学生的『深度理解』是怎样炼成的——特级教师夏永立《除数是两位数的除法练习》教学赏析

文 王焱烽

怎样通过有深度的练习课教学设计，让学生获得对课堂学习内容的“深度理解”？受益于长三角四省市骨干教师交流研修项目，笔者在随安徽省特级教师夏永立老师进行跟岗学习期间，夏老师以他倾心执教的《除数是两位数的除法练习》一课为例，为我们揭示了学生的“深度理解”是怎样炼成的奥秘。

一、以“选择”始，深思运算方法，突破定势

在一般的教学中，为形成除数是两位数的除法运算技能，教师往往会在有限的课堂时间里，安排不同题型的、过量的计算题，以期达到“熟能生巧”的目标。然而学生在面对运算内容时——例如面对本节课的计算，相当一部分学生对题中数的特征不管不顾，头脑中剩下的往往只是“笔算”的强思维定势，对口算、简算、估算这些运算方法往往意识不强。教师“由算至熟”的理念，遇上学生“以算代思”的认识，造成了运算枯燥、机械、浅表化学习的现实流弊。因此，夏老师借助课始简约的练习材料，在引导学生对运算方法的选择、定势思维的突破中丰富运算学习的体验。

【片断1】看谁做得又对又快！

84÷6=90÷3=

900÷30=153÷22=

210÷30=800÷200=

90÷30=21÷3=

930÷50=210÷3=

1.引导观察。

师：一定都要列竖式计算吗？哪些题目不用列竖式计算？请你选择：哪些只需要口算、哪些需要笔算？

生：153÷22 和930÷50 要列竖式计算。

生：84÷6 也要列竖式计算。

师：二年级时84÷6 需要笔算，现在只需要口算。可以口算的还有哪些？

2.组织整理。

师：哪些口算题目是有关联的，我们把这些题目写成一组。

课堂交流后，教师板书成两组算式：

3.课堂交流。

师：哪些算式的商是一样的，有什么变化的规律？

生：第一组中90÷3 的商等于30，把被除数乘10，除数也乘10，所以900÷30 的商也是30。

生：第二组中210÷30 的商是7，被除数和除数都除以10，所以21÷3 的商也是7。

师：为什么第一组中的90÷30的商不是30，是3 了呢？

生：因为被除数900 除以10，但除数30 没有除以10，也就是没有都除以相同的数。

师：让你做900÷30，你可以想到哪道口算题？

生：9÷3。

师：还可以联想到哪些题目？

生：900÷300=3。

生：9000÷3000=3。

……

除数是两位数的除法运算，学生会把列竖式计算这一手段奉为圭臬。为打破学生“只会列竖式笔算”“以算代思”的狭隘认识，夏老师通过请学生选择“口算”还是“笔算”，补上运算前“观察”“审题”的理性选择体验，请学生进行“整理”和“交流”，加强运算时“寻求简洁合理的运算途径”过程性体验，请学生开展“联想”和“编题”，积累运算后“回顾”“总结”的反思性经验。学生对观察、联想、运用“商不变性质”等“弱”刺激印象得以增强，“不能只是算”的思维定势得以突破。学生对运算前、运算时、运算后“需要怎么做”的认识得以丰富。

二、由“问答”入，深究竖式算理，引发思辨

理想的运算教学，是帮助学生在理解算理的基础上掌握算法。对算理的深刻理解，让运算拥有了像根一样能生长的力量。一般而言，教师在新授教学中，十分重视运算算理的理解，会通过画图、算式、小棒、计数器等多种方式引导学生理解算理。练习教学则着重以运算技能形成、思维方法感悟、解决简单实际问题等为主展开。其实，练习课上，教师引导学生借助新授教学“练习”与“作业”中得到的知识经验，对运算算理进行“再理解”。这样的做法完全符合认知学习规律，也能收获“温故出新”的效果，为算法“再总结”，让学习“再发生”。本节课从口算学习后转入对列竖式计算的算理学习中，夏老师独具特色的生—生“你问我答”，把竖式算理中隐含的“节点”“错点”“盲点”显露无遗。学生对“除数是两位数的除法”算理有了深化理解。

【片断2】谁能向他们提问？

师：观察153÷22 的竖式（图1），商是6，余数是21。谁能向她（生1）提问？

图1

生：为什么6 要商在个位上？

生1：如果写在十位上，6 就不代表6 个一。

师：被除数前两位是15，比除数22 小，所以商是一位数。

生：余数21 代表什么？

生1：21 表示被除数153 减去商乘除数后得到的差。

生：竖式中的132 代表什么？

生1：是22 乘6 得到的。

生：为什么个位上商6 不是商7？

生1：把22 看成20，商7 就是7 个20，但实际上应该是22 乘7 是154，比被除数大。

师：也就是试商时要调商。还有谁要向她提问的？

……

师：观察930÷50 的竖式（图2），有谁要向他（生2）提问？

图2

930÷50=18……30

生：既然商写在了百位、十位上，为什么不是180，而是18 呢？

生2：如果是180，那么180乘50 的结果要比930 要大。

生：为什么要把被除数和除数末尾的0 同时划掉？

生2：同时划去，商还是不变的，能使计算变得简便。

生：为什么余数写的是3，横式上写的却是30？

生2：竖式里余数是3，是在被除数的十位上，代表的是3 个十。

……

若非亲历课堂现场，很难相信10 多个充满思辨味的高质量问题，一个紧接一个，从学生口中问答如流。陈省身指出，数学是自己思考的产物，首先要能够思考起来，用自己的见解和别人的见解交换，才会有很好的效果。从学生之间“唇枪舌剑”般互问互答的课堂表现看，每一位提问者都将自己对竖式算理的理解，与回答者对算理的深入理解，进行“点对点”的精准交换———这种交换过程中的互相确认，为问答双方和其他学生构建起向心力极强的思辨场——在这个思辨场中，大家对所问与所答的倾听、思考、判断、评价活动，让算理的深度理解就此真实发生。这一有深度的“生问生答”环节设计，“将数学教学提升到高阶思维层面，让数学思维方式、方法在他们的内心深处扎根、生长，成为学习数学的自觉力量”。

三、借“改数”探，深研试商规律，开阔视野

一般而言，在结束对算理的思辨性交流后，教学会进入到诸如“列竖式计算”“改错”“问题解决”等形式不一的基础练习、变式练习等常规习题的“操练”环节，目的是为形成一定的运算技能。夏老师认为，在教学中，教师不能就题论题，而要适当进行拓展，只有找到习题潜在的智力因素，才能发挥最佳的课堂效益。在本节课中，如果仅仅是操练，学生所经历的学习过程便缺失对数感、抽象能力、运算能力等的培育。《数学课程标准（2022年版）》在“运算能力”这一项核心素养表现性指标的表述是：能够通过运算促进推理能力的发展。如何借助学生在运算练习中获得的感性认识，引导学生对大量竖式运算后隐藏其中的试商规律进行理性思考，发展运算推理能力呢？在紧随其后的练习环节，夏老师另辟蹊径，将学生的思维带入对竖式试商过程的分析及其规律总结中——

【片断3】改除数，口算变笔算。

师：210÷30=7，想一想，把除数改成多少，这道题就需要笔算了？

学生答33、29、31、27、28 的均有。

师：你觉得除数改成多少，只需要一次试商，就能笔算？

板书：改题。

（学生答29、28、27、32、33 都有，也有学生说只有29）

师：请你自己列竖式验证，是不是一次试商就行了？

生：28、29 都可以，只要一次试商就行。

生：27 也可以的，32、33 都不行。

师：210÷31，一次试商够吗？

生：需要两次试商。

生：32、33。

生：超过30 的都不行。

师：想一想，除数是31 就要试商两次，那么超过30 的，还要举其他例子吗？31 都不符合要求，比30 大的，更需要试商两次。

师：如果是210÷26，要不要调商？请大家继续验证。

板书：猜想——验证。

生：26 要调商，第一次试商7，太小了，调商为8，这样第二次的商8 是合适的。

师：有时试商只要一次，有时试商需要两次，试商小了，要调大，试商大了，要调小。

师：根据刚才的学习，你有没有找到什么规律，在什么情况下，只要一次试商，什么情况下需要两次试商？

生：我发现除数靠近7、8、9之类的，只要一次。靠近5、6 的，就要试商两次。

生：因为靠近7、8、9，可以看成整十数，是把除数看大了。

……

怎样为常规习题赋能，在开阔学生的学习视野中让思维走向深刻？学生通过“一次试商”“两次试商”的列竖式计算里，探索由除数变化引起试商次数变化的规律。更难能可贵的是，课堂上，许多学生一次次自发改除数、列竖式、试商调商，皆为“猜想——验证”规律。把原本看似乏味的列竖式计算，变成有动力、愿努力、想尽力发现的主动探究活动——学生在爱数学的情感上与做数学的意识上可谓更进一步。这样独特的教学设计，也为“双减”背景下的课堂练习与“数与运算”类作业改进设计与课堂指导，提供了可资借鉴的设计思路。

“练习课的质量取决于什么？在一定题量的基础上，关键看思维的含量，看学生自主学习的积极性。”（华应龙）纵观整节课，夏老师以简约的学习材料，简练的课堂语言，通过有深度的教学设计，让学生充分经历了运算方法的理性选择、运算算理的深度理解、试商规律的深入探索过程。“深度理解”的课堂学习历程，有效培养了学生良好的运算能力与主动探究习惯，体现了夏老师“比学生‘演练’更重要的是‘习得’，即获得新的方法和思想，在学习能力上有新的提升”的练习课教学主张。显然，在培育学生学科核心素养的背景下，以“深度课堂”理念上好上优练习课，夏永立老师这节练习教学的研究课起到了良好的示范作用。