微波布拉格衍射实验中异常峰值出现的原因分析

张一航,盖 磊

(1.中国海洋大学 海洋与大气学院,山东 青岛 266100；2.中国海洋大学 物理与光电工程学院，山东 青岛 266100)

1913年，布拉格父子在研究X射线在晶面上的反射时得到了著名的布拉格公式。自此之后，布拉格衍射在分析晶体结构等方面得到了广泛的应用[1,2]。微波同X射线一样也是电磁波，其波长相对较长，可以采用晶格常数为厘米量级的模拟晶体进行微波布拉格衍射实验，验证布拉格公式[3]。

使用(100)晶面进行布拉格实验，当入射角较大时，会出现数个不符合布拉格公式的异常峰值。由于微波本身并不是平面波，而是球面波，出射微波存在一定的张角，当入射角较大时，出射微波可能被接收喇叭直接接收到。据此分析，异常峰值的出现，可能为反射波与出射微波直接作用，发生干涉加强所致。为验证此分析，进行了理论推导，求得了出射微波能被直接接收的临界入射角，并在其约束下求得了异常峰值出现的理论角度值。

就此问题，已进行过的研究在求解临界角时只考虑了发射喇叭的张角[4]，未考虑接收喇叭的接收范围，这会使求得的临界角偏大、约束条件过于严格，不能解释实验中出现的所有异常峰值。文章在确定临界角时，综合考虑了发射喇叭和接收喇叭张角的影响，推算了更为精确的临界角，在其约束下，对实验中出现的所有异常峰值进行了解释。

1 实验条件

采用DH926B微波实验仪，(100)型模拟晶面阵的晶格常数d=4.0 cm，微波波长λ=3.303 cm。

用(100)型模拟晶面阵作为散射点阵面时，以60°为起始角度、以1°为间隔改变入射角φ，测量每一φ值对应的电流强度I[5]。

2 异常峰值产生的原理

2.1 原理综述

用发射喇叭直接发射出的微波干涉加强后能产生明显异常峰值的反射波有两种，一种是第一层晶面上的反射波，一种是第二层晶面上的反射波[4]。

第一层晶面上的反射波与发射喇叭直接发射的微波干涉加强产生的异常峰值的入射角为φ1，第二层晶面上的反射波与发射喇叭直接发射的微波干涉加强产生的异常峰值的入射角为φ2，发射喇叭射出的微波可不经反射直接被接收喇叭接收到的临界入射角为φ0。验证上述异常峰值成因分析的合理性，归结为验证在φ0的约束下，求得的φ1和φ2的理论值能否与实测中异常峰值出现的角度吻合。因此求解φ0、φ1、φ2是解决问题的关键。以下先求解φ0，然后在φ0的约束下，求解φ1、φ2的理论值。

2.2 φ0的求解

发射喇叭、接收喇叭的臂长分别为l1和l2，发射喇叭到接收喇叭的距离为l(l取决于入射角，是未知量)，发射喇叭、接收喇叭的张角为α(发射喇叭、接收喇叭同规格，张角相等)，接收喇叭的喇叭口宽为a。经测量得：l1=60.5 cm，l2=61.0 cm，α=40.0°，A=10.0 cm。在综合考虑发射喇叭和接收喇叭张角影响的情况下，接收喇叭能够直接接收到发射喇叭发射出的微波的临界状态如图1所示。

图1 临界状态

在图1中，AO=l1=60.5 cm，BO=l2=61.0 cm，CD=a/2=5 cm,AB=l，∠AOB=2φ0，∠OAC=∠OBC=α/2，由于∠OAC=∠OBC，故O、A、B、C四点共圆，从而有∠ACB=∠AOB=2φ0。

在ΔABC中，由正弦定理，有：

(1)

其中：

(2)

在ΔAOB中，由正弦定理，有：

(3)

在ΔAOB中，由余弦定理，有：

(4)

联立(1)(2)(3)(4)式解得临界角φ0=64.08°。

2.3 φ1的理论值

如图2所示，在图2中，AO=l1=60.5 cm，BO=l2=61.0 cm，AB=l，∠AOB=2φ1，取空气的折射率n=1[6,7]，并考虑微波在气体-固体界面上反射时的半波损失[8,9]，则第一层晶面的反射波与直接射出的微波的波程差：

图2 第一层晶面反射产生异常峰值的状态

(5)

由余弦定理：

(6)

当两微波波程差Δ1满足：

Δ1=kλ(k∈N)

(7)

时，两微波相干加强，将产生异常峰值。

记φij为φI在k=j时的解(i=1,2；j∈N)，联立(5)(6)(7)式，并考虑约束条件φ1>φ0，解得此情况下异常峰值的对应入射角为：φ10=80.54°(k=0)，φ11=73.58°(k=1)，φ12=68.75°(k=2)。其中约束条件φ1>φ0起到了控制k的取值的作用，在该条件的约束下，自然数k的最大取值为2。

2.4 φ2的理论值

如图3所示，在图3中，AO=l1=60.5 cm，BO=l2=61.0 cm，AB=l，∠AOB=2φ2，取空气的折射率n=1，并考虑微波在气体-固体界面上反射时的半波损失，则第二层晶面的反射波与直接射出的微波的波程差：

图3 第二层晶面反射产生异常峰值的状态

(8)

由余弦定理：

(9)

当两微波波程差Δ2满足：

Δ2=kλ(k∈N)(10)

时，两微波相干加强，将产生异常峰值。

联立(8)(9)(10)式，并考虑约束条件φ2>φ0，解得此情况下异常峰值的对应入射角为：φ20=83.59°(k=0)，φ21=76.93°(k=1)，φ22=72.20°(k=2)，φ23=68.31°(k=3)。其中约束条件φ2>φ0同样起控制k的取值的作用，在该条件的约束下，自然数k的最大取值为3。

3 实验结果与数据分析

将实验实测到的I、φ值绘制成I～φ曲线图(如图4所示)。为方便观察较小的数值，同时绘制出I～φ曲线在70°～77°范围内的局部放大图(如图5所示)。

φ/°

φ/°

由实验数据可知，实测中出现异常峰值的角度为：68°，72°，73°，76°，80°，84°。

前文理论推导中异常峰值出现的理论角度值总结表1和表2所示。

表1 第一层晶面反射产生的异常峰值

表2 第二层晶面反射产生的异常峰值

将实测数据中出现异常峰值的角度与表1、表2中出现异常峰值的理论值进行对比，可得表3。

表3 异常峰值出现的实际角度与理论角度的对比

可见，除68°处以外，在每一个异常峰出现的理论角度附近，都实测到了一个异常峰，异常峰值出现角度的实际值与理论值的最大误差也在1°以内，实测值和理论值基本可以吻合。

在68°处附近，异常峰值有两个理论解，但实测中仅在68°处测得一个异常峰值，这是因为当两个异常峰值出现的角度相差很小时，受实验仪器精度、环境干扰等因素的影响，测量时两个峰值可能会发生重叠[10，11]。由于在68°处测得的异常峰值与理论值φ23、φ12的误差均在1°以内，故68°处的实测值与理论值也基本可以吻合。

4 实验结论

综上所述，基于“发射喇叭直射的微波与反射微波发生干涉加强”这一分析推导得出的异常峰值出现角度的理论值与实际值基本吻合，其最大误差也在1°以内，实验测得的所有异常峰值均可以得到合理的解释，由此证明了微波布拉格衍射实验中的异常峰值正是由于发射微波是球面波，当入射角大于某一临界角时，接收喇叭不仅能接收到反射微波，还能接收到发射喇叭直接发出的微波，二者干涉加强所导致的。

值得指出的是，在推导临界入射角φ0的值时，同时考虑发射喇叭和接收喇叭的张角对充分解释实验中出现的所有异常峰值至关重要。若在推导时不考虑接收喇叭的张角，求得的φ0值将为71.08°，比考虑接收喇叭张角时求得的值明显偏大。求得的φ0偏大，会使求解φ1、φ2的约束条件更加严格，使得φ12、φ23两个理论解不满足方程的约束条件，致使68°处实测到的异常峰值无法得到合理的解释。因此，在分析异常峰值成因的过程中采用的综合考虑发射喇叭和接收喇叭张角计算临界入射角的方法具有一定的实际意义。