巧用转化思想 解答数学难题

林亚额

(福建省石狮市华侨中学 362700)

转化思想是初中数学中的一种重要思想.在转化思想的指引下可使得看似难以下手的问题顺利的得以突破.授课中应充分认识到转化思想的重要性，做好转化思想的灌输以及应用示范.

1 一般与特殊的转化

一般与特殊的转化是指在考虑问题时将一般的情境特殊化，更加方便的寻找相关角度，线段之间的关系，以达到快速求解问题的目的.如解题中的特殊值法、特殊位置法均是该转化方法的具体体现.教学中为使得学生准确的找到特殊值、特殊位置，提高解题效率，应结合学生所学，做好经典例题的剖析.

例1如图1，正方形ABCD的边长为1，在对角线BD上存在一点E，且BE=BC，P为CE上任意一点，且满足PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值为( ).

图1

解析该题为动点问题，采用常规思路解题的难度较大.由“P为CE上任意一点”，可将P点的位置特殊化，即取P点为EC的中点，问题便很快突破.授课中可为学生讲解以下突破思路：

2 局部与整体的转化

局部与整体的转化可使得看似较为复杂的式子变得较为简单，有效的降低计算的复杂度.其中整体代换、换元法是初中数学解题中常用的局部与整体转化方法.教学中为使学生体会、掌握该转化方法，既要注重例题的讲解，又要组织其进行专题训练.如可要求学生结合所学解答以下习题：

例2若x-2y-2=0，x2-4y2+4m=0(0

解析该题涉及三个参数，看似难度较大.事实上通过局部与整体的转化，不难求解.解答该题要求学生先认真观察要求解的问题，通过对要求解的问题进行整理，构建与已知条件的联系，而后通过局部向整体的转化求解.

∵x-2y-2=0，∴x-2y=2①，

又∵x2-4y2+4m=0，∴4m=4y2-x2=(2y+x)(2y-x)=-2(2y+x)，∴x+2y=-2m②，

2mx-x2-4my-4y2-4xy=(2mx-4my)-(x2+4xy+4y2)=2m(x-2y)-(x+2y)2，

将①②整体代入，原式=4m-4m2=-(2m-1)2+1，又∵0

3 数与形的转化

数与形之间有着密切的联系，之间的转化能有效的突破相关数学难题.教学中为使学生积累丰富的数与形转化经验，提高其在解题中的应用灵活性，应注重讲解数与形转化的思路，如绘制图形、建立坐标系等都均属于数与形转化的范畴.同时，做好相关例题的筛选，提高教学的针对性，使学生在听课中进一步深化对数与形转化的认识与理解.

例3如图2，坐标轴上存在A、B、C三点，其中AO=BO=CO=1，过点A、O、C作圆D，其中E是圆D上任意一点，连接CE，BE，则CE2+BE2的最大值为( ).

图2

解析解答该题应注重挖掘隐含条件，该题涉及到坐标系，实际上暗示运用数与形的转化进行求解.解答时应借助点的坐标，运用数与形的转化寻找相关参数之间的内在关系，以达到顺利突破的目的.

根据题意可设E点的坐标为(m，n)，则根据题意可得B、C的坐标分别为(-1，0)、(1，0)，使用坐标不难表示出CE2+BE2=(m+1)2+n2+(m-1)2+n2=2(m2+n2)+2.又∵m2+n2表示点E到原点距离的平方，因此，当其最大时点E距离原点最远，又∵点E在圆D上，因此，满足题意的点E为OD连线和圆D的交点.∵AO=OC=1，∴∠DOC=45°，∵此时OE为圆D的直径，∴OC=CE=1，即m=n=1，∴CE2+BE2的最大值为2×2+2=6，选择C项.

4 方程与函数的转化

方程与函数紧密联系，两者间的转化是初中数学的热门考点.教学中应注重引导学生将一次方程和一次函数、二次方程和二次函数对应起来，为实现两者之间的灵活转化做好铺垫.同时，围绕学生的现有知识储备以及教学的重点知识，创设新颖的问题情境，鼓励学生在课堂上讨论、解答.

解析问题要求三次方程根的取值范围，看似无从下手，但从已知条件中可获得启发.通过认真审题，吃透题意，不难找到解题思路，即，将要求解的方程进行整理、转化成函数图象的交点问题.

5 陌生与熟悉的转化

在初中数学学习中，通常是从陌生、浅显的了解逐渐熟悉和深入，是一个循序渐进的过程，帮助学生解答难题，利用转化思想，将陌生题目转化为熟悉题目，降低解题难度系数，完成数学难题解答.

再如，已知a是方程x2+x-1=0的一个根，则代数式a3+2a2+2018=( ).对于此题，学生都知道a2+a-1=0难以转化，并不知道如何求解.在解题中，其关键就是对已知条件和问题进行转化、变形.在解题中，让学生对已知条件进行观察，构建已知条件和问题解答的联系.根据已知可以得出a2+a-1=0，所以a2+a=1，因此，a3+2a2+2018=a3+a2+a2+2018=a(a2+a)+a2+2018，从而得出a+a2+2018，求解得出答案是2019.

6 抽象与具体的转化

在初中数学解题中，针对一些困难问题，引导学生利用转化思想，将抽象问题具体化转化，激发学生联想能力，将数学难题一一拆解，理解题目意思，分析条件关系和解题思路，正确解答数学难题.

例5已知，如图3所示，在△ABC中，AD=DB，DF和AC相交，交点是E，和BC延长线交于点F，求证：AE·CF=EC·BF.

图3

解析在几何问题解答中，求证两条线段积等于另外两条线段积，题目较为抽象，引导学生利用转化思想，做出相应的辅助线，将图形具体化转化，转变成学生常见的图形，找出正确的解题思路.在解题中，先让学观察图形，找出存在的相似三角形，利用相似三角形的性质解题，之后，让学生画出辅助线，使得图像更加形象具体，在DE上找出点G，使得CG∥AB，将图形转化成相似三角形，利用相似三角形性质证明.在初中数学解题中，对于有些抽象的数学难题，引导学生创新解题方式，利用转化思想进行图象转化，使得题目更加具体、直观，明确问题解题思路，提高学生解题能力.

转化思想在初中数学解题中有着广泛的应用，该思想本身并不难理解，但要想灵活应用于解题中，不仅需要学生认真听讲，牢固掌握相关的理论，把握转化思想的精髓，而且需要引导学生做好专题训练以及该思想在解题中的应用反思、总结，把握不同题型的转化思路，在以后的解题中少走弯路，迅速破题.