基于学生综合能力提升的离散数学教学改革探讨

◇中原工学院 李士生 陈仁霞 冯 琪

针对目前离散数学课程教学过程中存在的痛点问题，遵循“以学生为根，以育人为本”的理念，从改革课堂教学目标、探索线上线下教学相结合的新型教学模式、优化教学内容、强调多元化考核方式四个方面阐述离散数学的教改措施，并积极融入数学建模思想及课程思政元素，旨在激发学生自主学习的动力，提高教学质量和学生的创新应用能力。

离散数学作为现代应用数学的一门重要基础学科，主要研究各种不同离散形式对象的结构及其性质。一方面，离散数学着重培养学生的计算思维和逻辑思维，使其广泛应用在计算机相关领域；另一方面，离散数学作为数学建模的一个重要工具，在物理、化学、生物等自然科学，电子工程、自动化等工程技术等领域也有着普遍的应用[1]。因此，这些必要性和重要性都促使离散数学成为计算机相关专业的一门核心必修课程。以笔者学校为例，在计算机科学与技术、网络工程、信息安全、网络软件、移动互联网、金融软件、数据软件等专业都开设有离散数学课程，这些专业分布在计算机、软件、电信、彼得堡航空等几个不同的学院。

近年来，围绕离散数学的教学方法与内容的改革如火如荼。赵国生等[2]和邓辉文[3]分别提出离散数学课程线上线下混合式教学模式，给出各自相应的实施方案。杜治娟[4]针对离散数学教学中存在的一些问题，提出多元融合的教学方法。邓秀勤等[5]和陈义明等[6]分别提出基于OBE教学理念和雨课堂深度学习的离散数学改革探讨。上述文献关注的是改变传统教学中偏重知识点的讲解和解题技巧，主要针对教学方式、方法和内容的改革，对如何提高学生的综合能力关注较少。笔者结合近十年的离散数学教学经验，将教学目标定位于培养学生的逻辑推理、抽象思维、自主学习及数学建模等综合能力的培养，探讨如何激发学生学习的内驱力，利用现代信息化资源，构建合适的教学手段及方法组织课堂教学，提高离散数学课程的教学质量。

1 离散数学教学中存在的痛点问题

近几年，伴随着微课、MOOC课、在线开放课程等信息化课程的建设，课堂效率有所提高，学生有了更多的学习选择。然而，在目前的离散数学授课中，学生的学习依然存在以下几个比较突出的问题。

（1）分支多，概念多，内容繁杂，章节联结性差。离散数学一般分为数理逻辑、集合论、代数系统和图论四个单元块，每个单元的知识点多、涉及面广、信息量大，且不同单元间关联性不强。作为一般只有45-60学时的授课时间，面对如此多且比较“散”的知识点，不管对教师还是学生都是一个巨大的挑战，教师感觉讲授时间不够，不能充分展开课堂教学，学生学习起来感觉比较紧凑，知识点前后衔接不紧密，很难做到融会贯通。比如，以图论单元为例（如图1），该单元包含大量的概念、性质和定理。其中每个模块中又包含众多的概念、例题和结论，该单元知识点内部相互关联，而与其余单元衔接不紧。为此，若采用传统授课方式，不区分核心知识点与一般知识点，教师无法在规定的课时内讲授完，学生也无法在有限的时间内吸收消化。

图1 图论单元包含的知识模块

（2）理论性强，内容抽象，概念辨析度不高。离散数学不仅术语和概念多，而且存在不少概念高度抽象、理论性强，初学者难易理解和掌握。比如，数理逻辑单元对于“命题”定义为“能够判断真假的陈述句”。这个概念很简单，但是诸如“2040年元旦郑州会下雪”和“大偶然都是两个素数之和”这样两个简单的命题对学生来说就不易判断。对前者来说，虽然当前无法判断真假，但是只要等到2040年元旦以后就可以出判断真假；而对后者来说，我们目前还不能给出正确性证明或者给出反例。其次，一些概念的定义与通常数学和生活应用不完全一致，辨析度不高。比如，蕴含式的真假规定为为假当且仅当前件p为真后件q为假”。该定义表明只要p为假对应的命题就为真，然而在数学或者生活应用中一个语句若前件为假，这个语句本身就是错误的。

（3）课程考核方式单一，学生积极性不高。当前不少高校对离散数学课程的考核还是以基础知识为主，虽然增加了过程性考核，但仍偏重于课程基本知识的理解和记忆，较少考核知识的实际应用，更少关注评价和创造的考核。考核是学生学习的一个重要风向标，好的考核可以引导学生学以致用，解决实际问题。

（4）思政元素较少融入课堂教学。离散数学作为计算机类学生的一门专业课，教师授课关注的核心在于育“才”重“器”，而对“德”和“人”关注甚少。事实上，离散数学各个单元的内容都与社会生活紧密相关，将思政元素自然地融入教学课堂，既可以让学生关注社会问题，陶冶学生的情操，又可以扩展相应知识点的内涵和外延，便于学生将所学知识解决实际问题，进而也有利于学生学习兴趣和动力的激发。

2 教学改革创新措施

针对离散数学教学中存在的痛点问题，结合笔者多年来的教学经验，下面通过几个不同的方面给出改革方案。

2.1 改进教学目标

为了响应教育部新时代“新工科”及培养“应用型人才”的发展需求，对离散数学课程，学生既要掌握必备的基础理论知识，更能把离散数学与后续专业课程相联系，做到触类旁通，学以致用。从这个意义上来说，教学目标必须做出相应的调整。学生学习能力的提高是培养应用型人才的前提，所以在离散数学的授课过程中，要强化学生理论联系实际的能力，培养学生的数学建模能力[7]。

发散性思维、抽象思维、计算思维、逻辑推理以及数学建模能力等综合能力的锻炼和培养是离散数学课程的重要教学目标。选取与实践应用联系紧密的章节，布置相关的研讨、实验、上机等实践作业，通过分组讨论、录制视频、教师点评等方式，促使学生对所学知识消化吸收，拓广学生的外延知识，尽力理论联系实际，助力实际应用问题的解决，促进学生的学习动力。

2.2 探索线上线下相结合的教学模式

教学过程和信息技术相融合，课前、课中、课后都需要有机结合，形成闭环。采用的线上学习平台包括Canvas教学辅助平台、超星Mooc平台、雨课堂等，教学的信息化使得学生可以随时随地的重复学习，教师可以随时随地辅导，增加了教学的灵活性和互动性。

完善学生线上学习的监督评价机制：①线上学习记录，包括观看视频、课件、互动话题讨论等，作为平时成绩的一部分，让学生意识到线上学习的重要性；②作业形式的多样化（包括书面作业、视频作业、开放课题小组讨论等），丰富学生的视野，提高学生学习的积极性，增强学生的各种能力；③通过引导学生参与作业互评，让学生取长补短，加深理解，发现自身的优缺点，拓展自己的知识，延申看问题的角度。同时，督促学生进行线上课前测试及预习，及时了解学生的预习情况，增强学生的自主学习能力。总之，在有限的时间内，整合线上线下课程资源，针对每节课的教学任务和目标，实施精心选择课堂例题和课后习题为核心的探究式、交互式、混合式等多种激发学生学习动力的教学模式。

2.3 优化教学内容，提高学生综合能力

著名教育学家蔡元培先生说过“教育者，养成人性之事业也”，作为一名教师，不仅仅是知识和技能的灌输者，更应该培养他们独立人格、自由意志和创新能力，树立正确的“三观”，真正做到教书育人。因此，在离散数学的教学中，充分发掘所蕴藏的数学思想、内涵和方法，锻炼学生的数学思维、逻辑思维以及计算思维；自然融入课程思政元素，达到立德树人的目的；针对那些与前继及后续相关的章节部分，增设实践或上机环节，促使学生动手实践，构建合理的数学模型，达到学以致用，解决实际问题的能力；构建“重能力—全过程—多元化”的考核评价体系，避免“一锤定音”，让学生积极参与课堂，及时发现不足，最大限度地提升学生的综合能力。

（1）数学思想和数学方法是数学的本质，教学中数学思想的熏陶有助于提高学生的抽象概括能力以及数学思维能力。离散数学作为一门计算机类数学课程，如何将其特有的数学思想如类比、逆向、化归转化、数形结合等思想有效地贯穿到离散数学的教学过程，需要教师“站得高，看得远”，使得课堂教学“有深度，有广度”，能够启迪学生，达到举一反三，以点带面，发掘其内涵和外延。比如，在讲解代数系统单元群的消去律时，不只需要讲授如何证明消去律，更需要学生回顾诸如利用加法运算的消去律解方程、可逆矩阵计算矩阵方程等相关知识点，引导学生抽象、提炼并升华成一般定理，从而在更广阔的领域使用。

（2）融入课程思政元素，给予学生正确的人生导向，增强学生的认知能力和系统思维能力，培养学生的创造力和开拓精神。公徐路[8]指出思政元素融入离散数学教学的必要性和可行性，并给出了几种不同的实施途径。但在离散数学的教学过程中，如何恰当融入思政元素，达到“如盐入水，润物无声”的效果并非易事。否则，仅有思政而不相关，就会出现课堂脱节，达不到预想的育人效果。这就要求授课教师必须精心设计和准备，搜集资料，穿插自然。为此，本离散数学教研组的教师们定期进行研讨，探索如何挖掘离散数学课程中的思政元素，何时插入以及以何种方式融入教学过程等，避免“重形式轻效果”。比如，在讲授图论单元欧拉图时，引入“Konigsberg七桥问题”，让学生体会到大科学家欧拉从这个简单生活实例抽象到一般的图论问题，从而开创了这个图论新的数学分支，同时通过欧拉图的学习引导学生解决旅游景点中路线的选择问题，将所学知识融入生活。

（3）增设实践教学环节。由于学时的限制，大多高校离散数学是没有实践教学环节的，这显然无法与应用型计算机专业人才的培养方案相匹配。学生若只抽象地学习课程知识，不利于前继和后续课程的联系，承上启下，容易造成课堂知识与生活实践相脱节，也容易使学生体会不到离散数学课程学习的趣味性和重要性。因而，打破原有的纯理论教学，在布置与章节对应的课内习题外，以前沿为导向，对那些与计算机课题相关的章节安排适量的课外练习，让学生结合所学知识，将其应用到相关的实践教学环节中，这可以通过数学建模、算法设计、代码上机编程等方式解决生产生活中的具体问题来实现，从而达到学生知识体系的系统化。以此为课程教学目标，让学生进行主动学习，培养其“发现—分析—解决”实际问题的能力。比如，在数理逻辑单元编程实现命题等值演算的上机实验；在集合论单元利用Warshall算法编程计算给定二元关系上的传递闭包；在代数结构单元编程实现基置换群的古典密码设计；在图论单元通过Huffman 算法解决信号传输的最佳前缀码问题以及Dijkstra标号法解决赋权图上两个给定点的最短路问题的上机实验等。

2.4 强调多元化考核方式

构建“重能力—全过程—多元化”的考核评价体系。利用Canvas平、学习通平台的学生学习行为数据统计功能，对学生的学习进行全过程评价。改变传统期末考试“一锤定音”的考核方程，这里学生最终学习成绩由五部分组成，可以更加全面地评价学生的整体学习情况，提高学生学习的参与度和积极性（见图2）。

图2 考核方式

3 结束语

以适应教育部“新工科”及培养“应用型人才”的发展需求，通过对离散数学课程实施重知识与能力为教学目标，采取线上线下相结合的教学模式，融入课程思政于课堂，优化教学内容，注重理论与实践相结合，并强调多元化考核方式，使学生在掌握离散数学知识的基础上，数学思维和数学建模能力稳步提升，并能够利用所学知识解决与计算机专业紧密相关的实际应用问题，实现了教学深度和广度的逐步提升，促进了学生综合能力的提高，初步达到了教学改革的初衷。同时，在实际的教学过程中，对于不同专业的学生，还需采用不同的教学方案，精选不同的知识模块与思政元素，结合当前信息化教学手段，以此使得离散数学课程在新时代应用型人才培养中发挥重要的作用。