DS-CDMA下行链路多用户与扩频波形估计

解 辉，赵忠臣，刘利民，韩壮志，尹园威

（陆军工程大学石家庄校区 电子与光学工程系，河北 石家庄 050003）

0 引 言

直接序列扩频体制CDMA（DS-CDMA）信号具有截获概率低、保密性好、抗干扰性强等诸多优点，被广泛运用于移动通信、卫星通信和航天测控等军事保密通信领域。由于DS-CDMA信号功率低于噪声功率，对DSCDMA信号的非协作接收处理是电子侦察领域的一个热点研究问题，特别是多用户检测以及多用户扩频波形的盲估计成为DS-CDMA信号侦察处理领域的难点问题之一。

在对DS-CDMA信号的侦察作处理的过程中，由于其上行链路和下行链路信号具有不同的特点，因此也分两种情况进行研究。在DS-CDMA上行链路中，各用户信号扩频波形不同步，需要对信号分别进行盲同步以及扩频波形的逐个估计。在DS-CDMA下行链路中，各用户信号扩频波形同步，这使得信号盲同步相对简单，却增加了扩频波形估计的难度。因此更多研究集中于单用户扩频序列的估计上，对于多用户扩频波形估计，主要有基于信号子空间和最小二乘的多用户和扩频波形估计方法。但多用户扩频波形估计中的高维搜索方法计算量较大，本文利用Givens旋转将多用户波形估计的高维搜索问题转化为多次一维搜索，并给出了Givens旋转的优化判据，降低算法计算量，实现在较低信噪比条件下，估计多个用户的扩频波形。

1 信号模型及假设

DS-SS信号实现扩频和码分多址是通过将扩频序列与发射信息相乘实现的，文中采用如下符号描述短码扩频DS-CDMA信号：

()表示发射机与信道响应滤波器和接收机滤波器的卷积；{c=±1,=0,1,…,-1}表示第个用户的扩频码序列，为扩频码序列长度；T为符号周期，对于短码扩频信号符号周期等于扩频周期。

h()为第个用户完整的一个扩频序列周期基带信号与通信链路中包括发射机、信道响应和接收机等所有滤波器的卷积：

式中：γ为第个用户的信号功率；{a=±1,∈Z}为第个用户的信息符号序列，其服从等概率随机分布。

根据以上符号和约定，N个用户短码扩频DSCDMA信号模型为：

接收机输出信号为：

式中()为功率谱密度为的高斯白噪声。将()采样可得DS-CDMA多用户的数字信号模型表示为：

式中N表示单个扩频周期内的采样数。

设DS-CDMA信号已经完成了盲同步，用向量y表示第个扩频周期内的采样数据，则对于第个周期的观测数据可以表示为：

式中：A=[,,…,a]为各用户信息码的信息向量；h为第个用户扩频波形的向量表示；[…h]为扩频波形矩阵。

2 算法原理

2.1 信号子空间分析

定义协方差矩阵：

式中：{·}为数学期望；H为矩阵的共轭转置。

对式（6）的协方差矩阵进行特征值分解，可分别获得信号和噪声子空间：

式中，[U U]为酉矩阵，其中的行向量为矩阵的特征向量。其中，U中含有N个向量，该向量张成信号的子空间，分别对应N个比较大的特征值；向量含有N-N个向量，对应N-N个较小特征值，该向量张成了噪声子空间，并且与信号子空间正交。本文将利用U实现DS-CDMA多用户扩频波形的盲估计。

将式（5）代入式（6），考虑到各用户信息序列互不相关，可得：

又因各用户扩频波形不相关，即中各向量正交，则将式（8）两边同乘以h得：

式中：h是的特征向量，对应特征值为‖h‖+；其他特征向量对应的特征值为。

由此可见，协方差矩阵具有N个较大特征值，对应特征向量为信号扩频波形，即通过协方差矩阵的特征值分解可以获得信号子空间，并且可以根据特征值的大小估计观测信号的用户数。

由以上可知，中的向量也是的特征向量，即与U张成了同一个信号子空间，并且和U各自的内部组成向量相互正交，即它们分别构成了信号子空间的两组正交基。通常情况下，尤其是各用户功率相差不大时，该空间的2组基与U并不一致，但和U都同为信号子空间的完备正交基，其通过线性变换后是等价的，即：

由于U和都是标准正交的，易知中向量也是正交的，即：

由此可见，只要求得线性变换矩阵就可以由协方差矩阵的特征值分解求得各用户的扩频波形。下面将分析如何求混合矩阵，从而实现各用户的扩频波形的估计。

2.2 基于空间旋转的扩频波形估计

为了方便分析，此处暂不估计扩频波形的幅度，即中向量为归一化向量，则矩阵中的向量满足式（11）。信号幅度可以在估计归一化波形后用估计的归一化波形与原始观测信号进行估计。

利用多维搜索的方法可以求解式（10）获得和的估计，其搜索计算量为K，为空间中每一维的搜索点数，显然搜索计算量随用户N指数增加，因此该方法难以在实际系统中广泛应用。

多维搜索的方法是一种空间旋转搜索的思想，其基本依据是二维空间的2组标准正交基可以通过一维旋转实现基向量的重合（或反向）。实际上，高维空间中的任意2组标准正交基也可以通过多次旋转达到两2组基中向量同向（或反向）。本文将利用Givens旋转方法估计混合矩阵和。

定义如下旋转矩阵(,,θ)：

容易验证旋转矩阵(,,θ)为正交矩阵。若将Givens旋转用于给定向量=[,,…,x]，则元素xx通过角度θ被旋转，而其他元素不变，即：

在多用户的情况下，直接求对应式（14）的θ值存在很大困难，本文将采取搜索不同的θ值使得某检测量达到最优，即通过选取一个优化判据并使之达到极值求θ。下面先说明本文使用Givens旋转的过程，然后分析优化判据的选择以及θ的确定方法。

对U中任意2个向量u，u作如下旋转：

当把U中所有(N(N-1))2对向量都进行旋转，称之为“一轮扫描”。但只进行一轮扫描并不能获得，因为在旋转过程中序号为，的向量会被重复使用，因此后续的旋转可能对前面的旋转造成影响。所以扫描过程需要反复进行，直至收敛。于是得到Givens旋转的一个递推算法，详细描述如下：

Ste p1：完成一轮扫描

对所有(N(N-1))2对向量依次进行如下变换：

1）对于1≤＜≤N，计算旋转角θ，使得优化判据达到极值。

2）如果得到的||θ＞，则对向量u，u按式（15）进行旋转；否则保持不变，其中为预设阈值。

Step2：重复扫描

重复Step1，直到完成一轮扫描时对各对u，u均不需要旋转。

经过以上递推过程得到的矢量U就是所需要的结果，同时有：即各次旋转矩阵(),,θ的乘积就是要求的混合矩阵。必是标准正交的，因为每个(),,θ都是标准正交的。需要说明的是，上述过程得到中向量的顺序由决定。

通过以上分析可以得到本文算法的具体工作流程：

Step1：对观测数据进行同步后，估计其协方差矩阵；

Step2：对协方差矩阵进行特征值分解，根据较大特征值的数量估计用户数；

Step3：获得信号子空间的基U；

Step4：根据信号子空间，通过递推Givens旋转估计。

3 优化判据及旋转角的确定

根据以上分析，本文Givens旋转的目的是使得U中的向量通过旋转与中对应向量同向（或反向）。设u，u为U中任意2个向量，中所有向量在平面span{u，u}内的投影为向量，且向量在平面span{u，u}上可以分解为2个正交且模相等的向量，。

对于一次旋转可以选择如下优化判据：选择合适的θ使得旋转后的向量u，u与，同向（或反向）。如此旋转的依据是，当旋转结束时U中的基u，u与中的向量最接近——内积最大（或最小），如图1所示。

图1 一次Givens旋转示意图

由上面的假设及图1可知：

式中ρ，ρ为比例常数，使得u，u的模等于1。

式中“⊙”为向量点积，即2个向量的对应位相乘。

将式（17）代入式（18）可得：

显然，当u，u在平面内旋转时，中所有向量在span{u，u}中的投影保持不变，即‖⊙‖为常数，且当，确定时ρ，ρ也为常数，则有：

对ℜ()求导得：

4 仿真分析

：算法流程及结果仿真

为便于显示，此处采用BPSK调制的基带信号。假设用户数为4，分别采用63位的m序列、Gold序列（2个用户）和随机序列作为扩频码，信噪比为-5 dB。信号带宽为1 MHz，采样频率为5 MHz，截取200个扩频周期作为观测数据。

对观测数据的协方差矩阵进行特征分解，得到如图2所示的特征值分布情况。可以看出有5个特征值幅度明显高于其他特征值，得到用户数估计为5。

图2 协方差矩阵特征值

图3给出了某次搜索过程中式（17）所示优化判据的变化，以及旋转角度的确定。

图3 优化判据及旋转角的确定

图4给出了经过Givens旋转算法后的波形估计结果，图4a）为最大特征值对应的特征向量，图4b）和图4c）为经过Givens旋转后的扩频波形估计结果，图中只给出了2个用户的波形。可以看出，本文算法对多用户扩频波形估计的有效性。

图4 Givens旋转前后波形估计结果

Givens旋转的扫描次数仿真

仿真中用户扩频码为127位的Gold序列、m序列和随机序列，采样频率与码片速率都为1 MHz，其他参数与仿真1相同。扫描停止门限=0.05 rad，Monte Carlo仿真次数为100次。图5给出了1～10个用户时的平均重复扫描次数，图6给出了重复扫描次数的标准差。

图5 不同用户数时的平均搜索次数

图6 不同用户数时的搜索次数标准差

需要说明的是，仿真结果显示重复扫描次数几乎与扩频周期长度无关，因此此处不再单独给出不同扩频周期时的仿真结果。

算法性能仿真

此处采用真实信号波形向量与估计波形向量夹角的余弦作为波形估计的性能，即定义第个用户的估计波形与真实扩频波形相似度为：

仿真中用户扩频码为511位的Gold序列、m序列和随机序列，其他参数设置与仿真2相同，Monte Carlo仿真次数为100次。在不同信噪比条件下，本文算法估计结果与真实扩频波形的相似度如图7所示。当用户数越少、信噪比越高，算法估计性能越好，当信噪比优于-10 dB且用户数小于10时，估计波形的相似度超过0.95。

图7 不同信噪比下波形估计相似度

5 结 语

本文针对DS-CDMA下行链路多用户扩频波形的估计问题，提出了一种基于信号子空间Givens旋转的估计方法，通过对观测数据的协方差矩阵进行特征分解，根据特征值分布情况估计用户数，进而对信号子空间进行Givens旋转，估计各用户的扩频波形。同时，本文给出了信号子空间Givens旋转的优化检测量，理论分析和仿真均表明Givens旋转搜索计算量远小于高维搜索计算量。算法性能仿真表明，当信噪比优于-10 dB且用户数小于10时，本文算法估计波形的相似度超过0.95。