极限思想在高中数学中的运用——以圆锥曲线为例

姚 婷 吴如光

(南京师范大学附属中学秦淮科技高中 210003)

1 背景分析

极限对于学生来说并不陌生，小学阶段对于无穷大的数的感悟，初中阶段对于反比例函数图象的探究，高中阶段对于加速度概念的理解，无一不渗透着极限思想．章建跃博士在文[1]中指出：“在中学阶段,掌握一些微积分的初步知识,对发展学生的理性思维、增强数学应用能力等都是非常有用的．”极限思想是一种重要的数学思想，虽然高中数学教材中没有明确极限的概念，但极限思想却始终贯穿着高中数学的学习，以导数为典型，解析几何、立体几何、数列、三角函数等内容的学习过程中也绕不开极限．虽然高等数学中用“ε-δ”语言表述的极限定义对于中学生来讲难以接受，但是极限思想却是可以在学习中不断渗透的．利用极限思想，往往可以引导解题方向、规避复杂运算、突破解题难点．本文将结合圆锥曲线谈谈极限思想在高中数学中的运用．

2 引例分析

在高三一轮复习过程中，笔者发现，学生能熟练运用方程思想联立方程组，并通过韦达定理得A，B两点坐标之间的关系，解题的难点在于，转化条件kPA+kPB=1后得到的关于k，m的二次式该如何处置？有经验的学生知道要因式分解，但不知如何分解.如果能顺利分解因式，问题就迎刃而解．教学中教师如果仅仅告知学生，这一步需要因式分解，即便教会学生“双十字相乘”因式分解法，学生对于相似的题型仍然是茫然的．解题教学不应当局限于这一道题的解法，更应引导学生厘清问题的本质．

笔者认为，有几个问题是必须要搞清楚的： ①为什么直线l过定点？②为什么需要因式分解？③因式分解后得到的因式之一恰好过点P，这是偶然还是必然？④最后求得的定点在x轴上，这又是偶然还是必然？首先关于问题①②，直线l的方程为y=kx+m，由于kPA+kPB=1，直线l中的参数k，m必然有着确定的关系，故直线l有可能过定点或定斜率；反之，若直线l过定点，则必存在k与m的线性关系，故得到关于k，m的二次式后需要想办法进行因式分解．

3 极限思想的运用

3.1 寻找极限位置，确定定点

3.2 利用极限位置，计算定值

图1

点评 换个角度来思考该问题，直线l在变化过程中，极限位置是与椭圆相切，此时直线B1M与直线B2N交于一点，该点即为直线l与椭圆相切的切点，该点的纵坐标即为所求．利用极限思想，可以快速确定定值．

3.3 运用极限思想，求解范围

4 几点教学建议

4.1 分析极限状态，明辨解题思路

例3已知直线y=2x与椭圆E：x2+2y2=1交于A，B两点(点A在第一象限)，点P(-4t，t)在椭圆E内部，射线AP，BP与椭圆E的另一交点分别为C，D．求证：直线CD的斜率为定值．

图2

解析几何的解题思路非常重要，因为计算量大，往往“没有回头路”，教学中一定要引导学生先分析解题思路，理清楚解题步骤，预估计算量，计算时多想两步，才能简化计算，高效解题．利用极限思想判断出直线CD的斜率为2，为后续的证明打开了思路，抓住了变化中的不变量，解题方向更加清晰．

4.2 妙用极限思想，优化解题过程

在上述例题中，动直线的极限状态往往是切线或过已知点状态，若动直线过定点，则极限状态也过定点，所以两种极限状态下同时满足的定点通常可以预判，这样也给我们后面的解答指引了目标，即便用常规方式计算也会因此由漫无目的变得有的放矢．例如双二次的因式分解因为定点已知，从而分解更加容易．

4.3 活用极限思想，提升核心素养

面对新高考，我们总在强调“思维能力的培养”，这不仅是一句口号，而是需要一线教师在教学过程中不断摸索的.过去，我们在课堂中常会帮助学生总结解决问题的一般方法并归纳分类，这对于应试是能起到一定作用的，但题目是千变万化的，如何能让学生在面对各种问题时，自我分析，自我探究，自我解决，是需要教师不断引导的.

虽说极限思想不能直接用来求解圆锥曲线综合题，但是对于引导学生学会自我探究起到了积极的作用.上述例题中，利用极限思想来解决的过程，均是抓住了题目中的动点和动直线，寻找变化规律，这对于学生来说，是提升理性思维、抽象能力的绝佳时机.解题教学时，唯有多想一点，才能少算一点，多反思才能不断优化解题过程，多总结归纳才能以不变应万变，多复盘才能不断提升．

数学教育的本质是传授数学思想，教学生学会思考.极限思想在高中数学中的运用，不仅能提升学生的解题能力，还能提升核心素养，让学生站在更高的角度去思考、理解问题，知其然并知其所以然，更为今后高等数学的学习奠定基础．