课本题：开展数学探究活动的切入点——以苏教版教材《数列》一道习题为例*

徐爱勇 (江苏省江浦高级中学 211800)

数学教育家弗赖登塔尔曾说：学习数学唯一正确的方法是让学生进行“再创造”.即数学知识应由学生自己去发现或创造，教师的任务是帮助和引导学生进行“再创造”工作，而不是把现成的知识灌输给学生，这与新课程所倡导的探究活动的理念是一致的.课本是学生学习的最重要的课程资源，其中的阅读、思考、探究、例习题等都是编者从学科整体的角度出发，经过精心挑选编写出来的，符合学生的认知特征，是开展数学探究活动的极好素材.

如《普通高中教科书·数学选择性必修第一册》(苏教版)第四章《数列》第3节习题4.3第13题，笔者以此作为开展数学探究活动的切入点，尝试从“由已知到已知”“由已知到未知”“由未知到已知”“由未知到未知”等四个方面开展探究，从而达到对“数列求和”的深度学习，努力构建“课堂上如何开展数学探究活动”的操作范式，激发了学生学习数学的兴趣.现将笔者的教学实践过程整理出来，以期抛砖引玉.

问题

(苏教版选择性必修第一册第156页习题4.3第13题)求和：

S

=1+2

x

+3

x

+…+

nx

-1.

1 由已知到已知

数学探究活动最原始的形式是“由已知到已知”.所谓“由已知到已知”，是指探究的结果或方法可以直接从已有的结果或方法中得到，最常见的手段就是模仿或类比.

师：我们曾着重研究过等比数列相关问题，同学们还记得等比数列的求和公式是如何推导出来的吗？

生1(学生回答，教师板演)：利用“错位相减法”求和！

设

S

=

a

+

a

q

+

a

q

+…+

a

q

-1①，则

qS

=

a

q

+

a

q

+

a

q

+…+

a

q

②，由①-②，得(1-

q

)

S

=

a

-

a

q

,则当

q

≠1时，当

q

=1时，

S

=

na

.

师：很好！再想一想，如何解这道题呢？

生2(板演)：当

x

=0时，

S

=1；当

x

=1时，当

x

≠1时，

S

=1+2

x

+3

x

+…+

nx

-1①,

xS

=

x

+2

x

+3

x

+…+

nx

②，由①-②，得(1-

x

)

S

=1+

x

+

x

+…+

x

-1-

nx

，即

师：能谈谈你是怎么想到的吗？

生2(在教师的引导下)：当一个数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的积时，可以用“错位相减法”求和.

师：很好！这是一种“由已知到已知”的数学探究活动,它是在我们能够识别数列通项结构的基础上的解题模仿活动.

2 由已知到未知

通常情况下，在利用“错位相减法”求解完这道题以后，解题探究活动也随之结束了.虽然学生知道数列求和还有“分组求和”“裂项相消”等方法，但觉得这些方法在这里压根就用不上，因此也就不会去思考这一问题.此时就进入了数学探究活动的第二层级，即“由已知到未知”.所谓“由已知到未知”是指学生以往掌握的知识或方法在新的条件下不再有效，或者说探究从原有条件下的“已知”变成了新条件下的“未知”问题.这种情况是数学探究活动中经常遇到的现象，面对这种现象往往需要对原有的条件或结论进行变形、推广、引申，从而产生新结论或新方法.从心理学角度来看，就是通过顺应将旧知识适当改变以后再纳入新知识的体系当中.

师：我们知道数列求和有很多方法，例如课本第167页第11题：求数列的前

n

项的和，应采用什么方法？

生3：用“裂项相消法”求和！

师：“裂项相消法”本质是把数列的通项分解为另一个数列的相邻两项的差，即表示成

a

=

b

-

b

-1(

n

≥2，

n

∈

N

).那么，能否用这种方法来解决这道题呢？

师：不妨先研究这里的特殊情况(课本第156页第12题)：

求和：

生4(分组讨论，学生板演)：令比较系数，得

k

=

b

=-2，则生5(分组讨论，学生板演)：令

nx

-1=(

kn

+

b

)

x

-[

k

(

n

-1)+

b

]

x

-1=[

k

(

x

-1)

n

+

k

+(

x

-1)

b

]

x

-1，比较系数，得因此

师：这是一种典型的从“已知”到“未知”的探究性学习活动.我们从运算规则的层面考察“错位相减法”与“裂项相消法”之间的关联，其实质都是将不规则的运算转化为规则的运算.

3 由未知到已知

相比“由已知到已知”和“由已知到未知”，数学探究活动中更难的是“由未知到已知”.所谓“由未知到已知”，就是在探究的结论或方法是学生先前未知的情况下探究新的知识.由于学生先前没有任何这方面的经验或知识积累，这种探究就更困难，同时也更具有挑战性.遇到这种情况，往往需要通过对知识内核进行挖掘探究.本节课中，学生通过“错位相减法”和“裂项相消法”解决本题以后，一般都认为已经很完美了，没有什么内容再需要探究了.但如果从数学知识的内在本质再去挖掘，我们或许还会有新的发现.这种发现对于学生来说是先前未知的，因此是一种“由未知到已知”的探究活动.

师：我们对数列求和的一些方法进行化归，将不规则的运算转化为规则的运算.如果我们能跳出数列的框架束缚，在所学的其他知识板块中，能否联想到一些“结构相似点”？

生6(分组讨论，学生板演)：因为所以1+2

x

+3

x

+…+

nx

-1=师：这是一次“由未知到已知”的精彩演绎，通过构造函数

f

(

x

)=

x

，利用导数来解决数列求和问题.这样的解法太富有创造性了!

4 由未知到未知

“由未知到未知”是数学探究活动的最高境界.所谓“由未知到未知”，是指学生在掌握了类比这一探究方法以后，能自觉地寻找探究课题，或将类比方法应用到自己碰到的新问题、新情境当中.比如，本节课学习后，若学生主动探究以下问题，就达到了“由未知到未知”这一最高境界.

问题1

(苏教版选择性必修第一册第168页第14题)利用等比数列的前

n

项和公式证明：

问题2

(苏教版选择性必修第一册第188页求导公式8)求函数

f

(

x

)=

x

的导数.

解析

因为

=,

所以

即

f

′(

x

)=

nx

-1(

n

∈

N

).

问题3

(2007年江苏高考卷第20题)已知{

a

}是等差数列，{

b

}是公比为

q

的等比数列，

a

=

b

，

a

=

b

≠

a

，记

S

为数列{

b

}的前

n

项和.(1)若

b

=

a

(

m

,

k

是大于2的正整数，求证：

S

-1=(

m

-1)

a

.(2)

b

=

a

(

i

是某一正整数)，求证：

q

是整数，且数列{

b

}中每一项都是数列{

a

}中的项.(3)是否存在这样的正数

q

，使等比数列{

b

}中有三项成等差数列？若存在，写出一个

q

的值，并加以说明；若不存在，请说明理由.

解析

仅探究第(2)问

.b

=

a

q

，

a

=

a

+(

i

-1)

a

(

q

-1)，由

b

=

a

，得

q

=1+(

i

-1)(

q

-1)，即

q

-(

i

-1)

q

+(

i

-2)=0，得

q

=1(舍)或

q

=

i

-2，则

q

=

i

-2∈

N

.设数列{

b

}中任意一项为

b

=

a

q

-1(

n

∈

N

)，{

a

}中的某一项

a

=

a

+(

m

-1)

a

(

q

-1),即证

b

=

a

，即

a

q

-1=

a

+

q

-2，则

m

=2+

q

+

q

+…+

q

-2∈

N

，获证.

在开展数学探究活动时，设置的问题应来源于课本且高于课本，应整体设计、分步实施探究活动，以实现“已知与未知”之间的转换，引导学生从类比模仿到自主创新、从局部实施到整体构想，积累发现和提出问题、分析和解决问题的经验，养成独立思考与合作交流的习惯.