在《倍的认识》的教学中促使学生理解所学知识

◇尚仁宝（江苏：仪征市育才中心小学北区校）

为了学生的理解而教，是教师的教育追求。“理解”是数学课程标准中描述结果目标的一个行为动词，它是一种有意义的推断，具有可迁移性。杜威在《我们如何思考》一书中指出：“我们在教育中怎样强调概念理解的重要性都不过分。”学力课堂的创设指向学生高阶思维的培养，学生高阶思维的形成从会理解开始，到能够在体验中对知识进行建构。如何实现学生的理解、为理解而教？在阅读了《追求理解的教学设计》一书后，我就《倍的认识》一课的教学进行了思考与尝试。

《倍的认识》一课是苏教版小学数学三年级上册第一单元“两、三位数乘一位数”中的内容。教材编排了两道例题教学有关“倍”的含义以及倍数关系的问题，一道例题教学“倍”的概念，主要解决求一个数是另一个数几倍的问题，另一道例题主要解决求一个数的几倍是多少的问题。《倍的认识》一课主要教学第一道例题。倍数关系是数学里的一个基本数量关系，“倍”是学生学习相对数量比较的一个重要而又抽象的概念。“倍”在比较中产生，需要先确定一个标准量，再看另一个比较量里有多少个这样的标准量，就是标准量的几倍。“倍”的概念的建立，对学生以后学习分数、百分数、比等知识都起着重要作用。怎样让学生真正建立并理解“倍”的概念呢？

一、把握学情，为学生的“理解”奠定基础

美国教育心理学家奥苏伯尔曾经说过，影响教育心理学的因素纷繁复杂，如果要归结为一条原理和方法论，那么，我认为：影响学习的唯一最重要的因素，就是学习者已经知道了什么（对学生已有经验的前测），要探明这一点，并应据此进行教学。只有了解学生“已经知道了什么”“可能存在哪些误解”，以此为基础，有针对性地设计教学活动，才能有的放矢，为学生的理解奠定基础。

在教学《倍的认识》之前，我对所在地区的城乡两所学校的85名二年级学生（城区学校51名，农村小学34名）进行了访谈调查。发现约有54.1%的学生在生活中听说过“倍”，有21.2%的学生对“倍”有初步的了解，能看图说出谁是谁的几倍，还有8.2%的学生知道用除法计算谁是谁的几倍，但对为什么这样算不清楚。此外，还有学生将“谁是谁的几倍”与“谁比谁多几倍”混淆，认为两者是同样的意思。可见，学生只是表面了解，对“倍”的概念的本质并不清楚，让学生在经历“倍”的概念的形成过程中，理解“倍”的含义是教学的重点。

由此看来，学生“知道”了，并不等于“理解”了。“知道”可以是被告知的，但“理解”一定是需要学习者对相关内容进行自主建构的。学生并非一张白纸，他们总是带着已有的知识、先前的经验以及潜在的误解来学习的，误解也并非无知。明确了学生的认知起点，清楚他们“从哪里来”，就能更好地设计任务，清晰地指出该“往哪里去”，使理解的获得成为可能。

二、设计活动，为学生的“理解”提供支撑

深度教学是以学生的学习为中心，以学生的学习效益为追求，以学生的高阶思维为核心，学生围绕具有挑战性的学习主题与任务，积极参与、深刻体验,获得发展的有意义的教与学的过程。学生无法从教师的告知中获得理解，理解的获得需要通过精心设计的学习体验来揭示内容的含义，教师最主要的作用就是为了学生能获得理解而设计正确的体验。《倍的认识》一课在把握学情的基础上，为了让学生理解“倍”的概念的本质，我设计了以下活动体验。

（一）从“差比”到“倍比”，提出问题

比较物体数量的多少，学生已经积累了一定的经验。教学倍的认识，可以充分利用学生已有的认知经验，在比较物体数量多少的基础上提出问题，引出倍，实现从“差比”到“倍比”的过渡。

教师创设小猪佩奇的情境直接出示花朵图，提问：佩奇在奶奶的花园里看到了一些花，从图中你知道了什么？学生说出三种花的数量后，要求学生比一比这三种花的朵数。在学生比出多少后，引导学生观察“一一对应”排列后的2朵蓝花和6朵黄花，提问：除了比多少，你还能看出什么？比多少后的追问，“逼着”学生说出已有的对“倍”的认识，依据学生的认知经验，从“差比”过渡到“倍比”。

（二）多元表征，迁移类推

引出倍之后，教师提问：究竟黄花的朵数是蓝花的几倍？你能不能想办法在图上表示出来？交流展示学生的方法，有圈一圈的，有分一分的。引导学生发现其中的共同之处：你们怎么想到要2个一圈或2个2个分的？在比一比、说一说中知道把2朵蓝花看作一份，黄花是3个2朵，有这样的3份，黄花的朵数是蓝花的3倍。接着追问：你是怎么知道黄花的朵数是蓝花的3倍的？引导学生回顾刚才的操作过程，明确把谁看作标准量，怎样知道比较量里有几个标准量。

随后让学生结合刚才的经验，自主探究红花与蓝花的倍数关系。在此基础上，将具体的实物图隐去，留下集合圈，引导学生认识到“不管蓝花有几朵，只要红花有几个蓝花的朵数，就是蓝花的几倍”。然后出示2朵蓝花和8朵红花，让学生用自己的方法找出红花与蓝花的倍数关系，引发学生用算式表征“倍”的需要，并结合图理解“求一个数是另一个数的几倍”就是看“一个数”里面有几个“另一个数”的道理。

上述过程是学生认识倍的核心环节。在教学中，教师通过让学生在具体的实物图上画一画、圈一圈、分一分进行画图表征，结合图进行语言表征，并进一步用除法算式来表征，通过多元表征，引导学生在迁移类推中，借助“集合圈”，建立“倍”的概念的模型，理解“倍”的内涵。

（三）进行对比，把握本质

比较有利于突显概念的本质，有助于学生把握概念的内涵。在学生认识了“倍”之后，为了帮助学生把握本质，我设计了三种比较。

1.异中求同

在学生认识了黄花是蓝花的3倍，并自主探究了红花和蓝花的倍数关系后，引导学生观察两幅图（图1、图2），回顾两次比较有什么相同的地方。

通过观察对比，学生发现两次比较的标准量是一样的，都是和2朵蓝花比，把这2朵蓝花看成一份，只要把黄花和红花分别2朵2朵地圈，有几个2朵，就是蓝花的几倍。

2．同中取异

教师接着引导：增加1朵蓝花，这时候黄花是蓝花的几倍？在学生明确此时黄花的朵数是蓝花的2倍的基础上，继续比较。（出示图3、图4）

教师追问：都是6朵黄花，都是和蓝花比，怎么一个是3倍，一个是2倍？学生在比较和交流中明确两次比较的标准不同了，图3是把2朵蓝花看作一份，图4则是3朵蓝花为一份。

在接下来的列式计算中，教师将这种比较深化下去，对比两道算式：6÷2＝3和6÷3＝2，为什么一道除以2，一道除以3？使学生进一步理解倍数关系中首先要确定标准量，把标准量看作一份，比较量有几份，就是标准量的几倍，感受标准量的重要，掌握找倍数关系的方法。

3.对比“差”与“倍”

教材呈现“倍的认识”这部分内容时，就让学生联系相差关系，比一比这三种花的朵数，再由“差比”引出“倍比”。因此，课的开始就为比较“差”与“倍”埋下了伏笔。在课堂教学即将结束时，我有意识地将比差和比倍撂在了学生面前：

求白菜的棵数是萝卜的几倍？学生列出10÷2＝5的算式后，追问是怎么想的？明确是想10里面有几个2,接着出示算式10－2＝8（棵），让学生说一说这道算式算的是什么？比较差比和倍比：都是和萝卜比，为什么一道用减法，一道用除法？引导学生明白：比差和比倍虽然比的方法和角度不同，但都是两个数量进行比较。让学生体会比差和比倍的相同点，帮助学生形成两个数量比较的认知结构；让学生比较两种数量关系之间的不同点。只有这样，才能准确把握概念的本质。

三种比较，首先在标准量相同的情况下，引导学生感悟几份就是几倍，初步建立“倍”的概念；接着，在不变中找变，体会标准量的重要，掌握找倍数关系的方法，理解“倍”的概念的内涵；最后寻求比差和比倍的相同与不同，在比较中明确概念，把握“倍”的本质，建构对“倍”的理解。

三、多元评估，为学生的“理解”寻求证据

什么样的证据能说明学生已经完全“理解”？评估证据类型很多，包括表现性任务、课堂上的提问、检测、教师随堂观察、学生的自我评估等等。有相当多的提问和检测是直接指向基础知识和基本技能的。而作为获得“理解”的证据需要学生能够准确地、灵活地、创造性地运用所学的知识，即表现性任务，它总是包含迁移、能够表明学生是如何结合实际情况运用知识的。

在《倍的认识》一课中，为了判断学生是否对“倍”的含义的理解，我设计了两个表现性任务：1.画一画，填一填，表示出自己想研究的倍数关系。要求学生在第一行画○，第二行画△，画好后填一填（）是（）的（）倍，并用算式表示出倍数关系。在学生独立完成阶段，需要学生综合运用画图、语言表述、除法算式多种表征方式展示自己对“倍”的含义的理解。每个学生的理解都具有鲜明的个性，展示交流阶段要充分挖掘各种资源，激疑促思。从“把○的个数作标准量”“把△的个数作标准量”“标准量个数是1”“倍数关系是1倍”四个角度进行展示交流，通过学生自己介绍、挡住一部分猜一猜、自主提问等多种方式引导学生在丰富的变式中把握“倍”的本质，理解“倍”的含义。2.“该种什么呢？”这个表现性任务给了学生一个具体的同时具有一定开放性的情境：菜地上有12个空，已经种了8棵白菜和1棵萝卜，剩下的3个空怎么种，能让白菜的棵数是萝卜的几倍。这里需要学生灵活运用有关“倍”的知识解决实际问题，考查学生是否“理解”。而交流时对“差比”和“倍比”的比较，更是深化了学生的理解。

我们如何使更多的学生真正理解他们所学的知识？教师需要把握学生的认知起点，了解学生的已有经验，洞悉学生的潜在误解，精心设计活动体验，让学生在体验中自主建构对知识的理解，并通过各种表现性任务展示自己的理解。学力课堂的“学力”获得，即学习能力的获得，是一个人在接受知识、理解知识和运用知识方面能力的获得，是我们通过活动情境的创设，学习者内外主客体共同作用下所生成的知识、技能、能力和情感的统一体——这就是从理解到建构。