对一道解三角形求取值范围问题的思考*

2022-11-14 19:02吕佳峻山东省平度市第九中学2020级4班266700指导教师姜尚鹏
中学数学 2022年6期
关键词:锐角正弦高考题

吕佳峻 (山东省平度市第九中学2020级4班 266700) 指导教师 姜尚鹏

1 问题提出

近期做了一道有关解三角形的高考题,题目如下:

题目1

(2020年浙江卷18题)在锐角△

ABC

中,角

A

,

B

,

C

的对边分别为

a

,

b

,

c

,且(1)求角

B

;(2)求cos

A

+cos

B

+cos

C

的取值范围.第(1)题求角

B

,条件中只给了一个等式,那么我们就要把这个等式化简,通常有两种方法:一是全部化成边,二是全部化成角.而这道题很明显,采用化角的方法,把等式中的边全部通过正弦定理化成角的正弦的形式,化简后得出因为题目中说是锐角△

ABC

,所以角第(2)题,因为知道了角

B

,实际上就是求cos

A

+cos

C.

对于双变量问题,我们习惯化成单变量问题解决,这样这个题的关键就是怎样把两个角化成一个角.cos

A

可以化成cos(π-

B

-

C

),再通过诱导公式化简,因为角

B

在第(1)题已经求出,所以原式就转化成了只含一个变量的式子,又因为三角形是锐角△

ABC

,即三个角都是锐角,所以可求出角

C

的取值范围,进而求出原式的取值范围.

下面是解答过程.

(1)由结合正弦定理,可得所以因为△

ABC

为锐角三角形,故(2)结合(1)的结论,有cos

A

+cos

B

+由可得所以则故即cos

A

+cos

B

+cos

C

的取值范围是

这道题目的解答比较常规,也没有什么特别难的地方,但研究高考题关键是从高考题中总结出高考题考查的方向,从而为迎接后面的高考做准备,所以我对这道高考题进行了深入的思考.

2 几点思考

2.1 从三角函数的名称角度进行变式

思考1 既然高考题可以考查两个角余弦的和的取值范围,那是不是也可以考查两个角正弦的和的取值范围呢?

题目2

在锐角△

ABC

中,已知角求sin

A

+sin

C

的取值范围.

sin

A

+sin

C

=sin(

B

+

C

)+sin

C

=后面只需要根据角

C

的取值范围求解即可,不再详细解答.

2.2 从三角函数的运算角度进行变式

思考2 既然可以考查两个角正弦的和的取值范围,那是不是也可以考查它们的差、积、商的取值范围呢?

题目3

在锐角△

ABC

中,已知角求sin

A

-sin

C

的取值范围.

解析下略.

题目4

在锐角△

ABC

中,已知角求sin

A

sin

C

的取值范围.

解析下略.

题目5

在锐角△

ABC

中,已知角求的取值范围.

解析下略.

通过搜集其他高考题发现,题目5的类型确实在2019年全国统一高考数学试卷(新课标III文)考查过,题目如下:

ABC

的内角

A

,

B

,

C

的对边分别为

a

,

b

,

c

,已知(1)求

B

;(2)若△

ABC

为锐角三角形,且

c

=1,求△

ABC

面积的取值范围.

(1)略,可求得(2)由正弦定理得由三角形面积公式有因为△

ABC

是锐角三角形,由(1)知得到故即解得故故即故

S

的取值范围是

第(2)题的解答过程是不是与题目5的解答惊人地相似?心中油然而生一种自豪感,原来我也可以命制高考题了.

2.3 从三角形中边的角度进行变式

思考3 三角形的元素分为角和边,前面主要都是求角的正弦或余弦的取值范围,那么是不是也可以求边的取值范围呢?

题目6

在△

ABC

中,已知角求

a

+

c

的取值范围.方法1 我们可以用化角的方法转化成我们熟悉的题目后面只需要根据角

C

的取值范围求解即可,不再详细解答.方法2 由于求的是两个变量的和的取值范围,所以还可以考虑利用基本不等式求解.因为所以

ac

=

a

+

c

-9,故从而

a

+

c

≤6.因为

a

+

c

>

b

=3,所以

a

+

c

∈(3,6].

思考4 三角形内角的三角函数之间可以通过加减乘除求取值范围,那三角形的边是不是也可以通过加减乘除求取值范围呢?下面让我们来研究一下吧!

题目7

在△

ABC

中,已知角求

a

-

c

的取值范围.

题目8

在△

ABC

中,已知角求

ac

的取值范围.

题目9

在△

ABC

中,已知角求的取值范围.

题目7—9很显然都可以化成边对应角的正弦求解,转化成前面熟悉的问题,对于题目8还可以用基本不等式求解.

2.4 从三角形中边的几何意义进行变式

思考5 由题目1我发现,命题老师没有简单考查cos

A

+cos

C

的取值范围,而是考查了cos

A

+cos

B

+cos

C

的取值范围,所以我想题目6考查

a

+

c

的取值范围,是不是也可以考查

a

+

b

+

c

的取值范围呢?这样的好处是三条边的和有几何意义,可以直接说求△

ABC

的周长的取值范围.

题目10

在△

ABC

中,已知角求△

ABC

周长的取值范围.思考6 同样,对于求

ac

的取值范围,也可以赋予这个式子几何意义,改成求△

ABC

面积的取值范围.

题目11

在△

ABC

中,已知角求△

ABC

面积的取值范围.

思考7 既然有些式子是有相应的几何意义的,那是不是可以借助于几何意义解题呢?

对于题目11,可以把

ac

转化成角的正弦,即对求解取值范围,也可以直接利用基本不等式求解,实际上还可以采用数形结合的思想利用几何意义进行求解:是一个定值,而

R

是三角形外接圆的半径,我们就可以把三角形的外接圆画出来,把边

b

当成底,当边

b

上的高最大时,△

ABC

的面积最大.显然,边

b

上的高过圆心时最大,即此时△

ABC

的面积最大,当边

b

上的高为0时,△

ABC

的面积最小.关于求△

ABC

周长和面积的取值范围也是高考命题的热点,原来出题老师是经历了这样的一个过程才命制出来的,不得不佩服,出题老师真的是煞费苦心了.

这样,就可以总结出解三角形中求取值范围问题的解决策略:(1)化角——转化为一元函数求取值范围;(2)化边——结合基本不等式求取值范围;(3)化形——利用数形结合思想求取值范围.

3 结束语

通过这次对高考题深入的思考,我发现自己对解三角形知识的认知更上一层楼,并且发现原来高考题不是随便命制出来的,也是有一定的命制原则的.当我们能从数学的思维和逻辑出发,对高考题多思考一下,说不定我们也可以命制出高考题.同时,我也发现命制一道高考题凝聚了命题人的心血,因此,在后面的数学学习生活中,我会用更加认真的态度来对待数学,并怀着崇敬的心情求解数学题.

指导教师点评:

吕佳峻同学的这篇文章,从学生的视角给我们展现了对于一道高考题,可以从哪些角度进行思考.他先从简单的变换角的三角函数名入手进行变式,之后上升到运算的变式,再之后由角过渡到边的变式,最后又赋予了边的运算相应的几何意义进行变式,整个思维过程层层深入,思考也越来越有深度,很好地展现了一位高中生良好的数学素养.同时关于求解解三角形中取值范围问题的解决策略也是不断地增加,从最初的“化角”,到中间的“化边”,到最后的“化形”,解法不断完善.题目的不断变式,体现了吕佳峻同学掌握知识的广度和思考问题的深度;解法的不断完善,体现了吕佳峻同学解决问题能力的厚度,这篇文章为高中生如何思考数学问题提供了范例,值得借鉴.

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