速度等于汽车绕转向中心的旋转角速度，即

(20)

式中：r为车辆的瞬时转向半径.

车辆的瞬时转向半径可以根据轴距和前轮转角来表示：

(21)

式中：αf为单轨模型的前轮侧偏角.

δf、αf满足如下关系：

(22)

同时，单轨模型的前轮转角δf为前左右轮转角δfl、δfr的综合转向效果，即

(23)

车辆的质心侧偏角β可由质心处的纵向速度和侧向速度表示，同时也和车辆的结构参数和转角相关，可表示为

(24)

将式(19)代入式(18)，并联立式(20)-(24)，可以得到在考虑轮胎侧偏的情况下，车辆在任意车速下的前左右车轮转角约束关系，即

(25)

定义Δf为单轨模型前轮转角输入δf到前左右轮转角δfl、δfr的分配系数，即

(26)

将式(26)代入式(25)中可得

(27)

可将式(27)简记为Δf=f(u,δf)，该式表明，对于任意给定的车速和前轮转角，Δf有唯一确定值，即前左右轮转角δfl、δfr唯一确定.

同理，考虑前左右轮转角约束关系式(25)，可将其推广至后左右轮转角约束关系：

(28)

定义Δr为单轨模型后轮转角输入δr到后左右轮转角δrl、δrr的分配系数，即

(29)

其中δr由前轮转角和横摆角速度反馈式(3)确定.将式(29)代入式(28)中可得

(30)

可将式(30)简记为Δr=f(u,δr)，该式表明，对于任意给定的车速和后轮转角，Δr有唯一确定值，即后左右轮转角δrl、δrr唯一确定.

4 基于LQR的路径跟踪控制器设计

线性二次型最优控制以系统状态变量和控制变量二次型函数的积分作为性能指标.由于本控制系统可控，可选择对应的性能指标函数为

(31)

式中：Q为R4×4的半正定矩阵，表示状态变量ex的加权矩阵，取Q=diag(10，0.012 5, 0.012 5, 0.001 3)；R2为R1×1的正定矩阵，表示控制量δf的加权矩阵，取R2=[0.02].该性能指标函数的第1积分项可以衡量系统的实际状态与期望状态之间的综合误差，第2积分项是对控制总能量的限制.

根据变分法和极值原理，可以得到基于LQR的最优控制律：

(32)

式中：KLQR为最优反馈增益矩阵.

P可以通过黎卡提方程求得，即

(33)

5 仿真与分析

5.1 仿真工况及控制参数设置

在国内外车辆路径跟踪控制的测试中，双移线工况是较为经典、使用频率较高的一种测试路段.选取双移线工况为目标路径，路况选择干燥路面(路面附着系数μ=0.75)和湿滑路面(路面附着系数μ=0.45)，并选取72 km·h-1的车速进行CarSim/Simulink联合仿真试验.为了验证所设计控制器的鲁棒性，仿真过程中控制器中的参数保持不变.

5.2 仿真结果分析

基于双层控制策略的4WIS无人驾驶汽车路径跟踪仿真试验结果如图5、6所示.车速为72 km·h-1，湿滑路面下的横摆角速度、质心侧偏角仿真曲线如图7所示.并将以上结果与基于Popov MRAC和基于LQR的2种单层控制策略无转角分配仿真结果进行对比.

图5 干燥路面双移线路径跟踪结果

图6 湿滑路面双移线路径跟踪结果

图7 湿滑路面下横摆角速度、质心侧偏角的变化曲线

从图5可以看出：干燥路面条件下，所设计的基于双层控制策略的路径跟踪控制器与基于Popov的单层路径跟踪控制器跟踪精度都较高，转弯处的跟踪偏差会略微增大，二者的路径跟踪精度基本没有差别.这是因为所设计的考虑轮胎侧偏的下层转角分配控制器对车辆稳定性影响较大，但基本不影响路径跟踪效果；基于传统LQR的单层路径跟踪控制器的跟踪效果最差，跟踪精度低.

从图6可以看出：在湿滑路面条件下，3种控制方法的路径跟踪精度均有所下降，但此时，基于Popov的MRAC路径跟踪控制器的路径跟踪精度仍较高；在纵向位移为100 m的大幅转弯处，LQR方法所控制的无人驾驶汽车出现了打滑甚至甩尾现象，导致其跟踪误差增大，此时车辆稳定性也较差.

从图7a可以看出：在72 km·h-1的车速下，基于双层控制策略和基于Popov自适应单层控制器的4WIS无人驾驶汽车的横摆角速度都较小，其中基于双层控制策略的无人驾驶汽车峰值横摆角速度仅为0.24 rad·s-1，基于Popov自适应单层控制的无人驾驶汽车峰值横摆角速度为0.29 rad·s-1，表明基于双层控制策略的无人驾驶汽车稳定性更好.同时，因为基于LQR控制的无人驾驶汽车出现打滑或甩尾等危险现象，所以其横摆角速度曲线出现大幅波动，此时难以保证无人驾驶汽车的行驶稳定性.

从图7b可以看出：基于双层控制策略的4WIS无人驾驶汽车因为进行了转角分配，对质心侧偏角具有一定的优化效果[9]，其质心侧偏角最小，最大质心侧偏角仅为0.029 rad.根据文献[13]，质心侧偏角会产生附加的纵向滑移和侧向滑移，质心侧偏角越小，轮胎磨损越小，车辆行驶稳定性越好.因此，基于双层控制策略的4WIS无人驾驶汽车采用了考虑轮胎侧偏的转角分配下层控制器，从而使轮胎磨损情况得到了改善，车辆稳定性得以提高.

无人驾驶汽车在路径跟踪时，两侧车轮所承受的侧向力变化趋势相同，因此选择湿滑路面下的左侧车轮进行侧向力分析.在有、无转角分配2种情况下，无人驾驶汽车左侧车轮的侧向力变化曲线如图8所示.

图8 湿滑路面下左侧车轮侧向力的变化曲线

从图8可以看出：考虑轮胎侧偏的转角分配控制算法对车轮侧向力优化效果较明显[9]，基于双层控制策略的无人驾驶汽车相较于无转角分配的Popov单层控制无人驾驶汽车，前者的侧向力更小.周子俊等[14]提出轮胎磨损模型并认为在车辆行驶时，轮胎磨损程度与侧向力呈正向相关关系，因此在保证车辆行驶稳定的条件下，减小轮胎侧向力一定程度上能改善轮胎磨损情况.同时，轮胎侧向力越小，车辆在转向行驶时产生侧滑的几率越小，车辆的行驶稳定性得到提高.

6 结 论

基于四轮转向路径跟踪误差状态方程，结合最优控制思想，解决了控制系统正向线性环节无法严格正实的问题，求解Popov积分不等式，设计了基于Popov超稳定性理论的MRAC路径跟踪上层控制器.同时考虑轮胎侧偏，设计了基于阿克曼转向关系的转角分配下层控制器.结果表明：基于双层控制策略的四轮独立转向无人驾驶汽车能够高精度地完成路径跟踪任务，车辆的行驶稳定性较好，轮胎的磨损情况也得以改善.同时，车辆在转向行驶时产生侧滑的几率更小，车辆的行驶稳定性得到提高.