素养本位下多重表征在小学数学教学中的应用

邓珍珍 闫 龙

(合肥师范学院 安徽 合肥 230601)

进入新时代，培养什么样的人，如何培养创造性人才，已成为基础教育改革的重大课题。“素养本位”正是我们对培养什么样的人的回答。数学核心素养作为核心素养的重要组成，反映数学学科的本质与及其赖以形成与发展的重要思想。数学思想的表达，离不开多重表征。实施数学多重表征教学,能够降低学生思维梯度，促进学生有效建构数学知识体系，提升数学思维品质。小学阶段是培养学生数学核心素养的起始期和关键期，探索素养本位下多重表征在小学数学教学的应用，对促进小学生在数学上的发展和提高数学教学质量有着重要意义。

一、素养本位下的小学数学教学的价值取向

(一)由“知识本位”走向“素养本位”

进入新世纪以来，我国基础教育学力目标前后经历了双基论、三维目标论和核心素养论，即经历了从“知识本位”到“过程为本”再到“素养本位”的嬗变过程。这三个学力目标并不是后者对前者的否定或推翻，而是一种超越和升华。“知识本位”论强调数学基础知识、基本技能的教学，长期受到我国基础教育的重视。基于此，我国数学教学中形成了富有特色的教学方式，如变式教学、精讲多练、题组训练等。国际上一致认为我国中小学生的数学双基扎实、素养深厚，这也使得我国的数学教育质量在国际上处于领先地位。[1]例如，我国学生对数学概念的掌握清晰准确，逻辑思维和运算能力较强等。三维目标论将课程目标定位于知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观。它在保留双基论的课程目标基础上，也注重发展学生以学科为基础的学习兴趣、动机及态度等非智力因素。核心素养论即人适应终身发展和社会发展所必需的品格和关键能力，它聚焦于全面发展、全面育人的育人理念，是党和国家落实立德树人教育目标的具体体现。[2]

(二)由“能力本位”走向“素养本位”

数学核心素养是核心素养的重要组成，是培养学生核心素养的基石，受到了大家的关注。国内学者史宁中教授把数学核心素养概括为“三会”能力，即会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界。[3]“三会”在小学阶段的具体表现为：数学眼光包括符号意识、数感、量感、空间观念、几何直观；数学思维包括推理意识、运算能力；数学语言包括模型意识、数据意识；综合表现有应用意识和创新意识。[4]数学核心素养在小学阶段整体侧重的是意识，到中学阶段上升为观念、能力及思想。

最新版《义务教育数学课程标准》充分贯彻数学核心素养，把数学课程目标表述为“三会”“四基”(基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验)[5]、“四能”(发现问题、提出问题、分析问题、解决问题)[6]以及情感态度价值观。这些都为我国基础教育指明了育人方向。突出“素养本位”的育人取向能够克服应试教育中长期存在的“目中无人，分数王道”的弊端，并试图寻找基础教育发展学生脑力与体力、认知能力与非认知能力、学科知识与跨学科素养的均衡点。[7]

二、小学数学教学中多重表征的含义

美国学者舒尔曼(1986)指出：学科教学知识(简称 PCK)中，最有效的知识教学是对学科知识进行恰当表征。数学表征即数学知识在头脑中的呈现方式，如列表、图示、举例、解释、符号、式子等。教师必须理解一切有助于内容知识转化为学生可接受形式的表征途径。[8]数学不仅是人们生产生活中有用的工具，更是一门培养思维的学科。数学研究的对象去除了任何物质的、具体的特征，仅从形式和关系上对数学对象展开研究。如，数学上的点、线就是一种理想化的对象，所以数学具有高度抽象性，不抽象不数学。我们将抽象的数学转化为小学生能够接受的形式就需要依靠数学表征，数学表征即通过某种方式对数学对象进行刻画。表征的主体和呈现会影响教学质量，更重要的是，单一表征已经不能满足教学的需求，虽然单一表征各具特点，每块教学内容也都有自己最合适的表征，但多重表征相对于单一表征更加互补、全面、深刻，[9]小学数学教学中的多重表征更加有助于数学核心素养的培养。故，多重表征的选择、顺序、转化更应该引起我们的重视。例如，数学上的勾股定理具有多重表征，有图形表征、列表表征、语言表征(直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方)、符号表征(a2+b2=c2)等。在勾股定理的教学中仅使用单一表征会造成学生的认知出现偏差，如何在教学中处理多重表征的选择、出现的顺序、相应的转化以及表征由哪个主体(老师、学生、师生合作)提出的，表征是通过何种技术呈现等，显得尤为重要。

数学多重表征不仅是教学过程，更是教学结果，是一种数学关键能力。当作为教学过程的多重表征内化为多重表征能力时，学生的多重表征能力表现为表达交流、操作转化、建模应用三个不同水平。[10]波利亚的“怎样解题”表中提出了很多启发性的问题，如“你能不能用不同的方式重新叙述这个问题”“画张图，引入适当的符号”“你能不能想出一个类比的问题”“你能用别的方法得出这个结果吗”“你能不能把这个结果或方法用于其它问题”等。[11]这些都是在启发我们联想其它形式的数学表征，以更好地理解题意，操作模型，解决问题，建立模型。

三、素养本位下小学数学教学中多重表征的含义与价值

(一)素养本位下小学数学教学中多重表征的含义

许多国家在其官方的课程标准或相关文献中把数学表征列为学生应该发展的关键能力之一。例如，德国在其数学课程标准中把数学表征能力论述为能够在数学情境中运用、识别和解释多重表征，能够区分多重表征之间的联系，能够在不同的情境中根据需求选择、运用多重表征。[12]全美数学教师联合会(简称NCTM)认为，在数学教学中应该发展每位学生在情境中创造、运用多重表征去记录、组织、思考和表达数学，在多重表征中恰当选择、灵活转化、熟练应用，进而解决数学问题，利用表征建立一般模型，解释自然科学、社会科学等领域中出现的现象。[13]美国各州一般也都在其课程标准中强调多重表征的价值。[14]我国《课标(实验稿)》和《课标(2011年版)》均未出现“表征”两字，但《课标(2011年版)》提出的十大核心概念中的符号意识、几何直观、数感、运算能力、模型思想等均体现了对表征的要求。“最新版”课标把数学核心素养概括为“三会”，而“三会”在小学阶段表现了11个方面，这里面也体现了对多重表征的要求。

基于以上论述，素养本位下小学数学教学中多重表征的含义是指以发展小学生的数学核心素养为目标，基于数学概念、数学规则、问题解决等不同知识类型的教学，采用多种方式刻画研究对象，以更好地适应小学生的接受水平的教学。

(二)素养本位下小学数学教学中多重表征的价值

1.多重表征促进数学概念的掌握

数学概念是客观事物在数、量、关系和空间形式方面的本质属性在人脑中的反映，[15]是数学知识和思维的基础。学生表示“听不懂数学”或者解题错误，主要原因是学生不能正确理解数学概念。如何帮助学生掌握数学概念呢？需要先了解儿童的认知规律。

布鲁纳认为儿童的认知发展程序是“动作-表象-符号”，同时这也是学生学习过程的认知顺序。根据学生的这一认知特点，我们在教学过程中让学生经历“具体-表象-抽象”的过程，让学生在学习“数学化”的过程中发展数学核心素养。数学表征按照该认知序列可分为动作式表征、表象式表征、符号式表征。动作式表征包括实物展示、图文结合、音视频、语言描述、散装图等；表象式表征包括线段图、几何图形、图表等；符号式表征包括等式、不等式、含有符号的式子等。在教学中一般按照这一顺序进行多重表征，帮助学生更好地掌握数学概念。

大家认为数学中最简单的几何图形是一维的点、线(以下简称“三线”)，然而它们也是非常抽象的数学概念。不仅有小学生认为投影仪射向屏幕的光线是“射线”等错误认知，成年人中也有认为角的两条边是“直线”的认知偏差。角的两条边确实是直直的线，但直直的线并不等同于直线。具有“直直的”这一特点的线就有线段、射线和直线三种。显然这位成年人对“三线”概念的表征是不全面的。另外一种错误的出现也是对射线概念的非精准化表征造成的。下面以苏教版小学数学四年级上册“认识射线、直线和角”为例，进行多重表征的教学处理，以供大家探讨交流。

活动1：欣赏城堡夜景灯光秀表演视频，请同学们描述视频中灯光特征。

交流后总结：这些灯(发光点)向天空射出直直的光线看作射线。如，图1：

图1 视频表征

活动2：通过激光笔演示:①把激光笔射向距离较近的黑板，并用喷壶向激光笔射出的方向喷水，让学生看到红色的光线。问这相当于什么线？并指出它的端点。②老师和学生面对面站，老师把激光笔射向学生胸前的书本上，不再喷水，问此时是什么线？接着让该生不断往后退，再问线段发生了什么变化？你能测量它的长度吗？③直到该生即将退到教室外面，让该生回到座位上。老师把激光笔射向无边无际、毫无遮挡的天空，问此时是什么线？你能测量它的长度吗？

以上两个活动属于动作式表征，视频欣赏和激光笔演示都尽可能地让学生具体感知射线。再通过老师不断地提问，使得学生的思考逐渐深层化。激光笔演示又分为三个步骤。首先，通过喷水让学生感知“有形的”线段；然后，让老师对面的学生不断后退，学生感受到“半有形的”(只能看到两端的小红点)线段在变长；最后，把激光笔射向天空，让学生感受“半有形的”(只能看到激光笔端的小红点)无限长射线。通过这两个动作式表征的转化，学生经历了从“有形”到“半有形”的射线，实际上已经开始内化射线的概念了。

活动3：让学生自己在纸上画射线。

学生自己动手画图，发现纸张画不下射线。

全班共同探讨，试图解决问题。即使在黑板上画射线，射线会冲出黑板，冲出教室(让学生闭眼想象)……，冲出合肥，冲出安徽，冲出中国，冲出地球，冲向宇宙……

引出射线的正确画法，先画一个小圆点或小竖线表示发光点(端点)，接着画有限长的直直的线，我们画射线的一部分表示无限长的射线。最后，学生修改自己原先画的射线。

活动4：让学生自己动手画一画，一条线段怎么变成射线或直线。

学生通过动手画来感受线段和射线、线段和直线的关系。

活动5：通过列表比较“三线”的相同点和不同点。

以上三个活动属于表象式表征，全部去掉了具体物支撑，并非直接讲授射线的正确画法，而是让学生根据自己此时的心象动手画射线。然后，发现有限的纸张和黑板画不下无限长的射线，于是老师让学生闭眼想象能够把长长的射线画到哪里了。此时“无形的”射线已经清晰地内化在学生心中。接着规范射线的画法，并指出发光点-端点、光线-所画出的线的对应关系，实现动作式表征向表象式表征的转化。而直线的概念只需在表象式表征的层面上直接类比生成即可。最后，用图表表征的方式把“三线”的特点简洁明了地概括出来,如表1所示。

表1 图表表征

活动6：在直线上有两个点，如图2所示。找出下图中有多少条直线，多少条射线，多少条线段，并分别记录下你找到的线。

图2 符号式表征

该活动是符号式表征，学生在这一活动中经历了二次思维冲突。其一，在非标准情境下不重复不遗漏地有序找出所有“三线”；其二，“三线”的表示方法。学生能否在非标准情境下，排除干扰信息，抓住关键特征，将“三线”的图表表征精准转化为图形表征是平衡第一次冲突的关键。“三线”的表示方法是学生从语言表征转化为符号表征的体现，学生的表示方法虽然不是那么规范、严谨，却是学生抽象思维的体现。

2.多重表征促进数学规则的理解

数学规则是以经过严格论证的数学命题形式出现，揭示两个或多个概念之间的固有关系的判断,是数学技能形成的基础。[16]学生掌握数学规则的一般论证方法，在解决其它问题时可以发生迁移，帮助探明思路。

加减法在小学阶段是基础技能。在学习小数加减法之前，学生一定学习了整数的加减法。可是部分学生深受整数加减法的影响，把小数加减法的笔算也处理成末尾对齐，如图3所示。究其原因，是数表征与式表征的关联性没有处理到位。

“0.7+3.16”的笔算为什么不能像之前的加减运算一样，把末尾对齐呢？无论是末尾对齐还是小数点对齐，都是竖式表征的表层操作方法，即算法。竖式表征背后的数表征才是真正的算理。我们只有理清这两种表征的关系，才能促进深度学习，减轻学习负担。整数和小数都是十进制数，都有数位、数值及计数单位。而加减法的竖式表征有一个限制条件“相同计数单位上的数值才能直接相加减”。无论是末尾对齐还是小数点对齐，都是为了保证相同数位对齐，都是为了让加减更加方便，也体现了数学符号的合理、简洁性。如果是0.7元+3.16元，末尾对齐即7和6对齐就是“7角+6分”，肯定不能直接等于13角或13分，这显然是不对的，如图3所示。

在教学中根据数学学科的前后逻辑、学生的认知规律和非认知状况，注重多重表征的关联和选择可以帮助学生抓住数学规则的本质。

3.多重表征发展数学问题解决能力

“问题解决”不仅是过程和结果，更是一种能力。所有的问题都具有三个要素，即初始状态、过程、目标状态。以往的数学问题会清晰地给出已知条件和结论状态，但生活中很多问题没有贴上数学的标签，就需要学生用数学的眼光观察、发现问题的初始状态、过程、目标状态。[17]过程固然重要，但许多学生解题错误的原因是：不能对初始状态和目标状态进行恰当的多重表征。能否在非标准情境下，正确理解概念和规则、排除干扰、联系相关信息、灵活转译表征是成功解题的关键。而这些都需要学生有较高的多重表征能力。

我国传统数学题“鸡兔同笼”问题：今有雉(鸡)兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？[18]该问题的情境学生是比较熟悉的，也无干扰信息。学生首先需要将该问题转化为自己的语言表征，然后联想鸡兔的具体图像表征，找到两种动物腿与头数量的关系表征。接着有学生用列表格逐一尝试的方法去表征，如表2所示；有的学生用假设列算式的方法去表征，如4×35=140(只)，140-94=46(只)，46÷2=23(只)，35-23=12(只)；还有的学生用设未知数列方程的方法去表征，例如，假设鸡有x只，2x+4(35-x)=94。最后执行过程，表达结论，拓展为一般模型。整个过程充满多重表征的精准选择、优化排序、对应转化、多主体构建、多样表达、模型建构等。这一系列多重表征的合理应用是发展数学核心素养的基础。

表2 图表表征

基于以上论述，小学数学教学中的多重表征有助于学生数学核心素养的发展。我国现行《课标(2011年版)》虽未涉及多重表征的内涵、类别、影响因素、行为表现等，但在其提出的核心概念中对多重表征作出了具体要求。故在小学数学教学中，我们应该加强对多重表征的重视。