两种运动图像的应用与拓展

于洪玉

(山东省平度市第九中学)

图像作为一种重要的研究和处理物理问题的方法,是历年高考物理考查的重点和热点,考查的内容既有教材中的基本图像,亦有根据教材内容衍生出的“新”图像;从近几年高考试题的走向来看,新图像不断涌现,对学生图像表征能力的考查亦逐渐向纵深发展.

鉴于此,本文以a-x和a-v两种图像为例,阐述两种图像的基本应用.

1 a-x 图像的应用与拓展

当力与物体的位移成线性关系时,常会涉及a-x图像.在a-x图像中,挖掘出图线与坐标轴围成图形的面积与某一物理量的乘积所具有的“新”含义,便可找到问题分析的突破口,使看似无从下手的复杂问题迎刃而解.

例1如图1-甲所示,轻弹簧竖直固定在水平地面上,处于原长状态.现有一质量为0.2kg的小球以初速度v0落在弹簧上端,下落过程小球的加速度a与位移x的关系图像如图1-乙所示,其中小球下落至最低点时x＝12cm,重力加速度g取10m·s－2.根据图像可知( ).

图1

A.弹簧的劲度系数为100N·m－1

B.小球的初速度v0＝m·s－1

C.小球下落过程中最大速度vm＝m·s－1

D.小球下落到最低点时,弹簧弹性势能为0.36J

点拨在图1-乙中,图线与坐标轴围成图形的面积与物体质量的乘积表示合力做的功.横轴上方的面积与物体质量的乘积表示合力做正功,横轴下方的面积与物体质量的乘积表示合力做负功.

小球向下先加速后减速,当加速度为零时,速度最大;速度为零时,下落至最低点.当小球加速度为零,即速度最大时,有kx1＝mg,其中x1＝4cm.小球由弹簧上端下落至速度最大的过程中,由动能定理得mS上＝.小球由弹簧上端下落至速度为零的过程中,由动能定理得m(S上－S下)＝0－,解得k＝50N·m－1,v0＝s－1,vm＝m·s－1,选项A、C 错误,选项B 正确;小球由弹簧上端下落至最低点的过程中,由能量守恒可得Ep＝mgx＋,即小球下落至最低点时,弹簧的弹性势能Ep＝0.36J,选项D 正确.

拓展如图2-甲所示,光滑的水平地面上有一长为L＝2m 的木板,一小滑块(可视为质点)放在木板的左端,木板质量是小滑块质量的两倍,开始时二者均处于静止.现给小滑块一水平向右的初速度v0,小滑块恰好滑离木板.已知小滑块与木板上表面间的动摩擦因数μ随离木板左端距离x的变化关系如图2-乙所示,重力加速度g取10m·s－2.则滑块的初速度大小v0为( ).

图2

A.2m·s－1B.3m·s－1

C.4m·s－1D.6m·s－1

滑块恰好滑离木板,说明滑块到达木板右端时二者速度恰好相等.以向右为正方向,由动量守恒定律得mv0＝(m＋2m)v,由能量守恒定律得(m＋2m)v2＋mgS,式中S为图2-乙中梯形的面积,解得v0＝3m·s－1,选项B正确.

拓展中涉及的图乙,表面看起来并非a-x图像,但结合滑块的受力分析可知,滑块的加速度为μg,故在图乙中,纵坐标扩大10倍即可转化为a-x图像,这类图像我们可称之为“类a-x图像”.由此可见,这里的mgS表示的物理含义为摩擦产生的系统热量.

2 a-v 图像的应用与拓展

当带电粒子在磁场中运动或导体棒在磁场中切割磁感线运动时,由于所受洛伦兹力或安培力与速度密切相关,常会涉及a-v图像.在相关问题中,采用基本的方法很难分析出结果,而利用a-v图像,问题的分析便会变得简单明了.

例2如图3所示的竖直平面内,带负电小球穿在水平放置的绝缘长杆上,整个装置处于足够大的正交电磁场中,电场方向水平向左,磁场方向垂直纸面向外,将小球由静止释放,小球在运动过程中具有的最大速度和最大加速度分别为vm和am.则下列判断正确的是( ).

图3

点拨小球运动过程中,当洛伦兹力小于重力时,根据牛顿第二定律有qE－μ(mg－qvB)＝ma,即有a＝;当洛伦兹力大于重力时,根据牛顿第二定律有qE－μ(qvB－mg)＝ma,即有a＝.据此作出a-v图像,问题便可得以解决.

小球在电场力的作用下,向右加速运动,当洛伦兹力增大到等于小球重力时,杆对小球的弹力为零,此时小球受到的摩擦力为零,加速度达到最大;此后小球继续向右做加速运动,洛伦兹力继续增大,当摩擦力增大到等于电场力,即加速度为零时,小球的速度达到最大,最后小球做匀速运动.作出小球运动的a-v图像如图4所示.由图可知,选项A、C、D错误,选项B正确.

图4

拓展如图5所示,光滑水平面上分布着垂直纸面向下的条形匀强磁场,磁感应强度B＝1T,条形磁场区域的宽度为d＝0.5 m,现有一边长为L＝0.5m、质量为m＝0.1kg、电阻为R＝1 Ω 的 正 方 形 线 框MNOP以v0＝4m·s－1的初速度从左侧磁场边缘进入磁场.则线框的加速度a随其速度v变化的图像、速度v随其位移x变化的图像正确的是( ).

图5

综上所述,可知选项A、C正确,选项B、D 错误.

当a与v为线性关系时,则v与x亦为线性关系,二者之间关系的严格论证需要数学的求导和积分;由a-v图像到v-x图像的过渡,是a-v图像的纵向延伸,对学生的数理推理能力提出了较高的要求.

总之,在平时的学习中,需要结合具体的实例不断积累与内化,多角度、多层面理解图像的内涵和外延,并养成图像和物理规律的结合意识,只有这样,才能切实提升用图像表征物理问题,或由物理规律构建物理图像的学科素养.

(完)