线性代数教学中的课程思政实践路径

马巧云，曹 洁，苏克勤，曹殿立

(河南农业大学 信息与管理科学学院，郑州 450046)

课程思政作为当前高校思政工作的新理念、新模式，是各方高度关注的理论和实践问题。各学科发展历程中科学家们展现出的坚持不懈、严谨治学、献身事业的科学精神和爱国情怀，为构建思政教育、能力培养和专业需求的课程体系及教学内容奠定了基础。课程思政要求教师将价值观引领融入到专业知识传授和专业能力培养中，在传授专业课程知识和培养学生解决问题能力的同时，注重提升学生的思想政治素质和人格魅力。

线性代数是为高校低年级学生开设的一门数学类公共基础课程。该课程具有概念公式多、内容抽象、课时少等特点，授课对象为高校低年级学生，其往往比较重视数学基础课程的学习，授课教师较多，能够凝聚集体智慧，有利于开展课程思政。经过近年来对线性代数课程思政的探索和实践，河南农业大学线性代数课程组依托线性代数在线开放课程教材建设和MOOC平台建设，建立了融思政元素为一体的线性代数课程知识体系。通过不断挖掘线性代数课程思政元素，完善教学资源建设，极大提升了教师的思政意识与教学能力。学生也在学习线性代数理论知识的同时，培养了解决相关问题的能力。

1 线性代数教学中的课程思政实践路径

1.1 教师以身作则、率先垂范，影响和激励学生

课程思政必须首先从教师自身的责任和努力做起，要求教师在思想政治、道德品质和学识学风等方面以身作则，率先垂范。针对疫情期间线性代数线上教学，课程组教师积极研讨如何科学设计教学环节、激发学生的学习动力和自律意识，尝试了“直播+任务+答疑”“任务+答疑+直播”“自主学习+直播(答疑)”等不同的在线教学方式，对在线教学课程、教学资源、授课方式、教学工作要求等做出了详细安排，并积极挖掘教学素材，探索疫情期间线上教学的改革和实践模式，坚持每周二下午例会反馈，同时交流线上教学情况，包括授课进度、课程思政元素选取、课堂教学设计、重难点处理、作业布置与批改、在线测试题发布与跟踪等一系列教学设计。在责任驱动下，经课程组教师共同努力，线性代数课程建设取得了骄人成绩。例如，线性代数课程组已建设成为省级优秀基层教学组织，线性代数MOOC配套教材已由中国农业出版社出版发行，荣获疫情期间线上教学优秀课程一等奖、河南省本科教育线上教学优秀课程、河南省线上线下混合式教学优秀课程等。

教师不仅是知识的传授者，更是学生精神道德的价值引领者。教师的一言一行无不给学生留下深刻印象，有时甚至影响学生一生。17世纪法国数学家费马提出的费马大定理，声称纸张太小但没有留下证明过程，让众多挑战者苦苦追寻了300多年[1]。教师自身对课程的热爱、对学生的公正评价和对科学的尊重都直接影响着学生的学习效果。随着课程思政的深入，教师积极主动地将课程教学与思政教学相结合，在分析线性代数课程特点时，改变过去总结的“概念多、性质多、定理多、抽象难学”，将线性代数课程特点归纳为“真、善、美”。真，体现在所给结论都有严密论证，这也是性质多、定理多的原因；善，体现在门槛低、用途广，门槛低意味着容易入门，且不需要很深的数学基础，用途广说明对学习者帮助大；美，既体现在概念对象的形式简洁和整齐，如行列式、矩阵等，又体现在运算方法的规律性强和计算方便，如方程组的求解、特征值特征向量的计算等。教师对课程教学付出的深厚情感，通过以理服人和以情动人, 真正实现了价值观教育和专业知识传授双管齐下。

1.2 结合数学故事传递人文情怀、培养优秀品格

第一，挖掘古今中外数学家故事，增强学生科学报国信念，培养优秀品格。线性代数的发展历程揭示了古今中外一代又一代数学家们前仆后继、勤奋努力、严谨治学、献身事业的科学精神和爱国情怀[2]，在介绍线性代数发展史时，对数学家李善兰、韦达、笛卡尔、阿贝尔、伽罗华、华罗庚等人的相关资料进行介绍，并对我国数学家作专题讨论，如为什么说李善兰是中国近代科学先驱？为什么说华罗庚是中国现代数学之父？同学们通过积极阅读并参与讨论交流，加深了对数学家的了解和尊重。“代数”在中国最早标识为“阿尔热巴拉”，源自对拉丁文“Algebra”的汉语音译。1859年，李善兰首次将“Algebra”译成“代数”，取意“以符号代替数字”，他的翻译因能结合中国传统科学知识及目标受众的认知能力而非常流行。例如，他在翻译《几何原本》《代数学》《代微积拾级》《谈天》《重学》《圆锥曲线说》等西方近代科学著作时创译的许多科学名词，如“代数”“常数”“函数”“方程”“微分”“积分”“级数”“有理数”“无理数”等都广为流行，沿用至今。李善兰自幼酷爱数学，自学了《九章算术》、徐光启翻译的《几何原本》前六卷、李冶的《测圆海镜》和戴震的《勾股割圆记》等数学相关著作。鸦片战争爆发后，李善兰萌生科学救国思想，并发出慨叹：“呜呼！今欧罗巴各国日益强盛，为中国边患。推原其故，制器精也，推原制器之精，算学明也。”“异日(中国)人人习算，制器日精，以威海外各国，令震摄，奉朝贡。”从此，他全身心投入科学研究，在尖锥术、垛积术和素数论方面取得卓越成就，并著有《方圆阐幽》《弧矢启秘》《对数探源》《四元解》《麟德术解》等。其中尖锥术创立于西方解析几何和微积分还没传入中国的1845年，尖锥曲线相当于处理代数问题的几何模型，其实质是直线、抛物线、立方抛物线等的方程问题，尖锥求积术相当于幂函数的定积分公式和逐项积分法则；结合尖锥求积术，得到了π的无穷级数表达式，各种三角函数和反三角函数的展开式，以及对数函数的展开式。垛积术从我国传统垛积问题出发，研究高阶等差数列的求和问题，提出了驰名中外的组合公式“李善兰恒等式”。素数论研究自然数是否为素数的判别法，包括屡乘求一法、天元求一法、小数回还法和准根分级法，证明了费马素数定理，并指出其逆不真[3]。李善兰恒等式是中国近代史上唯一一个以中国人名字命名的数学公式，代表着十九世纪中国数学界的最大成就。然而李善兰恒等式是总结归纳出来的，没有给出证明。20世纪30年代起，李善兰恒等式不断引起数学界的广泛兴趣并进行补正。1954年，匈牙利数学家图兰·帕尔来华访问，在报告李善兰恒等式的证明时，坐在台下的华罗庚面对中国人发现的定理而证明人却不是中国人的这一境况触动很深，当晚回去后就开始挑灯夜战、冥思苦想，终于赶在图兰·帕尔离华前给出李善兰恒等式的另一证明[4]。李善兰、华罗庚在数学上做出的杰出贡献和他们强烈的科学报国意识，都为我们树立了榜样。学习数学既要有雄心壮志，又要有持久的热诚，还要有应用所学知识服务于人民的意识，勤奋和积累是成功的钥匙。

第二，挖掘课程知识在形成和发展中的中国文化，增强文化自信和民族自豪感。线性方程组理论不仅是线性代数的核心，而且是中华古文明的非凡成就之一。大约于东汉初年(公元1世纪)成书的《九章算术》，汇集了我国公元以前的重大数学成果。公元263年，刘徽作注附于此书，第八卷“方程”列出了从二元到六元线性方程组对应的18个实际问题及其解答。对方程组的表示没有字母和未知数，而是把系数和常数项都放在固定位置上构成筹算图，相当于现在的矩阵表示；求解使用筹算的遍乘和直除，对应现在对增广矩阵施行倍法变换和消法变换。解方程组的目标也是“化上三角形”，而西方直到17世纪才有莱布尼兹对线性方程组的研究。尽管国际上习惯把方程组的求解方法称为高斯消元法，但从历史上看，我国在线性方程组求解方面领先于欧洲一千多年，已有学者研究证明高斯消元法本质上就是中国古法[5]。

1.3 结合新闻时讯激发学习兴趣及科学报国信念

疫情期间，结合疫情数据的统计报表引入矩阵概念，带领学生观看人大附中李永乐老师“新型冠状病毒是如何使人生病的”视频[6]，这样做既为讲解矩阵的变换做好铺垫，又让学生对新型冠状病毒有所了解，同时还让学生了解到一个中学数学老师对科学的执着和奉献。在讲解线性方程组时，引入疫情期间的物资调运、人员调配以及药物配方模型，积极引导学生关注疫情中的数学，关注国内外科研机构及数学爱好者所做的疫情预测数学模型，体会数学的重要性[7]，并介绍一年一度的全国大学生数学竞赛和数学建模竞赛，激发学生的数学兴趣和科学报国信念。线性代数中很多知识点的教学设计，既体现了所学知识的现实应用，又能引导学生关注科学。例如，矩阵举例可选取特殊数字来铭记历史、牢记使命，以数字19310918、19212021、19492049等为元素构建2行4列的矩阵，回顾九一八事变、思考中国共产党的两个一百年奋斗目标等，从而让学生更加热爱祖国。不断挖掘思政素材，丰富课程资源，发挥线性代数的课程育人功能。

1.4 结合科技前沿启发科学探索精神

随着当代信息技术的发展，线性代数的基础地位越来越受到重视，线性代数应用也越来越普及。例如，5G通信编码技术的极化码本质上就是矩阵乘法[8]；密码学正是基于矩阵乘法、求逆和线性变换发展而来的；图像压缩处理通过先在每个像素点上对应一个灰度数字，再将整张图片表达为矩阵，然后作特征值或奇异值分解实现；隐形飞机设计、手机电磁辐射评估等电磁相关运算，其核心是麦克斯韦方程，最终都可归结为大规模线性方程组的求解；Google搜索排序，Netflix视频推荐，机器人中的运动学正解等都离不开线性代数[9]。

线性代数中的矩阵几乎可用于表示所有对象，学生在以后的学习中会遇到许多形式优美的矩阵，如对角阵、上(下)三角阵、对称矩阵、稀疏矩阵等，在感受这些优美矩阵的同时，还要学好矩阵的基础理论，进而增进和培养用矩阵思维解决科学问题的意识和能力。矩阵的分块是处理阶数较高矩阵时的常用技巧，一方面可以使矩阵的结构显得简单而清晰，另一方面可将高阶矩阵的运算转化为低阶矩阵的运算。当今，复杂社会的网格化管理就可视为矩阵分块的具体运用，如疫情期间实施网格化排查和网格化管理有效遏制了新冠疫情的大范围传播。学生在生活实践中，遇到任何复杂的、困难的事情时，也可以运用网格化思维解决各种难题。

2 结语

在线性代数教学中，通过有意识地加强课程思政探索与实践，强化了教师的教书育人作用，提升了学生的数学学习兴趣和报效祖国的责任意识。