顺“思”而为 借“思”而上——三个数学案例的实录、评析和思考*

章祥俊 (江苏省苏州吴县中学 215129)

近年来，数学课堂的变化是巨大的，课堂教学过程中的问题驱动、活动引领、任务驱动、项目学习、单元设计等已经成为趋势．课堂教学中，以学生为中心，关注学生动手实践、自主探究、合作交流、问题解决等已经成为常态．课堂教学中，我们应更多地关注学生的自主空间，关注学生的主动学习，关注学生的主体意识，实现学生的自我价值，激发学生的学习动力，顺势而为，借思而上，引导学生深度思考，促进学生学会学习．本文拟结合三个案例具体谈一谈．

1 顺“思”而为，引发自主探究，促进学生主动学习

案例1

求函数

f

(

x

)=

x

-2

x

-3，

x

∈

R

的最小值．生：因为

f

(

x

)=

x

-2

x

-3=(

x

-1)-4，所以函数

f

(

x

)的最小值为

f

(1)=-4．

设计问题 以二次函数为背景，请你命制一道求函数最值的题目．

生1：求函数

f

(

x

)=

x

-2

x

-3，

x

∈[2,3]的最小值．生2：求函数

f

(

x

)=

x

-2

x

-3，

x

∈(2,3)的最小值．生3：求函数

f

(

x

)=

x

-2

x

-

a

，

x

∈[2,3]，

a

∈

R

的最小值．生4：求函数

f

(

x

)=

x

-

ax

-3，

x

∈[2,3]，

a

∈

R

的最小值．生5：求函数

f

(

x

)=

ax

-2

x

-3，

x

∈[2,3]，

a

∈

R

的最小值．生6：求函数

f

(

x

)=

x

-2

x

-3，

x

∈[

a

-1,

a

+1]，

a

∈

R

的最小值．生7：求函数

f

(

x

)=

ax

-2

ax

-3，

x

∈[2,3]，

a

∈

R

的最小值．生8：求函数

f

(

x

)=

ax

-

bx

+

c

，

x

∈[

m

,

n

]，

a

,

b

,

c

,

m

,

n

∈

R

的最小值．

评析和思考

以二次函数为背景的函数最值问题是高一数学学习中一个重点内容．教师在进行教学设计时，将预设的题目变为引导学生自行研究、小组讨论、解题和归纳的开放题，让学生自己命制求函数最值的题目，顺着第一个学生的思维，组织学生进行自编活动，共编制出8个变式题.通过这样顺“思”而为的活动引导学生主动思考与探究，思维层层递进，将二次函数从“定轴定区间”的研究自然深入到“动轴定区间”“定轴动区间”“动轴动区间”的研究．在这样的过程中，学生的思维因问题的开放性和探究性而激活，教学效果必然好很多，同时，这样处理极大地调动了学生的积极性和主动性．从培养学生数学观念的角度看，这样的过程可以培养学生在一定的数学情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系，积累从特殊到一般的活动经验、从静止到变化的函数思想方法，养成在日常学习和实践中从一般性角度思考问题的习惯，把握事物的本质，以简驭繁，运用数学思维思考并解决问题．顺“思”而为激发了学生的主动学习，实现了学生的思维升华，提升了学生核心素养发展，促进了学生的主动学习．

2 借“思”而上，探究知识本质，促进学生乐于学习

案例2

等比数列前

n

项和

S

=

a

+

a

q

+

a

q

+…+

a

q

-1公式的推导．生1：提取公因数

a

．

生2：倒序加？倒序乘？

生3：特殊化，令

S

=1+2+2+…+2-1，猜想

S

=

q

-1．生4：令

S

=1+3+3+…+3-1，那么刚才的猜想不成立，应猜想生5：令

S

=1+4+4+…+4-1，那么刚才的猜想也不成立，应猜想生6：当公比为

q

时，应该是此时公比应该不能是1．生7：要证即证

S

(

q

-1)=

q

-1，也就是证

qS

-

S

=

q

-1．此时因为

qS

=

q

+

q

+

q

+…+

q

，

S

=1+

q

+

q

+…+

q

-1，两式相减即可证得．又因为首项为

a

，所以

评析和思考

很多教师在推导等比数列前

n

项和公式时将“错位相减法”硬塞给学生，学生表面上听懂了，但他们心中的“惑”由谁人来解？学生是在多次操练下似懂非懂地练“会”了，这是真的会了吗？他们理解为什么这样推导吗？学生对错位相减法的道理感觉云里雾里，整个学习处于被动的状态．

在讲授该内容时，笔者曾遇到这样的情景：先问学生如何进行推导，得到的回复是“我不会”，也有回答“错位相减法”的、再追问时得到的回答是“课本上就是这样”，然后顺着学生的回答讲授该方法，学生也就被动地听之．直到两年前，同样讲授该内容时，遇到一个“固执”的学生追问“为何如此推导”，且有不达目的不罢休之势，借着这位学生的“思”引导全班学生共同思考、探究，把顺势和借思的时间给足学生，终得上述案例2．

笔者曾做过多次调查，让高三的学生证明课本中一些定理、公式时，能证明或推导出的学生寥寥无几．课程改革致力于培养学生的核心素养、关键能力和终身学习的学习力，其出发点和根本目的是完全正确的，但是在教学实践中很多教师还是“新瓶装旧酒”，教学中仅仅关注“是什么”而忽视“为什么”，这不得不令人深思．实际教学中，我们完全可以把课堂真正让给学生，把思考的时间和机会留给学生，让学生借“思”而上.通过自己的理解和与同伴的交流讨论，学生一定能理解“错位相减法”的本质，其学习的兴趣也就自然被激发出来了．

3 因“思”利导，提升思维品质，促进学生深度学习

案例3

已知正实数

a

,

b

满足求3

a

+2

b

的最小值．

生1：消元法，所以只是继续处理有难度，应该有更好的思路解决这道题目．我再想一想．

生2：换元法，令

m

=

a

+

b

>0，

n

=

a

-

b

>0，题目转化为：已知求的最小值．而拆开后用基本不等式解决，3

a

+2

b

的最小值为生3：这个思路很好，但取不到等号，所以3

a

+2

b

的最小值肯定不是生4：令则由

f

(

x

)=在(1,+∞)上递增，解得

f

(

x

)=

f

(1)=6，所以3

a

+2

b

的最小值为6．生5：也不对！因为当

x

=1时，

m

=

n

，即

a

+

b

=

a

-

b

，于是

b

=0，与已知条件矛盾．生6：可以借助图象解释原因可以转化为(

a

-1)-

b

=1(

a

,

b

>0)，对应的图象为双曲线在第一象限的部分，所以

a

=1不可能成立．我认为本题没有最小值．生7：可以将题目改为求3

a

+2

b

的取值范围．生8：也可以改为：已知正实数

a

,

b

满足求3

a

-2

b

的最小值．利用线性规划，在直线与双曲线(第一象限)相切时取得最值．

评析和思考

在该案例中，从高考常考的多元最值问题出发，引导学生对问题进行多维的探究与反思，思维在交流碰撞中提升，真正理解了问题的处理方法．学生经历由通性通法研究到错误引发的思维过程，再到找到原因、变式研究，有效地巩固了数学知识、训练了解题方法、提升了解题技能、渗透了数学思想方法、提高了探究能力，这就是培养学生核心素养和关键能力的有效途径．高中数学知识方法千万条，但数学理解是第一条．课堂教学应立足于学生的“最近发展区”，以学生的眼光组织开展数学教学，最大限度地促使学生学会数学思考，提高数学思维的参与度．

4 结语

在课堂教学中，我们不能只“授业”，而不“解惑”；不能只训练方法，而忽视能力的提升；不能只关注远方，而忽略了脚下行走的路；不能只关注“正确的”，还要多关注那些“错误的”；不能“硬塞给”学生，而应该吸引他们“过来拿”；不能将“台阶”都铺设好，而应该让学生自己搭建阶梯；不能只关注课前预设，更需要注重课堂生成，顺“思”而为，借“思”而上，因“思”利导，真正促进学生学会学习．