压电陶瓷支承对梁的横向振动与支反力抑制作用

何晋丞， 陈国平， 谭 星， 陈卫婷， 何 欢

(1. 南京航空航天大学 机械结构力学及控制国家重点实验室, 南京 210016;2. 南京航空航天大学 振动工程研究所, 南京 210016)

船舶推进轴系、车辆传动轴、房梁等多跨结构往往受到横向载荷而产生振动，这种振动会通过支承传递到基座上，从而导致疲劳损伤和噪声等问题。传统方法是在支承处安装橡胶等阻尼装置。另一种方法是利用压电材料对结构进行减振。

从上个世纪开始，研究人员对压电片在梁、板等结构中起到的抑振作用进行了广泛研究[1-3]。利用压电材料的正/逆压电效应可将机械能和电能进行互相转换，基于此原理的被动、主动和主被动混合控制技术近年来得到了长足发展[4-6]。压电片在较薄的结构中能起到很好的抑振作用，但是对于质量过大或者厚度过大的结构，压电片的减振效果会受到影响。且在工程中当压电片粘贴在运动机构上时，外接电路的电线往往阻碍结构运动和轴系转动。对于柱状的压电陶瓷，尤其是通过压电片复合烧制的压电堆叠，研究人员主要利用其对结构进行主动控制[7]，压电堆叠具有逆压电效应优异，载荷输出性能强，迟滞现象低等优点[8]，采用该材料进行的主动控制鲁棒性高，迟滞现象低[9]，但是需要输入较高电压，且控制设备大，在一些地方狭小且能源紧张的工程环境中难以施展。

如图1所示，为寻求一种适用于较大型多跨度结构的控制方法，本文将研究利用压电换能技术，直接将柱状压电陶瓷作为支承材料，在多跨度结构中引入压电的机电耦合边界条件，对梁和轴系的横向振动进行被动控制。该技术能抑制大部分结构中由支承传递到基座、机身和船身等外部结构的横向振动。且相比于橡胶等传统阻尼材料，压电陶瓷刚度接近钢材刚度，作为支承结构时可避免系统固有频率出现过大的频移。

本文采用柱状压电陶瓷作为梁的支承，建立该系统的数学模型，分析该压电陶瓷支承的减振原理。并通过有限元软件对比分析不同种类压电陶瓷支承的减振性能。

1 机电耦合边界条件下的欧拉梁数学模型

1.1 含压电陶瓷支承的欧拉梁模型

为验证压电陶瓷柱支承结构对多跨度结构的减振作用，本文提出一种无源压电陶瓷为支承的欧拉梁系统，其中压电陶瓷柱的极化方向为竖直方向，且与外接电路相连。

如图2所示，在工程运用中，压电陶瓷受拉时容易损坏，所以采用两个柱状压电陶瓷夹持固定梁的端部，充当梁的支承。每个压电堆叠分别串联一个电阻和电感。在建立数学模型时，可以将其分别简化为一个受拉又能受压的压电陶瓷柱，同时该压电陶瓷柱连接RL外接电路后可以等效为一个弹簧和阻尼系统[10]。梁上表面受到横向激励。该模型可简化为如图3所示的压电机电耦合边界条件下的欧拉梁模型。

图2 压电支承-欧拉梁系统

图3 压电机电耦合边界条件下的欧拉梁模型

1.2 压电支承-欧拉梁系统振动微分方程

压电陶瓷连接的是RL电路,所以外接电路的电阻抗Ze为

Ze=R+Ls

(1)

式中:R为外接电路中电阻；L为外接电路中的电感；s为拉普拉斯算子。

压电陶瓷在连接外接电路可等效为梁的机电耦合边界条件。针对压电陶瓷的机电耦合边界，存在如下关系

yi=qi/θP(i=1,2)

(2)

(3)

kP=AP/(sElP)

(4)

(5)

(6)

从该等效模型中可以看出，压电陶瓷柱在系统中利用压电能量转换性质，将外力输入的机械能转化为电能在电路中进行耗散，从而产生阻尼作用。另一方面，改变电路参数也可调节压电陶瓷支承的谐振频率，使其接近受控结构的固有频率，起到类似动力吸振器的作用。本文从能量角度对整体结构进行分析。

由于压电陶瓷变形量相对于梁变形很小，且压电陶瓷的质量相对于整个系统很小，所以不考虑压电陶瓷的动能。整个系统的动能可以表示为

(7)

式中：ρ为梁的密度；A为梁的截面积；w(x,t)为坐标为x的截面中性轴在时刻t的横向位移。

整个系统的势能包括梁的势能和压电陶瓷的势能。其中压电陶瓷势能可根据简化模型表示为机电耦合作用下等效弹簧的势能。整个系统势能表达式为

(8)

整个系统的虚功包括外力虚功和压电陶瓷受外力产生电场的电虚功。在等效模型中电场的电虚功即为等效阻尼作用产生的虚功。系统虚功可表示为

(9)

根据Hamilton能量原理

(10)

将式(7)～(9)代入式(10)中化简后可得梁的振动微分方程、机械边界条件和电路边界条件为

(11)

(12)

(13)

1.3 压电堆叠的等效模型

压电堆叠由n个压电片叠加烧制而成。每个压电片电极通过导电材料并联连接。当采用能量原理分析压电堆叠时，如果分别对其中每个压电片和电极进行分析会使计算过程变得复杂。且在有限元软件对压电堆叠进行建模时，由于压电片和导电镀层厚度方向尺寸远远小于梁的几何尺寸，对整个压电堆叠进行完整建模会造成有限元网格单元过密的问题。所以将压电堆叠用同尺寸的等效长方体压电陶瓷来代替将大大简化仿真建模、网格划分和计算的过程。如图4所示，压电堆叠受力和边界条件和等效的同尺寸压电陶瓷柱相同。

图4 压电堆叠和压电陶瓷柱等效模型

单片压电片的本构方程可以转化为

(14)

根据压电堆叠和压电片的内部结构关系可以得到如下关系式

FP=Fi,yP=nyi,VP=Vi,IP=nIi,L=nl

(15)

式中：yP为整个压电堆叠的变形量；FP为压电堆叠在极化方向(3方向)上所受的力；IP为压电堆叠受压时流出的电流；VP为压电堆叠上下表面电极间的电压；L为整个压电堆叠在极化方向(3方向)上的厚度。

假设压电堆叠等效为长方体压电陶瓷后的本构方程为

(16)

将式(15)代入到式(16)得到以下关系式

(17)

将式(14)代入到式(17)中可得

(18)

由式(18)可得

(19)

由此可知当压电堆叠等效为长方体的压电陶瓷后，该等效长方体压电陶瓷的机电耦合参数和压电陶瓷材料的材料参数关系为

(20)

由此可见，相同尺寸的压电堆叠和压电陶瓷柱，压电堆叠的压电常数式压电陶瓷柱的n倍，介电常数是压电陶瓷柱的n2倍。

2 压电陶瓷支承-梁系统有限元模型

如图5所示，在压电片-悬臂梁系统中，根据Hagood等[11]的研究，不同外接电路参数对应的位移传递函数曲线，存在两个共同交点，分别称之为P点和Q点。根据PQ两个交点的位置从而得到峰值最小的位移传递函数曲线对应的最优电路参数的数值计算方法称之为PQ点法。

图5 位移传递函数

然而在本身存在机械阻尼的系统中，传递函数曲线不再存在PQ点。此时可通过穷举法寻找最优电路参数。采用COMSOL软件，通过设置合适的压电方程和固体力学偏微分方程可以解决对压电支承-梁系统的动力学分析问题。并通过参数化求解模块，设置电路参数为自变量来求解最优电路值。

2.1 几何模型

为更好验证压电支承的减振作用，在COMSOL软件中，建立如图6所示的仿真模型。其几何尺寸如表1所示。

表1 模型几何尺寸

图6 压电支承和梁系统模型

2.2 边界条件

为模拟梁和支承之间的装配情况，分别用两个相同的压电材料支承夹住金属梁的两端，在每个压电支承的另外一端施加固定约束。边界条件示意图如图7所示。为研究在不同载荷情况下压电支承的减振性能，设置两种载荷工况：

第一种工况：在梁中间对称面竖直方向施加合力为50 N的集中简谐激励。

第二种工况：在梁的上表面垂直方向施加合力为50 N的均布简谐激励。

(a) 集中力

2.3 材料参数

仿真过程中采用的梁为结构钢材料，系统的阻尼设为0.02。其材料参数如表2所示。

表2 结构钢材料参数

本文中对不同材料的压电陶瓷进行了对比研究。在对压电堆叠进行分析时，将压电堆叠等效为长方体压电陶瓷柱，其中单片压电陶瓷片的厚度为100 μm，一个10 mm厚的压电堆叠中包含约100片压电陶瓷片。可通过式(20)得到压电堆叠等效为压电陶瓷柱后的机电耦合参数。各压电陶瓷材料参数如表3所示。

2.4 网格划分

如图8所示，采用六面体网格对模型进行网格划分。

2.5 电路参数

本文在COMSOL软件中增加一个由压电和电路构成的物理场，将固体力学物理场和电路物理场通过压电陶瓷的压电效应进行耦合。在每个压电陶瓷块上下两个电极之间接入RL串联电路。对不同的电阻和电感值的电路进行仿真，计算相应的力传递率曲线。

表3 不同压电材料的参数

为求解各压电陶瓷材料最优外接电路的电感电阻值，采用穷举法，即在仿真软件中选取该压电陶瓷材料并保持边界条件不变，在参数化扫描模块中设置电阻和电感的范围和步长如表4所示。对表中所有电阻电感组合的电路情况进行动力学响应计算。在接近最优电路参数范围内可适当采用更为精确的步长来增加精度。最后选取力传递率幅值最小的电路情况为最优外接电路。

表4 外接电路电阻和电感值

3 模态分析

3.1 振型

根据以上设置，分别对结构钢和各压电材料支承的梁系统进行模态分析。结构钢支承的梁和各类压电材料支承的梁的振型结果如表5所示(其中各类压电材料支承的梁的振型结果相同，所以举其中一种压电材料得到的结果与结构钢支承的梁系统进行对比)。

表5 振型

从表5可知，结构钢支承的梁和各类压电材料支承的梁的前五阶振型相同。由表5可知，用不同的压电材料去替代结构钢作为支承并不会改变梁的振型。

3.2 固有频率

各材料支承对应的梁前五阶固有频率如表6所示。由于第一阶和第四阶的力传递率较大，所以主要分析第一阶和第四阶的模态情况。其中第一阶和第四阶的固有频率变化量如图9所示。

表6 各材料支承对应的梁的固有频率

图9 第一阶和第四阶固有频率变化量

从图中可以看出，以压电陶瓷和压电堆叠作为支承后梁的各阶固有频率改变较小。

4 响应分析

计算频域内两种工况下系统的动力学响应，并计算力传递率

通过系统频响函数可计算得到各支承对应的力传递率曲线。

4.1 金属支承

当四个支承都采用结构钢材料时，工况一和工况二的力传递率曲线如图10和图11所示。

图10 工况一各支承力传递率曲线

图11 工况二各支承力传递率曲线

由图中可知，工况一工况二情况下系统力传递率一阶共振频率约为1 506 Hz，二阶共振频率约为8 008 Hz。第一阶共振峰为主峰，为本文主要受控对象。工况一时，第一个共振峰值为17.8。工况二时，第一个共振峰值为9.5。在载荷合力处于梁对称面时，四个支承力传递率情况相同，所以在后续研究中只对左下支承进行分析。

4.2 压电支承开路情况下

将金属支承替换为压电材料支承后，在不连接外接电路的情况下，压电支承-梁系统本身的的一阶共振频率和力传递率峰值如表7和表8所示。

表7 工况一一阶共振频率和力传递率峰值

表8 工况二一阶共振频率和力传递率峰值

由于各压电材料的密度和结构钢存在区别，且压电材料的无外接电路弹性模量都小于结构钢的弹性模量，导致压电材料支承的梁系统一阶共振频率与钢支承相比存在频移。但是该频移都在3%以内。压电堆叠因为内部压电片采用PZT-PST材料，根据之前的理论推导其等效弹性模量和PZT-PST材料相同，所以不连外接电路时，共振频率和峰值几乎相同。各压电材料支承的梁系统的力传递率峰值相比结构钢支承都存在较大的增加，所以需要连接外接电路来降低峰值。

4.3 压电支承闭路情况下

4.3.1 力传递率曲线随电路参数变化规律

以PZT-2压电陶瓷材料为例，针对工况一的载荷情况，以电路中电阻值和电感值为自变量进行参数化扫描，求解支承处力传递率曲线。为便于找到力传递率曲线随电路参数的变化趋势，列出电感值保持不变，改变电阻值对应的力传递率曲线情况，选择几组典型的结果如图12所示。

从图12可以看出，在电感分别为100 H和500 H时，电阻值改变并不会造成力传递率曲线的峰值出现明显变化，且力传递率曲线的峰值和无电路情况比并未有明显下降。在电感分别为280 H和300 H时，电阻值改变会造成力传递率曲线的峰值出现变化。在电阻达到最优电阻值附近时，力传递率曲线的峰值达到低谷。电阻值偏离最优电阻值时，力传递率曲线的峰值增大。在电感分别为290 H和295 H时，电阻改变会明显改变力传递率曲线的峰值，且峰值出现明显的下降。

由此可以得出结论，当电感值偏离最优电感值的时候，力传递率曲线峰值不会有明显下降。连接该电路后，压电支承起到的减振作用并不明显。电阻值改变几乎无法影响力传递率曲线。当电感值接近最优电感值时，力传递率曲线出现双峰，双峰峰值随电阻值改变而发生较为明显的改变，当电阻值同样接近最优电阻值时，双峰峰值相等，此时该峰值为其他电路参数情况下的力传递率曲线峰值的最小值。

4.3.2 最优解

根据上文提到的变化规律，可以分别得到工况一和工况二下的各压电材料对应最优外接电路参数，其中工况一和工况二合力都在梁的对称面内，所以两种工况下相同材料的最优电路参数相同。各材料对应的最优外接电路参数如表9所示。

表9 各压电材料对应的最优外接电路参数

明显可以看出，因为压电堆叠的等效压电常数和等效介电常数远大于压电陶瓷材料，所以压电堆叠所需要的最优电路的电阻值和电感值都远远小于其他压电陶瓷材料。

工况一和工况二下，各压电材料连接最优外接电路前后力传递率曲线及结构钢支承的力传递率曲线对比分别如图13和图14所示。

将压电材料支承连接最优外接电路后的力传递率峰值相较于结构钢支承的力传递率峰值的降幅设为降幅1，将压电材料支承连接最优外接电路前后的力传递率峰值降幅设为降幅2。从降幅1的数值可以看出替换为压电材料后的结构相较于原结构的力传递率下降的幅度，从而判断该装置的减振效果。从降幅2的数值可以看出压电材料连接外接电路后电路起到的减振作用，更方便评估电路的性能和机电耦合效率。

工况一和工况二下，各材料支承的一阶共振峰处的力传递率峰值降幅分别如图15和图16所示。

从仿真结果中可得出以下结论：

(1) 各压电材料支承都能大幅降低梁的力传递率曲线峰值，例如工况一下PZT-PST材料在连接最优电路后比连接电路前的力传递率峰值下降了75%左右，比金属支承的力传递率峰值下降了69%。说明压电陶瓷连接外接电路后能发挥良好的阻尼作用，能起到降低支承传递到基座的振动力的效果。

(a) PZT-2

图15 工况一力传递率峰值降幅

图16 工况二力传递率峰值降幅

(2) 压电支承在集中力和均布力的情况下都能发挥减振作用。同一种压电材料在激励频率一定的情况下，这两种工况下减振效果基本相同，说明在线性系统中压电支承的减振性能和力传递率大小无关。

(3) 压电支承连接电路后力传递率曲线会出现双峰，这种现象与压电片悬臂梁系统类似。当电阻电感值达到最优电路参数后，双峰峰值相等且与其他电路情况相比降低到最低值。

5 结 论

本文以单跨度梁为例，对压电陶瓷支承对梁的横向振动的抑振作用进行了研究。建立了机电耦合边界条件下的欧拉梁系统数学模型，并用哈密尔顿能量原理求解了系统振动微分方程，并进行了多物理场有限元仿真分析。获得如下结论：

(1) 由多片压电片并联烧制而成的压电堆叠在压电支承-梁系统中可等效为压电陶瓷柱，等效后的压电常数和介电常数远大于同尺寸柱状压电陶瓷。

(2) 以压电材料为支承并不会改变梁的振型，且不会造成固有频率大幅频移。

(3) 连接最优外接电路的压电陶瓷支承可大幅减小共振频率下梁结构支承处的力传递率。在诸多材料中，压电堆叠由于有较大的压电常数和介电常数，在工程实际中可以起到大幅降低最优电路电感值和电阻值的作用。

本文只对欧拉梁的减振方法进行了原理性分析，验证了压电陶瓷作为支承结构对跨度结构的减振作用。但对多跨度的轴系、转子等结构还可以做进一步研究。