具有细胞感染和抗病毒治疗的HIV感染模型的最优控制

柳玉，张正琦

具有细胞感染和抗病毒治疗的HIV感染模型的最优控制

柳玉1，张正琦2

（陕西铁路工程职业技术学院 1. 基础课部，2. 工程管理与物流学院，陕西 渭南 714000）

对一类具有病毒-细胞感染和细胞-细胞传播的HIV感染模型的最优控制问题进行了讨论．该最优控制问题通过控制抗病毒药物RTIs和PIs的治疗效果，实现在有限的治疗时间内使未感染的CD4+T细胞浓度最大，而药物副作用最小．通过分析模型解的非负性和有界性证明了最优控制的存在性，利用Pontryagin最大值原理得到了最优系统，使用四阶龙格库塔算法对最优控制策略下的治疗效果进行了数值模拟．

细胞感染；抗病毒治疗；HIV感染；最优控制

1　引言及预备知识

据世界卫生组织统计，2019年底全球约有3 800万艾滋病毒（HIV病毒）感染者，同时，在COVID-19疫情期间，艾滋病毒服务中断导致了感染增加[1]．HIV病毒主要攻击人体的CD4+T细胞[2-3]．当受到HIV病毒攻击时，细胞免疫和体液免疫将被激活．在细胞免疫中，细胞毒性T淋巴细胞（CTL）能够使感染的细胞裂解或凋亡．在体液免疫中，效应B细胞依据病毒表面的抗原产生特异性抗体，进而阻止病毒攻击目标细胞．细胞免疫和体液免疫虽然能抑制HIV病毒感染，但不能彻底清除病毒，所以病毒的治疗仍需引入有效的药物．基于细胞免疫和体液免疫，文献[4]研究了药物RTIs和PIs治疗HIV感染的最优控制问题，其中仅讨论了病毒通过“病毒-细胞”的感染方式直接感染健康的CD4+T细胞．近年来，专家发现病毒也可通过“细胞-细胞”的传播方式感染健康的CD4+T细胞，这里“细胞-细胞”传播指通过感染的CD4+T细胞与健康的CD4+T细胞接触从而释放病毒导致的感染．同时，药物PIs具有抑制病毒产生和抑制感染的CD4+T细胞感染未感染的CD4+T细胞2种功效[5-8]．在文献[4]的基础上，本文增加考虑了病毒的“细胞-细胞”传播方式及药物PIs的２种功效，提出了通过控制药物RTIs和PIs的治疗效果实现未感染的CD4+T细胞浓度尽可能大而药物副作用尽可能小的最优控制问题，研究最优控制的存在性．

设系统（1）的初始条件为

由于药物均存在副作用，故治疗周期一般有限．本文讨论在有限治疗时间内使用RTIs和PIs２种药物治疗HIV感染．结合临床实际，通常期望实现未感染的CD4+T细胞浓度尽可能大而药物副作用尽可能小，定义目标函数为

2　主要结果及证明

2.1　最优控制的存在性

为了说明最优控制的存在性，给出系统（1）在初始条件（2）下解的非负性和有界性．

综上所述，由文献[11]中第三章定理4.1可知，定理2成立．证毕．

2.2　最优控制的特征

依据定理2，利用Pontryagin最大值原理可得到最优控制的必要条件．定义Hamilton函数

横截条件为

证明利用Pontryagin最大值原理，由Hamilton函数（4），得到协状态方程

其结果为式（5）．

证毕．

3　数值模拟

图1　当权重系数为时，最优治疗策略及有无治疗对未感染的CD4+T细胞和游离病毒浓度的影响

图2　当权重系数不同时，最优治疗策略下未感染的CD4+T细胞和游离病毒浓度的变化

图3　当权重系数不同时，最优治疗策略下未感染的CD4+T细胞和游离病毒浓度的变化

4　结语

本文主要在文献[4]模型的基础上增加考虑了病毒的“细胞-细胞”传播方式和药物PIs的2种功效，建立了以药物RTIs和PIs的治疗效果为控制变量，以在有限时间内实现未感染的CD4+T细胞浓度尽可能大而药物副作用尽可能小为目标的最优控制问题．通过分析模型解的非负性和有界性证明了最优控制变量的存在性，利用Pontryagin最大值原理得到了相应的最优系统，利用Matlab进行数值模拟分析了药物RTIs和PIs的最优治疗策略以及有无治疗和权重系数变化对未感染的CD4+T细胞和游离病毒浓度变化的影响．

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Optimal control of HIV infection model with cell-to-cell transmission and antiretroviral therapy

LIU Yu1，ZHANG Zhengqi2

（1. Department of Basic Course，2. School of Engineering Management and Logistics，Shaanxi Railway Institute，Weinan 714000，China）

The optimal control problem of a kind of HIV infection model with virus-cell infection and cell-cell transmission is discussed．This optimal control problem can maximize the concentration of uninfected CD4+T cells and minimize the side effects of drugs within a limited treatment time by controlling the therapeutic effects of antiviral drugs RTIs and PIs．The existence of optimal control is proved by analyzing the nonnegativity and boundedness of the solution of the model．The optimal system is obtained by using the Pontryagin maximum principle．The treatment effect under the optimal control strategy is numerically simulated by using the fourth-order Runge Kutta algorithm．

cell-to-cell transmission；antiretroviral therapy；HIV infection；optimal control

1007-9831（2022）08-0028-07

O232

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2022.08.007

2022-03-01

陕西铁路工程职业技术学院研究生专项（KY2021-11）

柳玉（1995-），女，陕西榆林人，助教，硕士，从事应用数学研究．E-mail：939464473@qq.com