最佳订购策略问题建模与分析

宋新乐 刘浩

摘要：最佳订购策略通常是指最优的订货间隔，最优的订货数量，最优的库存量。一个良好的订购策略通常可以帮助商家更好的经营。本文从数学建模分析的角度出发，试图根据实际情况给出一个较好的订购策略。

关键词：订货策略；销售机会；数学建模；泊松分布

1 问题描述

某公司计划在武汉沃尔玛超市营销旗下某种高档电子产品，这些超市的位置如图1所示，编号名称及预估需求件数分别为：1武汉宗关西汇分店铺4.1件，2南湖城市广场店铺3.2件，3武汉徐东大街分店铺5.0件，4光谷坐标城店铺4.0件，5武汉奥山店铺3.7件，6汉阳钟家村店鋪3.5件，7汉阳店铺2.3件，8菱角湖万达店铺2.1件。

公司要求制订各店铺的订购策略，给出每周期末检查商品库存量，当库存降为0或是少于一定件数时上报订购件数，公司在下一周期前调货送到各店铺。如果每批次进货费用100元，每售出一件商品收益700元，一个周期内不能售出时每件贮存费用100元，不计当周期内已售出的商品的贮存费用。

问题如下：

（1）为使每一周期利润最大，各店铺的订购策略应当如何制订？

（2）在以上订购策略下，失去销售机会的可能性有多大？

（3）如果在以上策略下，各店铺允许就近调货，每次调货费用为100元，则公司每周期的利润会增加多少？

2 问题求解

2.1 各店铺的订购策略

本部分所用到的数学符号及含义如下：  Q：每次订购的商品数；a：每周期的销量；t：两次订购商品的间隔周期；k：订购周期平均存储件数；n：每次订购费用；m：每件商品的利润；x：每件商品每周期的存贮费；y：每周期末的库存件数；z：每周期利润。

假设各店铺将从公司那里一次订购Q件商品，每周期的销售量为a。可以得到两次订购商品的间隔周期数为t：

假设商品在订购周期内是均匀销售的，在一个销售周期内，商品储存量在周期初为订购量Q，周期末为0，可以近似得出一个订购周期内商品的平均储存水平k为：

由于当期的存贮费用不计，实际存贮周期为（t-1），假设订购一次的费用为n，每件商品获利为m，每件商品每周期的存贮费为x，第i周期末的库存为yi，每周期利润为z，即可获得以下关系式：

为了便于叙述，以第一家店铺为例进行分析，初步化简z得：

将已知条件分别代入式（1）（2）（3）（4）并化简得：

由此可求得最大利润为：z=2872.5。

但注意到t只能取1，2，3，…，而z关于t的导数：

对于所有的店铺，由于a≥2，t只能取1，2，3，…，故小于0，为减函数，故取t=1，进而a=Q。

此时，z=700a-100=2770，Q取4.1。

显然，订购量须为整数，故取Q=4和Q=5时，对每周期利润z分别进行验证，即可以求得当进货量：Q=4件时，最大利润为z=2700。

依照此方法，分别对第2、3、5、6、7、8、9家店铺进行建模与计算，由结果可以得到最佳进货量，将此进货量作为每个周期初的目标库存量，可建立最佳订购策略，见表1。

3.2 失去销售机会的概率

本部分所用到的数学符号及含义如下：

λ：每周期售出商品均值；P：销售概率；K：每周期销售量；e：自然对数；l：每周期初库存；Pb：失去销售机会的概率。

由于每个店铺之间没有相互影响，每个周期的销售量也没有相互联系，可以认为销售量符合泊松分布。其概率函数为公式：

为了叙述方便，还是以第一家店铺为例进行分析，下文中只给出计算结果。将已知条件代入式7，将计算结果列入表2。

分析以上结果，可以得到，当需求量大于库存量时，即失去销售机会。对于第一家店铺来讲，此概率为：0.3907。即Pb=0.3907。

利用同样的方法对其他店铺进行计算，可得每个店铺失去销售机会的概率，将计算结果列入表3。

3.3 允许调货下的利润增加

本部分所用到的数学符号及含义如下：

Zi：第i家店铺增加的利润；n：调货所需花费；m：每件商品利润；P（i）：发生i情况的概率；Pij：第i家店铺销量为j时概率。

假设可以产生调货，须满足以下3个条件：

（1）店铺只能从距离最近的那个店铺调货；

（2）调货时，调出的店铺有货；

（3）需求件数小于等于调出店铺的库存。

通过求解每个店铺每周期可以增加的利润，即可求得公司每周期的利润的增加值。

首先根据地图，测量出每两个店铺之间的距离，测量结果分别见表4。为了简化计算，此距离只考虑直线距离，未考虑实际道路情况，在表4中给出相对距离大小。

根据测量分析，可建立调货关系的店铺在表4中用红色标出，可以得出调货关系为：（1，8）（2，7）（3，6）（5，2）（6，3）（7，8）（8，1）（9，1），为了分析方便，括号内表示前面编号的店铺可以从后面编号的店铺调货，而后面编号的店铺不可以从前面编号的店铺调货。同时，为了简化计算，只考虑一层调货关系。例如，店铺2从店铺7调货的同时，店铺7不因自己没货而从店铺8调货；店铺1在调货给8的同时，不再调货给同时缺货的9。

根据以上假设，有3.2计算的各个店铺顾客需求量的概率，可以建立每个店铺从对应店铺调货的关系式。为了叙述方便仍是以第一家店铺为例进行分析，其他店铺的分析计算方式仍是与第一家店铺分析计算方式相同，下文中只给出计算结果。对于第一家店铺武汉宗关西汇分店铺，将与其有关的店铺8和两家分别的订货量与销售量等已知条件列入表5，括号中为每周期初的库存量。

由于店铺1在每个周期初始时有4件商品，店铺8在每个周期初始时有3件商品，产生调货的情况是：

（1）店铺1需求量为5件，店铺8的需求量小于等于2件；

（2）店铺1需求量为6件，店铺8的需求量小于等于1件；

（3）店铺1需求量为7件，店铺8的需求量等于0件。

两家店铺相互独立，店铺中各个需求量之间也相互独立，故可用概率加法计算店铺8的需求量，用乘法计算以上三种情况发生的概率。通过以上三种情况的计算，可以得出增加的利润z，表达式如下：

代入表5中数据进行计算，可以得出z1=117.08。

表6表示每个店铺在允许调货的前提下所能增加的利润和利润的总和。

4 模型评价改进

本篇文章，从数学建模分析的角度出发，采用了较为简单的数学模型，采取了必要的简化措施，较为全面的解决了所提出的问题。

对第一问，只从局部即各家店铺的利润入手，利用所给的平均预估销售量作为参考量，列出了各家店铺的利润函数，得到了最佳订购量。将此订购量作为目标库存，建立了一个以每个周期初库存量为参考的最佳订购策略。第二问，同样是从局部即每家店铺进行分析，采用了泊松分布的模型，求出了失去销售机会的概率。第三问，对“就近”的问题做了较大的简化，结合第二问中给出的需求概率，得出了在简化分析的情况下各个店铺及其公司在每个周期利润的增加。

针对模型的评价和提出的不足，为了更贴合实际，更好的解决实际问题，在今后针对此类问题的建模与分析中可以提出以下改进建议：

（1）对需求量的预估，可以采取更灵活的模型，考虑销售实际中的动态变化更加准确的分析；

（2）对题目中的就近问题，可以进行更加贴近实际的考虑，例如，考虑实际路线的距离、店铺所处位置的交通情况等。对于调货问题，应该允许相互调货，还应允许店铺可以同时给多家店铺调货等；

（3）在模型中，应该从公司的整体出发，通盘考虑各个店铺，如在地理位置优越的地方，如店铺1、2，可以增加库存，以备其他店铺调货。

参考文献：

[1]陈光亭， 裘哲勇. 数学建模[M]. 高等教育出版社， 2014.

[2]同潔东. 鞋子零售商的最优订货策略数学建模研究[J]. 科技创业月刊， 2016， 29（6）：2.