谈谈运用反证法解题的步骤

赵雪岑

反证法是解答数学问题的常用方法，是一种间接证明方法．当遇到一些从正面分析、求解较为困难的问题，或采用常规方法难以获解的问题时，采用反证法求解往往比较奏效．反证法是指假设原命题不成立，经过推理后，得到与已知条件、定理、性质等相矛盾的结论，从而证明原命题成立的方法，

对于两个互相矛盾的命题和判断来说，根据矛盾律，可由其中一个为真，推断出另一个为假，但是不能由一个为假来断定另一个为真．然而，根据排中律的原理，我们不但能够由其中一个为真推断出另一个为假，同时也能够由一个为假来推断出另一个为真．反证法的逻辑依据是矛盾律和排中律．在运用反证法来证明问题时，根据推出的矛盾和结果来否定反设，用的就是矛盾律；在否定反设之后，能够肯定原命题的正确性，用的是排中律．

反证法解题的一般步骤为：

第一步：认真读题，准确找到原命题的条件和结论；

第二步：对原命题进行反设，即假设原命题不成立；

第三步：由假设出发，进行推理论证，得到与已知条件、公理、定理、公式、定义等相矛盾的结论；

第四步：得出最后的结论，证明原命题成立，

对于命题：p=>q，则需先假设命题结论q不成立，即-q成立，然后由p和-q出发，运用相关的定理、性质、公式等进行推理，得出相矛盾的结果，断定是结论q成立，从而间接地证明了命题p=>g为真．

反证法的应用范围较广，可用于解答方程、不等式、函数、数列、解析几何、三角函数、立体几何等问题，下面举例说明，

例1．求证：方程2x=3有且只有一個根，

证明：由2x=3，可得x=log23，

则方程2x=3有解．

下面运用反证法来证明方程2x=3只存在唯一的

本题从正面直接证明存在一定的难度，可以运用逆向思维，利用反证法来证明方程有且只有一个根，首先将原命题的结论否定：假设方程不止有1个根，有2个根，然后设出2个根，并将其代入方程中进行运算，再利用指数函数的单调性得出相矛盾的结论，从而正证明原命题成立，

若要直接证明p+q≤2，非常困难，可从问题的反面情况：p+q>2着手，利用反证法来解题，根据立方和公式和完全平方公式进行推理、运算，即可得到不符合实际的结论：（p-q）2<0，进而证明原命题成立．若题目中出现“没有”“至少”“至多”“唯一”“不都是”等词语，从正面分析、求解很难获得问题的答案，可转换视角，利用反证法求解会更加便捷、高效．

分析：要直接证明数列{S.}不是等比数列，十分困难，而运用反证法，只需假设数列是等比数列，利用等比数列的前n项和公式以及等比数列的性质，即可得出相矛盾的结论，从而断定假设不成立，证明原命题成立．

当一个命题是以否定形式出现时，运用常规的解题思路和方法往往难以使问题获解，这时可以运用逆向思维，利用反证法求证，先对原命题进行反设，经过推理后，得出相矛盾的结论，即可解题，

本题主要考查异面直线的定义：既不相交又不平行的两条直线叫做异面直线．我们无法直接证明BD和AE既不相交又不平行，于是采用反证法，假设两条直线共面，根据直线上点与直线、平面之间的关系来得出相矛盾的结论，从而证明假设不成立．

运用反证法需要注意以下几点：（1）对命题作出正确的假设，即反设必须正确；（2）推理要合理，有理有据．在推理的过程中，要选择合适的定理、定义、公式、公理等进行推理、运算；（3）熟悉运用反证法解题的步骤，尤其要注意第三步，必须得出相矛盾的结论，反证法是从命题的反设人手，经过正确而缜密的推理找到矛盾点的过程，若想要得到正确的结论，那么整个证明过程中每一步的推理都至关重要，且推理过程需环环相扣，任何一步出错都会导致解题的失败．