拓展延伸再反思 优化认知促发展——对2021 年新高考Ⅰ卷解析几何题的几点思考

四川省南充高级中学(363100) 李 波

一. 试题评析

2021 年新高考Ⅰ卷与往年相比,整体变化不大,难度适中,着重体现对学生核心素养与四基、四能的考查,突出基本概念和核心问题,圆锥曲线延续了八省联考的出题方式,考查双曲线,以圆幂定理为背景;知识上,考查双曲线的定义、轨迹方程、直线与双曲线的位置关系、两点间的距离公式、直线的斜率、直线参数方程的几何意义、四点共圆;思想方法上,考查从特殊到一般,设而不求的方法,转化与化归的思想;核心素养方面,考查了逻辑推理、数学运算. 试题设计科学把握区分度,第21 题(1)、(2)具有较好的层次性,体现思维的灵活性、深刻性、综合性与探究性,朴实无华、但棉里藏针,具有较好的探究价值和选拔功能.

二. 解法赏析

评析 根据题干条件结构特征,利用直线参数方程的几何意义,结合根与系数的关系求解,涉及参数的范围,在建立时又要用到代数变换、三角函数及三角恒等变换等知识,学习中要注意这种结构和联系.

综上所述, 当A,B,P,Q四点共圆时, 直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.

评析 设L1(x,y) = 0,L2(x,y) = 0,F(x,y) = 0

是两条不重合的直线和一条曲线的方程, 两条直线分别与曲线交于两点, 则过四个交点的曲线方程为L1(x,y)·L1(x,y)+λF(x,y)=0,其中λ为常数.

三. 解后反思

1. 拓展延伸

解题是培养数学思维能力的重要手段,如果只解题不反思,达不到思维的深刻性、探究性. 通过对问题多角度、多层次思考,加深对问题的理解,揭示问题的本质,进而发现新的问题,总结一般规律,增强知识之间的内在联系,既开拓视野,也提升解决问题的应变能力. 为此,笔者以本题为背景,通过对题目的改编、条件与结论的互换得出了一系列优美结论,与各位读者一起分享.

(1)ΔTAB外接圆的圆心在一条直线上;

(2)ΔTAB内切圆的圆心在一条直线上;

(3)直线AB的斜率为定值.

证明 (1)证明过程见拓展1. (2)由kT A+kT B= 0 知,直线TA,TB的倾斜角互补,所以直线x=m平分∠ATB,又内切圆是角平分线的交点,所以当点A在曲线C上运动时,ΔTAB内切圆的圆心在一条直线上.

2. 反思“联系与规律”

总结解题时所用的知识、思想方法与已有知识经验之间的相互联系,有利于增强分析和综合运用能力;从特殊到一般的研究方法,转化与化归等数学思想,有利于增强对知识的迁移水平,跳出题海,提高数学学科素养. 在拓展的过程中发现,拓展3 的结论与部分高考真题、竞赛试题有如下衔接关系:

结论 考题 题号拓展3(1) 2011 年全国高中数学联赛一试 11拓展3(2) 2021 年高考全国卷理科(四川) 20拓展3(3) 2009 年高考辽宁卷理科 20

3. 反思多题一解,注重通性通法

有些习题可以从不同视角研究,找出最简洁的解法,既可训练自己的发散思维,又可以提高对数学的审美能力,增强知识间的有机联系. 在变式的过程中,去感受探求新知的愉悦,学生的学习能力与学科素养也能得到发展.

笔者在解答2021 年新高考Ⅰ卷的解析几何大题时,做了如下尝试: 设出直线AB、PQ的斜截式方程, 第一步, 联立直线与曲线方程,找到根与系数的关系;第二步,两条直线共点T,找到斜率与截距的关系式;第三步,通过A,B,P,Q四点共圆,建立圆心距与弦长之间的等式关系;第四步,化简整理. 操作过程中发现,计算量特别大,不建议采纳! 笔者也使用相同的思想方法来解答2021 年高考全国卷理科(四川)第20 题,即设直线A1A2,直线A2A3的方程为y=kx+b,通过圆心距等于圆的半径建立关系式,同样没有成功!

但笔者尝试用本文解法1、拓展3 第(3)问的思想方法来解答该题时,又可以算出. 笔者在反思中发现两道试题都有共同特征: 一个主动点、若干个被动点,当主动点在移动时、被动点也随之移动,但几何性质不变,解题时需要以主动点为基础将几何问题代数化,以彰显通性通法.