几种平面轨迹在空间中的推广

吴险峰

几种平面轨迹在空间中的推广

吴险峰

（齐齐哈尔大学 理学院，黑龙江 齐齐哈尔 161006）

利用解析法证明了平面上几种常用轨迹在空间中推广后的曲面类型．

二次曲面；椭球面；双曲面；抛物面

在平面上，由二元二次方程所表示的图形称为二次曲线，二次曲线有9种类型，二次曲线除了圆锥曲线外，就是退化曲线[1-2]．在空间，由三元二次方程所表示的图形称为二次曲面，二次曲面有17种类型，二次曲面除了椭球面、双曲面、抛物面外，就是柱面、锥面和退化曲面（即平面）[3-5]．圆锥曲线可以视为平面上的动点运动而成的，例如：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹；椭圆是平面上到两定点距离之和等于常数（此常数大于两定点之间的距离）的点的轨迹；双曲线是平面上到两定点距离之差的绝对值等于非零常数（此常数小于两定点之间的距离）的点的轨迹；抛物线是平面内与一定点和一定直线（定直线不经过定点）的距离相等的点的轨迹． 本文利用解析法证明了平面上几种常用轨迹在空间中推广后的曲面的类型．

在空间中，到定点距离等于定长的点的轨迹称为球面．除了这个定义外，由定理1可以给出球面的另一个定义：在空间中，到两定点距离之比是一个常数（此常数大于零且不等于1）的点的轨迹称为球面．

定理2到两定点距离之和是常数（此常数大于两定点间的距离）的空间点的轨迹是长形旋转椭球面．

定理3到两定点距离之差的绝对值是常数（此常数小于两定点间的距离）的空间点的轨迹是双叶旋转双曲面．

整理得

整理得

整理得

转双曲面． 证毕．

[1] 丘维声．解析几何[M]．3版．北京：北京大学出版社，2015：232-243．

[2] 胡新平．二次曲线的轨迹统一及性质[J]．数学通报，2007，55（12）：47-51，54．

[3] 吕林根，许子道．解析几何[M]．4版．北京：高等教育出版社，2006：232，280-281．

[4] 周妍．立体几何中的轨迹问题[J]．数学学习与研究，2010（11）：86．

[5] 张隆辉．平行平面的一个轨迹及其性质[J]．川北教育学院学报，2001，11（3）：50．

[6] 阿波罗尼奥斯．圆锥曲线论：卷I-IV[M]．朱恩宽，译．西安：陕西科学技术出版社，2007：136．

The generalization in space of several plane tracks

WU Xianfeng

（School of Science，Qiqihar University，Qiqihar 161006，China）

By analytic method，surface types about the generalization in space of several commonly used plane tracks are proved．

quadric surface；ellipsoid；hyperboloid；paraboloid

1007-9831（2022）08-0018-04

O17

Ａ

10.3969/j.issn.1007-9831.2022.08.005

2022-04-17

齐齐哈尔大学教研项目（GJZRYB202019）

吴险峰（1970-），女，黑龙江齐齐哈尔人，教授，硕士，从事几何学研究．E-mail：wuxianfenglaoshi@163.com