主体间性理论下的教学与思考*——以苏科版“一次函数的图像(1)”为例

215600 江苏省张家港市实验学校(筹建) 张 林

主体间性又称交互主体性、共主体性等，是现代西方哲学的一个核心概念.主体间性教育理论认为教师和学生都是教学活动的主体，教学资源是教学活动的客体，倡导教师、学生、教学资源等教育主客体之间的互动交往行为，构建“主体中介客体主体”的教学关系[1].教育部最新修订的《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称“新课标”)指出：“有效的教学活动是学生学和教师教的统一，学生是学习的主体， 教师是学习的组织者、引导者与合作者.”[2]由此可以发现，主体间性教育理论思想和新课标具有一致性.教师不仅要明确教学内容，更要懂得如何组织、引导学生学习，教学不再是单向的“我教你学”活动，而是在师生相互理解、双向互动、主动对话、平等和谐的交往中，共同对中介客体进行研究和学习的合作活动.笔者以在苏州市名师共同体活动中开设的苏科版教材数学八年级上册“一次函数的图像(1)”的公开课教学为例，阐述主体间性理论下的教学实践与思考.

1 教学分析

1.1 问题梳理

在平时的教学观察和文献研读中，笔者发现“一次函数的图像(1)”教学中存在以下问题.一是教学功利化，忽视教学过程，缺乏平等互动，将基本技能的掌握作为重要的教学目标，急于求成，探究活动流于形式，往往只关注学生是否掌握画一次函数图像的方法.二是生长性不足，知识的生成、生长不够自然，例如未明确为什么要画图像，为什么要列表，点从何来，为什么要连线，如何连线，直线还是曲线，如何说明一次函数的图像是一条直线等问题.三是关联性不足，教学的起点把握不准，即知识的本源定位不精准，割裂了前后知识间的延续性和关联性，使教学引入环节显得突兀[3].

1.2 学材研读

新课标中对一次函数图像的教学要求是：“能画一次函数的图像，根据图像和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k<0时，图像的变化情况”[2].“6.3 一次函数的图像(1)”主要设置了以下教学内容.一是现实情境，呈现熏香燃烧的图片、待填写的表格、平面直角坐标系，提出五点是否共线的问题；二是知识生成，明确列表、描点、连线三个画图像的一般步骤，初步感受一次函数y=2x+1的图像画法及特征；三是画法迁移，用上面的方法画出一次函数y=-x+2的图像，确定一次函数的图像是一条直线；四是画法优化，将一般画法优化为“两点法”，用“两点法”画一次函数y=-3x+3的图像；五是练习巩固，画出一次函数的图像并判断点是否在函数图像上[4]，初步体悟两直线的位置和数量关系.从课程目标看，本节课的教学核心是能画出一次函数的图像，教材提供的情境包括现实情境和数学情境，教师应基于学生的认知基础，合理做出取舍或整合，以发挥学材的教学功能.

1.3 认知基础

在本课学习前，学生已经学习了平面直角坐标系(知道在平面直角坐标系中用有序实数对描述点的位置及其变化趋势)、函数、函数的图像、一次函数等知识，初步了解函数的三种表达形式，了解函数图像的现实意义，为本节课一次函数的图像学习奠定基础.学生存在的认知障碍主要是对函数关系式与函数图像之间的关系认识尚浅，尚未有过画函数图像的经历，正确画出函数图像存在一定的困难.

1.4 教学目标

经历一次函数图像的生成过程，掌握画一次函数图像的一般步骤并能画出图像；理解一次函数的图像是一条直线；会选取两个适当的点画出一次函数的图像.

2 教学设计

2.1 先行组织

问题1填空：

(1)一次函数的表达式为________，正比例函数的表达式为________；(2)在平面直角坐标系中，以函数的________的值为横坐标、对应的________为纵坐标的________所组成的图形叫做这个函数的________.

教学说明：心理学家奥苏贝尔指出，“影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么，我们应当根据学生已有的知识经验去进行教学”.“函数的图像”概念是本节课教学的出发点和生长点，是学生认知经验的核心内容.学生只有理解了函数图像的概念，才能理解一次函数图像的来龙去脉，也就说清楚了一次函数图像从何而来的问题.

2.2 概念引思

问题2(1)根据函数的图像定义，你知道如何画函数的图像吗？(2)关于一次函数的图像，请你试着提出一些待研究的问题.

教学说明：基于“函数的图像”的概念理解，引发学生学前先思，在搞清楚函数图像的基础上，获得一定的认知经验，为一次函数图像的学习做好铺垫.小问(2)设计开放性问题，驱动学生思考并提出一些有意义的问题，如“一次函数的图像是什么？怎样画一次函数的图像？为什么学习一次函数的图像？”等，让学生带着这些疑问开启新课的学习，既激发学生的求知欲，又培养学生的问题意识.

2.3 建立模型

问题3点燃一支香(如图1所示)，观察它的长度随时间的变化情况.

图1

(1)图片给出了几个燃烧时间？分别是多少？填入表1.

表1

(2)这支香没点燃前有多长？点燃5分钟后是多少？10分钟呢？填入表1.

(3)从表格中你能发现香的燃烧有什么规律吗？

(4)设香的长度为y(cm)，燃烧时间x(min)，你能写出y与x之间的函数表达式吗？这是什么函数？

(5)依次联结图1中香的顶端，你有什么发现？

教学说明：通过情境创设和问题探索，帮助学生深入理解图片隐含的丰富内容.将同一支香同时显示在不同位置，表示随着时间的增加香的长度在缩短，通过依次联结图片中香的顶端，直观感受一次函数的图像是一条直线.让学生写出y与x的函数表达式，从而获得一次函数模型，为学生用平面直角坐标系将实际问题数学化、在数学内部进行模型探究做好铺垫.

2.4 模型探究

问题4你能用平面直角坐标系(如图2所示)将图1所揭示的信息及你的发现告诉大家吗？

(1)怎样建立平面直角坐标系？

(2)你准备描出哪些点？

(3)观察这些点的位置，你有什么发现？

(4)你能再自行描出一个符合题意的点吗？这个点的坐标怎么求？

(5)观察这个点的位置，你又有什么发现？

(6)如果再继续描出符合题意的点，猜想会是什么情况.

(7)猜想一次函数图像的形状是怎样的.

图2

教学说明：通过建立平面直角坐标系将实际问题数学化，将一次函数表达式进行“图形化”表达，引导学生经历“描点→连线→观察→归纳→猜想”的过程.学生第一次的观察和发现是基于小问(2)描出的五个点，而第二次的观察和发现是基于小问(4)自行描出的一个点，并通过小问(6)的追问，为学生猜想一次函数的图像是一条直线增加了认知的可信度，减少了内心的疑惑.

2.5 画法迁移

例1按下列步骤，在平面直角坐标系中画一次函数y=2x+1的图像.

(1)列表:恰当地选取自变量x的几个值，计算函数y对应的值.(如表2所示)

表2

(2)描点:以表中各对x，y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点.

(3)连线:顺次联结描出的各点，得到该函数的图像.

教学说明：(1)列表前，再次回顾函数图像的定义，让学生明确要画一次函数的图像，必须先描点，而要描点，又必须先确定点的坐标.点的坐标如何确定？以自变量x的值为横坐标、相应的函数值y为纵坐标来确定.(2)列表时，引导学生明确如何列表，自变量x的值如何选取才恰当，函数y的值如何确定.(3)描点时，引导学生明确如何建立平面直角坐标系，描的是哪几个点.(4)连线时，提问“为什么要连线？怎样连线？”引导学生明确列表时只恰当地选取了自变量x的五个值，从而只描出了其中的五个点，事实上该函数的自变量x可以取任何实数，从而满足该函数的点有无数个，根据线是由点形成的，连线其实就是补描出无数个满足该函数的点.

2.6 实践体悟

练习2点(-2，1)，(0.5，3)，(4，0)在上面所画的图像上吗？为什么？

教学说明：(1)通过练习1，学生进一步掌握画一次函数图像的基本步骤和方法，并再次感知一次函数的图像是一条直线.实际上，这个事实已经被人们所证实.由此得到①一次函数y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的图像是一条直线；②一次函数y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的图像也称为直线y=kx+b(k，b为常数，k≠0).(2)通过练习2，学生掌握两种判断方法，即①从表达式(数)上判断，②从图像(形)上判断；并从中得到函数的表达式(数)与图像(形)之间的关系，一是满足函数表达式的每一对x，y的值所确定的点都在图像上，二是图像上每一点的横坐标x、纵坐标y都满足函数表达式.

2.7 画法优化

问题5既然一次函数的图像是一条直线，那么有没有简单的画法？能否用更少的点来画呢？

追问1那么选取哪两个点呢？

追问2如何求直线与坐标轴的两个交点坐标？

追问3选直线与坐标轴的两个交点一定是最恰当的吗？

例2在平面直角坐标系中画一次函数y=-3x+3的图像.

练习3在平面直角坐标系中画一次函数y=16-0.8x和y=2x的图像.

教学说明：通过问题5引导学生理解“两点法”的数学原理.通过追问1，学生观察之前画的两个一次函数图像，充分讨论与交流，明确通常选取“直线与坐标轴的两个交点”更加方便、准确，效果更好.通过追问3引导学生思考如何确定“恰当的两点”.通过例2和练习3，学生掌握“两点法”的画图方法.

2.8 回归现实

练习4前面已求得香的长度y(cm)与燃烧时间x(min)之间的函数表达式为y=16-0.8x(0≤x≤20)，请画出其图像，并观察其特征，用数学语言描述.

教学说明：使学生感受一次函数是刻画现实世界的有效模型，一次函数的图像是对函数变化规律的直观表达，自变量和因变量的取值受实际问题的限制，图像是直线的一部分(线段).

2.9 总结感悟

问题6本节课研究了哪些问题？需要注意哪些问题？还有哪些需要进一步研究的问题？

教学说明：以“问题”作为课堂梳理总结的载体，引导学生再学习、再探究、再思悟，培养学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力，给学生一个充分展示自我的平台，学生的认识会有质的飞跃.

3 教学思考

3.1 创设引起学生好奇的现实情境，激发学生的学习动机

主体间性理论认为，教师和学生作为独特的精神整体在相互作用中形成主体性关系即主体间性，师生谁也不是客体，教师和学生始终是主体，谁也不能控制谁或者强行把意志、意见加于另一方.这就需要教师能灵活利用教材(客体)，把教材的内容转化到现实情境和日常生活中，从而更好地抽象出数学问题，吸引学生的注意力，激发学生的求知欲，提升学生的生活经验，让学生看到数学的内在本质和自身魅力.新课标也指出：“数学教学要强化情境设计与问题提出，发挥情境设计对学生主动参与教学活动的促进作用，使学生在活动中逐步发展核心素养.”[2]例如，本课例以现实生活中点燃一支香为情境，观察香的长度随时间变化的方式，使抽象的函数知识以具体直观的形象呈现.这样的情境有利于调动学生的学习兴趣，促进学生自觉主动地将现实问题引入到数学内部进行探究和求解，学会用数学的眼光观察现实世界.

3.2 引导学生探索知识的来龙去脉，落实学生的主体地位

主体间性理论认为，教育就是主体间指导学习，教师要充分肯定学生在教学活动中的主体价值和地位，站在与学生平等的角度想学生所想、讲学生所需，全局把握、主体引导，师生主体间相互作用和影响，共同交流、探讨知识客体.新课标也指出：“数学新知识的学习要注重来龙去脉，要展现‘知识背景→知识形成→揭示联系’的过程，让学生经历数学观察、数学思考、数学表达、概括归纳、迁移运用等学习过程.”[2]这就要求教师为学生提供充分的思考空间，营造“平等的对话交往、合作的探究学习”课堂氛围，增强学生的学习体验，积累基本活动经验.例如，本课例就知识生成而言，“函数→横坐标、纵坐标→点→集合→图形→图像”的认知经验的调取与迁移是知识生成的关键，为师生共同经历“一次函数表达式→列表(横、纵坐标)→描点→连线(集合)→图像”的探究路径提供重要经验.整个探究活动充分展现师生多元对话互动，遵循从具体到抽象、从特殊到一般的原则，体现数学知识之间的内在逻辑关系，使学生能够从中了解一次函数图像的产生与来源、结构与关联、价值与意义.

3.3 设计引发学生思考的合理问题，培养学生的思维能力

主体间性理论认为，教学不是单向的“我教你学”的教学关系，而是师生主体间的相互理解和共同认识，是师生不同主体取得共识，通过共识表现的一致性.而师生主体间取得共识的数学教学过程，从本质上来说是教师促进学生思维发展、人格完善的过程，促进学生思维发展的重要载体是“问题”，有了问题，学生就有了思考、讨论和展示的机会.新课标也指出：数学教学要重视设计合理问题.问题的设置要有利于考查对数学概念、性质、关系、规律的理解、表达和应用，注重考查学生的思维过程，避免死记硬背、机械刷题.”[2]因此，教师在教学中可以提出能引发学生思考的数学问题，激起学生认知冲突，促进学生积极探究，同时也可以引导学生提出合理问题，培养学生会用数学的思维思考现实世界，增强学生认识真实世界、解决真实问题的能力.例如，本课例中的教学活动始终围绕问题展开，其中“如何列表？表中x值如何选取？”“怎样描点？描多少个点？”“为什么要连线？怎样连线？”等问题很有挑战性，极大地调动了学生的探究热情，激发了学生的思维活力，让学生从“知其然”到“知其所以然”“知何由以知其所以然”.再如，在“概念引思”和“总结感悟”环节中，教师鼓励学生质疑问难，敢于提出问题、发表自己的观点，培养学生的问题意识和创新意识，唤起学生的内驱力，让数学思考更具主动、数学思维更有深度.

3.4 帮助学生感悟数学思想方法，发展学生的核心素养

主体间性理论认为，主体间性教育就是师生主体之间的一种共享，共享知识、智慧等，共享主体间一切精神上的东西.新课标也指出：“义务教育数学课程应使学生通过数学的学习，形成和发展面向未来社会和个人发展所需要的核心素养.”[2]因此，在数学教学中，教师不仅要促进学生理解和掌握数学的基础知识和基本技能，还要让学生体会和运用数学的思想与方法，获得数学的基本活动经验，形成积极的情感、态度和价值观，逐步形成核心素养.例如，本课例在“先行组织”环节，通过复习一次函数的表达式和函数的图像，借助华罗庚的名言“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”引入一次函数的图像；“实践体悟”环节中，通过练习2教会学生不仅应从图像上看问题，还要从函数表达式上看问题；对于一次函数，从列表到描点，从函数表达式到直线图像，这些都充分体现和应用了“数形结合”的思想.又如在“模型探究”环节，通过描出几个点的位置，猜想所有点的位置；通过先画出从情境中抽象出的一个一次函数图像进行猜想，再画出例题、习题中的几个不同的一次函数图像进行验证，然后归纳得出所有一次函数图像是一条直线的普遍结论，学生理解函数图像与表达式的对应关系，增强几何直观，提升观察、比较、抽象和概括的能力，发挥数学学科的育人价值，促进学生核心素养的发展.