初中数学动态几何问题的解题方法

王 涵

(江苏省锡山高级中学实验学校 214177)

初中数学动态几何问题主要的解题思路有：运用函数性质、运用图形性质、借助点的对称、借助图形关系、借助数形结合等进行求解.其中点的对称源于学生所学的“将军饮马模型”，而图形关系则包括图形的全等与图形的相似.教学中仅仅为学生讲解相关理论是不行的，还应注重为学生做好解题方法应用示范.

1 借助函数性质求解动态几何问题

动态几何问题情境复杂多变，在求解最值问题时借助函数性质是常用的思路.解题时需在认真审题，吃透题意的基础上，搞清楚角度、线段长度之间的关系，必要情况下设出相关参数，表示出要求解参数的表达式，而后灵活运用一次函数、二次函数以及反比例函数性质进行解答.需要注意的是函数最值与自变量密切相关，因此，应根据题干创设的情境，确定正确的自变量范围.

图1

例1如图1，ABCD为矩形，AB和AD的长分别为10cm，6cm，动点E从A点出发以1cm/s的速度沿AD向点D运动，动点F从点D出发以2cm/s的速度沿DC向点C运动，设运动时间为ts，当S△DEF+S△ABE和最大时，t的值为( ).

A.2 B.3

解析该题创设的情境并不复杂，根据点的运动速度可知DE的长度应为AE长度的两倍，如此便将点的运动转化为线段长度.结合已知条件中给出的参数，设出AE的长度后表示出三角形的面积之和，将问题转化为二次函数求最值问题.其中因点E在AD上运动，因此，AE的取值范围为0

2 借助图形性质求解动态几何问题

求解动态几何问题时借助图形性质是经常用到的一种思路.初中数学涉及到的几何图形较多，包括直角三角形、矩形、正方形、圆等，不同的图形有着不同的性质.解题时通过审题明确涉及到的图形，结合线段、角度之间的关系，确定相关对象运动过程中变与不变的量，寻找解题突破口.

例2如图2，在平面直角坐标系xOy中点A、B的坐标分别为(12，0)，(0，9)，经过点O且和AB相切的动圆和x轴交于点P，和y轴交于点Q，则线段PQ的最小值为( ).

图2

解析认真审题挖掘题干中的隐含条件.圆在运动过程中∠QOP=90°以及和线段AB相切的关系始终保持不变.由圆的性质可知求PQ的最小值，即求动圆的直径的最小值，如此便将PQ的最小值转化为求最小直径圆的问题.结合O和切点连线的关系可知当圆的直径为AB边上的高时最小.

3 借助点的对称求解动态几何问题

求解初中数学动态几何问题的又一种方法即点的对称.其中将军饮马模型是点对称的典型代表.运用点的对称求解动态几何问题应结合题干选取合理的点，并找到对称的线段，必要情况下需结合图形性质确定对称点的具体位置，而后通过做出辅助线，构建特殊图形，如直角三角形，借助勾股定理求出对应线段的长度.

图3

解析结合将军饮马模型，寻找点E关于AC的对称点，运用菱形知识确定对称点在线段CD上，不断的改变PF的位置，使P、F、G三点共线，且距离最短.而后做出辅助线构造直角三角形，结合题干中给出的角度与线段长度，求出线段之和的最小值.

4 借助图形关系求解动态几何问题

初中数学部分动态几何问题需借助图形关系，寻找角度、线段之间的等量或比例关系.解题常用的知识点有：平行线性质、三角形全等以及三角形相似等.解答该类问题可采用逆向推理法，从要求解的问题切入，分析需要哪些条件，必要情况下做出辅助线更好地揭示要求解问题与已知条件的关系.

图4

例4如图4，在平面直角坐标系中点A、C的坐标分别为(3，4)，(x，0),且-2

解析根据题干描述运用直线平行的性质，将角转化到具体的三角形中，表示出角的正切后，将问题转化为求线段BG的最大值.根据题干中给出的已知条件，借助三角形相似，构造线段之间的关系，求出线段BG的最大值.

5 借助数形结合求解动态几何问题

数形结合是初中数学中非常重要的解题思想.解答动态几何问题应用数形结合思想可迅速找到解题突破口.借助数形结合求解动态几何问题，应认真观察给出的图形、图象，通过分析图象中的关键点，如最高或最低点，将其与图形对应起来，充分挖掘图形中的隐含条件.同时，立足几何图形性质求解出相关线段、角度等参数，以达到顺利解题的目的.

(a) (b)图5

题目中仅给出∠B的正切值，解题时需读懂图5(b)，从中寻找出线段长度.结合x=BD可知，当x值最大值对应BC的长度.找到点D的特殊位置，灵活运用勾股定理以及三角形面积计算公式便可计算出最终结果.

初中数学动态几何问题教学中，为获得良好的教学效果，应结合具体例题运用多媒体技术向学生直观的展示点、线、图形的变化情境，使其能够直观的观察到变与不变的量，尤其在课堂上注重与学生积极互动，营造良好课堂氛围，提升其听课体验的同时，加深其对不同题型的认识，牢固掌握相关的解题方法.