巧用旋转法解正方形问题

高冬

旋转是平面几何中重要的图形变换之一，在几何问题中通过图形旋转可以将分散的条件聚合在一起，进而将隐含条件显现化. 本文以正方形为背景，探究旋转变换在解题中的应用.

[例题引入]

例1 （2022·山东·泰安，改编）如图1，在正方形ABCD内取一点P，连接AP，BP，DP. 若AP = 1，BP = [5]，DP = [3]，则S△APD = _______.

思路分析：题目中已知条件分散，不能直接求出△APD的面积，可以考虑通过旋转构造全等三角形和直角三角形，将AP，BP，DP这三条线段转化、聚合，挖掘隐含条件. 如图2，将线段AP绕点A顺时针旋转90°，得到线段AE，连接BE，EP，作AF⊥EP于点F. 易证△AEB ≌ △APD，所以AE = AP = 1，EB = PD = [3]. 根据勾股定理可得EP = [2]，根据勾股定理的逆定理可得∠PEB = 90°，所以∠APD = ∠AEB = 135°，点E，P，D三点共线. 在△APF中根据勾股定理可求得AF = [22]，进而可得S△APD = [64].

反思：上述解法以AB = AD，∠BAD = 90°为切入点，通过旋转AP，构造“手拉手”全等和等腰直角三角形AEP，进而将AP，BP，DP这三条毫无关联的线段聚合到一起解决问题. 当然此题也可以将△APB绕点A逆时针旋转90°，或将线段AP绕点A逆时针旋转90°（如图3）求解. 如果以BA = BC，∠ABC = 90°为切入点，将线段BP绕点B逆时针旋转90°（如图4）能否解决此题呢？很明显，尽管构造了“手拉手”全等和等腰直角三角形BPE，但是不能将AP，BP，DP这三条线段有效“聚合”，因此不能求解. 由此可见，应用旋转思想构造辅助线应以“聚合”“解决问题”为标准.

[模型归纳]

旋转的总体思路：确定旋转中心和旋转角→旋转构图→分析新图→解决问题.

旋转条件：具有公共端点的等线段. 旋转中心：等线段的公共端点. 旋转角：有公共端点的两条等线段的夹角.

基于正方形的对称性，正方形对角线上的任意一点都可以作为旋转中心. 常见旋转图形如图5～7.

简单归纳为：共顶点等线段，条件分散思旋转.

[典例辨析]

例2 （2022·四川·达州）如图8，在边长为2的正方形[ABCD]中，点E，F分别为[AD]，[CD]边上的动点（不与端点重合），连接BE，BF，分别交对角线[AC]于点P，Q. 点E，F在运动过程中，始终保持∠EBF = 45°，连接EF，PF，PD. 以下结论：①PB = PD；②∠EFD = 2∠FBC；③[PQ=PA+CQ]；④[△BPF]为等腰直角三角形；⑤若过点B作BH⊥EF，垂足为H，连接DH，则DH的最小值为[22-2]. 其中正确结论的序号是_____________.

总体思路：共端点等线段 + “半角”，条件分散思旋转.

方法解析：结论①：易证△APB ≌ △APD（或△CBP ≌ △CDP），或连接BD，根据正方形的对角线性质和线段垂直平分线的性质定理可证，故①正确.

结论②：如图9，将射线BF以點B为旋转中心逆时针旋转90°，交DA的延长线于点G，连接AG. 易证∠ABG = ∠CBF，∵∠GAB = ∠FCB，AB = CB，∴△ABG ≌ △CBF，∴∠G = ∠BFC，BG = BF，∠GBE = 45° = ∠FBE. ∵BE = BE，∴△GBE ≌ △FBE，∴∠G = ∠BFE，∴∠EFC = 2∠BFC，∴∠EFD = 180° - 2∠BFC = 180° - 2（90° - ∠FBC） = 2∠FBC. 故②正确.

结论③：如图10，将线段BQ绕点B逆时针旋转90°，得到线段BM，连接AM，PM，先证△BAM ≌ △BCQ，∴∠BAM = ∠BCQ，AM = CQ，∴∠MAP = 90°，再证△BPM ≌  △BPQ，∴PM = PQ，∵AM 2 + AP2 = MP2，∴CQ2 + AP2 = PQ2. 故③错误.

结论④：只需证明∠BFP = 45°或∠BPF = 90°，先证明△BPQ∽△CFQ，再根据“两边成比例，夹角相等”证明△PQF∽△BQC，∴∠PFQ = ∠BCQ = 45°. 故④正确.

结论⑤：如图11，同①可证△GBE ≌ △FBE，∴∠BEA = ∠BEH，作BH⊥EF于点H，连接DH，则当点B，H，D三点共线时DH有最小值. ∵BH = BA = 2，BD = 2[2]，∴DH的最小值为[22-2]. 故⑤正确.

综上所述，答案为①②③⑤.

[拓展变形]

例3 在菱形ABCD中，∠BAD = 120°，点O为射线CA上的动点，作射线OM与直线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON，射线ON与直线CD相交于点F.

（1）如图12，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，请直接写出CE，CF，CA的数量关系；

（2）如图13，当点O在CA的延长线上，且OA = [13]AC时，点E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请写出CE，CF，CA三条线段之间的数量关系，并说明理由.

总体思路：共端点等线段 + 截长补短，联想旋转构造全等.

方法解析：（1）根据菱形性质可证AB = AC（共端点等线段），∠BAC = 60°（旋转角），再证明△ABE ≌ △ACF或证明△ACE ≌ △ADF.

（2）如图14，已知点O为旋转中心，猜想OM = OF（共端点等线段），再结合截长补短，将射线OC绕点O逆时针旋转60°交射线CF于点G，证明△OCE ≌ △OGF.

答案略.

综上所述，当解决条件或结论中有“共端点等线段”的问题时，同学们要记住一句话：条件分散思旋转.