渐开线齿轮齿根过渡曲线与齿根弯曲疲劳强度的研究*

虞 潮，王明镜，曹荣青，张雪娇

(南京高速齿轮制造有限公司，江苏 南京 210000)

0 引言

以渐开线作为齿轮的齿廓，不但能满足恒定传动比、中心距可分等要求，而且还具有传动平稳，便于制造和测量等优点，因此在各种传动结构中被广泛采用。

在齿轮啮合过程中，关注的重点一般为啮合区域内有效渐开线的精度及制造偏差，然而对齿根弯曲疲劳强度和齿轮承载能力有直接影响的齿根过渡曲线的形状及参数关注较少，只有合理可控齿根过渡曲线才能保证有效齿轮强度。因此，了解齿根过渡曲线的成形原理及影响因素，有助于掌握齿轮的齿廓齿形，找到控制过渡曲线的途径，从而易于齿轮滚刀设计，并且为齿轮结构强度分析及模型构建提供必要信息[1]。

1 渐开线齿根过渡曲线

渐开线齿轮齿根过渡曲线是指连接渐开线起始点到齿根圆之间的曲线(图1)。

齿根过渡曲线与齿轮加工方式和加工刀具密切联系。齿轮加工方式不同或采用的刀具不同，加工出的齿根过渡曲线则不相同[2]。

(1)当加工刀具为成形铣齿刀时：齿根过渡曲线与铣刀齿顶圆弧齿形近似，一般为圆弧曲线或自定义多段线构成。

(2)当加工刀具为滚刀时：一般有两种形式。齿根过渡曲线为单圆弧(图2)(滚刀采用整圆弧加工)，齿根过渡曲线为延伸渐开线的等距线；齿根过渡曲线为双圆弧(图3)(滚刀采用双圆角加工)，齿根过渡曲线为延伸渐开线的等距线和齿根圆圆弧搭接构成[3]。

(3)当加工刀具为插齿刀时。一般有两种形式：齿根过渡曲线为单圆弧(图2)(插齿刀采用整圆弧加工)，齿根过渡曲线为延伸外摆线；齿根过渡曲线为双圆弧(图3)(插齿刀采用双圆角加工)，齿根过渡曲线为延伸外摆线的等距线和齿根圆圆弧搭接构成[3]。

2 齿根过渡曲线成形原理和计算公式

渐开线曲线是通过一条直线绕基圆作纯滚动，直线线上的点绘制出渐开线曲线，作该直线的垂线，在垂线上靠近基圆一侧取点，当直线做绕基圆纯滚动时，该点绘制出的曲线就是延伸渐开线；在垂线上远离基圆一侧取点，直线作绕圆纯滚动时，该点绘制出的曲线就是缩短渐开线。在生产上应用的齿条刀具齿顶都带有圆角，它相对于被切齿轮的运动轨迹就是延伸渐开线的等距线[3]。

根据磨齿齿面余量的形式可将预加工滚刀分为两种形式：标准齿轮滚刀(图4)和圆头留磨滚刀(图5)。两者主要区别在于齿槽底部是否留有余量。标准齿轮滚刀在齿面及齿槽底部均匀留有余量；圆头留磨滚刀仅是齿面留有余量，齿根进行挖根处理[4]。

当采用标准滚刀加工时(图6)，其齿根过渡曲线坐标表达式为[3]：

其中：Sa为刀具齿顶宽;ha′为滚刀齿顶高;hc′为刀具节线上齿顶高，hc′=m(ha′-x)。

当采用圆头留磨滚刀时，其齿根过渡曲线坐标表达为[4]：

其中：hc′=hc-x1m；r为分度圆半径；x1为变位系数；hc′为刀具节线上齿顶高；rc为刀具齿顶圆弧；a1为参变量；a1与φ的关系为：

齿轮渐开线曲线和齿根过渡曲线的交点就是渐开线起始点(图6)。

3 齿根弯曲疲劳强度的计算方法

在设计图纸中会出现齿根圆角系数Pf或者齿根圆角曲率半径rf，其计算公式为Pf=rf/m，一般情况下两者指的是需要保证的最小圆弧，根据实际工况不同对应圆角标准也不同，一般采用0.25m，0.38m，0.45m[4](参考GB/T 1356—2001)。

在齿轮强度校核过程中齿根圆角大小ρf不同于设计图纸中圆角大小，是以30°切线作为危险截面的切点位于刀具齿顶圆角所展成的齿根过渡曲线上的曲率半径大小[5]，其值大小不但受到刀具齿顶圆角影响，而且还与齿轮参数相关(图7)。

根据《渐开线圆柱齿轮承载能力计算方法》，参考GB/T 3480—1997和ISO 6336：1996标准，在校核齿轮弯曲疲劳强度时，参考公式[6]：

其中，YF为齿形系数；YS为应力修正系数。

YS=(1.2+0.13L)qs

其中：滚刀圆角大小ρF主要影响齿轮弯曲疲劳强度σF中YF和YS两个参数。为了研究滚刀不同圆角大小对齿根过渡曲线的影响及齿根弯曲疲劳强度的变化规律，选取齿轮副参数如表1。

表1 齿轮副参数

齿轴齿面余量为0.25 mm，滚刀凸角量为0.15 mm，侧刃角度12°，齿顶圆角大小按照0.2倍模数(R1.8)到0.34倍模数(单圆弧R3.15)进行计算和绘制(图8)。

通过结果关联图可以得出如下结论(图8-图10)：

1)滚刀齿顶圆角与齿形系数YF和YS呈现负相关，圆角越大对应齿形系数越小。

2)滚刀齿顶圆角与齿根强度系数SF呈现正相关，圆角越大对应齿根安全系数越大。

3)滚刀齿顶圆角越大对应的计算时齿轮圆角ρF越大。

4)滚刀齿顶圆角对渐开线起始点有直接影响，滚刀齿顶圆弧从1.85增加至3.15，渐开线起始点从211.021 mm提升至211.601 mm。

4 结语

针对齿根强度有特殊要求的产品，为了获得较大齿根圆弧曲线，可以采用椭圆或者高次曲线使得刀具圆角变大满足计算要求，可配合成形铣齿刀具进行加工。

一般情况渐开线起始圆是通过滚刀圆弧加工产生，但是实际生产过程中，当齿数较多或者变位系数过大等情况，圆头滚刀副刃同样会切削到有效渐开线，造成二次切削到零件，此时交点会在滚刀圆弧交点的上方，此时齿根强度的计算应根据实际情况进行调整。

滚刀圆角越大对应加工出来的渐开线起始点会越高，在满足齿根弯曲疲劳强度和有效展长的情况下，不同圆角大小的滚刀效率及寿命有待于进一步研究。