中、美、新初中数学教材中数学文化类型的比较研究

【摘 要】 从知识源流、学科联系、社会角色、审美娱乐以及多元文化五方面，对中国、美国及新加坡四套初中数学教材中勾股定理内容的数学文化类型进行比较研究.研究发现，美国GM版与新加坡NSM版更重视数学与现实生活的联系，且教材中的素材更具真实性，数学文化类型也更丰富.人教版与北师大版中知识源流与多元文化类别涉及较多，但缺乏数学史与多元文化应用类素材.建议在教材编制过程中，素材选取应更贴近学生的生活现实，更注重创设真实情境，丰富素材中的数学文化类型.

【关键词】 数学教材；数学文化；勾股定理;比较研究

1 问题提出

数学文化是人类一般文化活动中相对独立的子系统，是科学文化的基础部分［1-3］，如何弘扬数学文化是数学教育中的重要话题之一.《义务教育数学课程标准（2022年版）》中强调，数学课程内容的选择应注重数学文化，在教材编写中建议应介绍数学文化以拓展学生视野［4］.数学文化与人文、科学技术以及广泛的社会生活联系紧密，是培养学生“三会”即会用“数学眼光”“数学思维”以及“数学语言”观察、思考及表达现实世界的重要通道.

国内对于勾股定理内容所涉及数学文化的研究较少，现有文献主要聚焦于教材比较研究或教学研究.勾股定理内容有着丰富的数学文化内涵，且美国与新加坡数学教育方面位于世界先列.基于此，本文将对中、美、新三国四版教材中勾股定理内容的数学文化进行比较研究.

2 研究设计

2.1 研究对象

以美国McGraw-Hill出版社出版的Glencoe Math Course 3 （以下简称“GM版”）、新加坡Shinglee出版社出版的New Syllabus Mathematics 2（以下简称“NSM版”）、中国人民教育出版社出版的《义务教育教科书·数学（八年级下册）》（以下简称“人教版”）以及北京师范大学出版社出版的《义务教育教科书·数学（八年级上册）》（以下简称“北师大版”）四版教材中的勾股定理内容作为研究对象.

2.2 研究框架

研究借鉴汪晓勤［5-6］等对数学教材中数学文化内容类型的比较框架设计，框架将数学文化分为五类：知识源流、学科联系、社会角色、审美娱乐以及多元文化，如表1.

3 研究结果

3.1 整体统计结果

采用上述理论分析框架，对四版教材中数学文化的内容类型分别进行统计，统计结果如表2所示.根据表2中数据可知，四版教材均在“社会角色”类别中占比最大，相比其他版本教材来说，NSM版占比最大，GM版排在第二.而四版教材在“审美娱乐”类别占比最小，NSM版与GM版均未涉及该类别内容，人教版与北师大版也分别仅涉及1处.此外，人教版与北师大版在“知识源流”与“多元文化”类别中的占比均大于NSM版与GM版教材.

（1）知识源流

“知识源流”素材通过数学史、人物以及事件等展现数学发展的来龙去脉，是数学文化的重要组成部分.四版教材中均对勾股定理的源流进行简介，其中，NSM版与GM版采用传说中的毕达哥拉斯证法，同时提到中国关于勾股定理所作出的贡献.而人教版采用《周髀算经》中赵爽的证明方法，并在章前图中提及2002年在北京召开的国际数学家大会会徽.北师大版教材对勾股定理进行简介，简介中不仅涉及中国，还提及古希腊等国外文化源流及证法，并在习题中提及传说中的毕达哥拉斯证法.不同于NSM版与GM版，人教版与北师大版还提到《九章算术》中计算芦苇长度的历史名题，人教版还提及竹子折断的问题，并进行一定程度的改编.

（2）学科联系

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出的“三会”核心素养培养要求中，多次提及建立数学与其他学科的联系，要求能在其他学科中发现并用数学语言表达事物的性质、关系及规律［4］5-7，丰富学生观察世界的角度.“学科联系”主要分为“科学技术”与“人文艺术”两类.

在“科学技术”子类别中，四版教材对地球科学与工业建筑科学较为关注.在地球科学中，GM版涉及北卡罗莱纳州三角区（如图1）、怀俄明州对角线长度以及飞机飞行高度等素材;NSM版涉及轮船航行航线等素材;人教版涉及轮船航行与A，B，C三地地理位置等素材（如图2）;北师大版涉及帆船航行等素材.在工业建筑科学中，NSM版与GM版分别以工厂传送带和为楼梯建扶手、建轮椅坡道作为素材设计例习题；而人教版教材在该子类别中只涉及零件问题，且设计3道以工业零件为背景的习题；北师大版以零件设计和城墙与护城河为素材设计习题.

在“人文艺术”子类别中，GM版教材以设计彩色玻璃窗户为素材，NSM版以设计儿童桌子为素材，北师大版以雕塑是否垂直为素材，人教版在该子类别中没有涉及相关素材.

（3）社会角色

数学不仅在科学技术领域起着重要作用，同时数学与社会的关系也密不可分.“社会角色”主要分为个人日常生活和社会生活两类.如图3所示，NSM版与GM版教材在该类别中涉及素材较多，且不同于中国教材的素材分布，NSM版与GM版教材更多的将素材集中在个人日常生活中.

在個人日常生活中，相比中国教材而言，GM版与NSM版教材除素材分布占比较多外，两版教材中的素材也比中国教材中更加活泼，同时也更具真实性.GM版教材涉及的素材有计算猫在树上的高度、到奶奶家的距离、鸟与男孩的距离及鱼竿能否装入盒子等日常生活素材，还有校园嘉年华帐篷等校园生活类素材，以及派对帽子与装饰、滑翔伞运动等娱乐素材（如图4）；NSM版教材涉及的素材有菱形地砖、快递员送包裹路线、公文包对角线等日常生活素材以及操场对角线等校园生活素材.人教版与北师大版教材涉及的素材较少，人教版涉及小明向不同方向行走与门板能否放入门框等日常生活素材（如图5）；北师大版涉及木条放入电梯、计算电视机尺寸等日常生活素材.

在社会生活中，四版教材均涉及计算靠在楼房旁的梯子长度等，其中GM版还提及河水深度等素材，NSM版教材提及聚光灯照射与投影等素材，人教版与北师大版涉及蚂蚁爬纸箱计算最短距离与将木棒放入纸箱等素材.

（4）审美娱乐

数学具有美学价值，数学教育教学过程中需要帮助学生感悟数学的审美价值［8］，发现数学美，欣赏数学美，体验数学美以及创造数学美［4］.在教材中主要由“审美娱乐”素材承担，其主要包括数学审美与趣味数学.NSM版与GM版教材均未涉及该类别的素材.人教版教材呈现数学海螺图，利用勾股定理知识与无理数向学生展现数学美.而北师大版教材在习题中，通过让学生操作的方式引导呈现“毕达哥拉斯树”，让学生感受并体验数学美.不同于人教版的内容设置，北师大版将实数的学习安排至勾股定理之后，数学海螺图也安排至实数章节内.

（5）多元文化

“多元文化”主要是不同时间、地域以及文化背景下的数学素材，分为多元文化创造与应用.在该类别中，GM版教材涉及素材占比最少，北师大版教材素材数量最多.在多元文化创造中，GM版教材仅提及毕达哥拉斯和中国对勾股定理的贡献，NSM版教材中的素材包括毕达哥拉斯在音乐方面的建树（如图6）以及费马大定理，中国教材更注重多种证法的展现，人教版教材在阅读与思考中提及传说中的毕达哥拉斯证法与美国总统加菲尔德证法，要求学生按提示尝试完成证明，此外还提及毕达哥拉斯的发现以及费马大定理等.北师大版教材在习题中将美国总统伽菲尔德证法改编，以问题的形式呈现，并在读一读中呈现古印度的无字证明、意大利画家达芬奇的方法等.在多元文化应用中，四版教材相关素材较少，均只提及埃及绳结问题.

4 讨论

在教材中融入数学文化是拓宽学生视野的重要方式.从发扬中华民族传统文化来看，中国两版教材充分地展现了中国古人在勾股定理方面所作出的贡献，增强了学生的文化自信，提升了学生的民族自豪感.但在培养学生用数学的眼光认识与探究现实世界方面，GM版与NSM版教材做得较好，中国教材还可以展现得更多.

人教版与北师大版教材较好地展现了数学史与多元文化，尤其是关于勾股定理的证明方法，北师大版更是介绍了除文字语言证明之外的无字证明，此外两版教材还各涉及1处审美娱乐类型素材.但数学史与多元文化并不全是勾股定理证明等创造性内容，更多的以应用形式存在于数学文化之中，目前两版教材编写应进一步增加数学史与多元文化应用类素材.此外，《义务教育数学课程标准（2022年版）》对教材编写的建议在旧版课标“呈现内容的素材应贴近学生现实”的基础上增加了“真实可信”的要求，中国两版教材中，个人生活作为数学文化背景的内容较少，且素材与学生生活背景的贴合度与素材的真实性也有待改善.

美国与新加坡十分重视现实世界教育，并强调将培养21世纪技能落实［9］.在GM版教材中每一节都设有Real-World Link与Real-World Examples栏目（如图7），同时，教材习题以及其他栏目也都充分展现了贴近学生生活现实的编写原则.新加坡NSM版教材还有着一定的人文价值以及较为丰富的数学文化类型.两版教材在勾股定理内容中，有着较多的校园及娱乐生活素材，整体编排生动活泼，素材更具真实可信度.

5 建议

纳百家之长以厚己，通过将中国数学教材中的数学文化与美国和新加坡教材进行比较，对我国教材编写提供一些有益的启示.基于以上研究，提出以下建议.5.1 素材选取应更贴近学生的生活现实

教材可提升素材与学生个人日常生活的贴合度，捕捉学生个人日常生活中的勾股定理.同时，应进一步增加校园生活与娱乐生活等学生最容易接触到、最感兴趣的内容，以及其他贴近学生生活现实且具有趣味性的题材.教材编写时应结合学生认知水平和生活经验，选取符合学生年龄特点和认知加工特点的素材，从生活实例中培养学生用数学的眼光观察世界的能力.

5.2 素材应更注重创设真实情境

首先，教材应注重增加素材的真实可信度，提供更加生动活泼的数学文化素材，将可分离运用水平的素材进行删减或替换.比如，减少出现以“A，B，C”等形式表示地名的素材类型，以真实的地名取而代之则更具真实性；又如GM版教材中去奶奶家路线的素材比小明向不同方向行走的问题更具可信度；再如GM版教材中鱼竿放入盒子比人教版中木条放入盒中更加有意义.

其次，应进一步挖掘现实生活中真实的数学问题.比如，浙江省东阳市村民有着祖传的木工手艺，他们在制作衣柜时分别在横向60厘米和竖向80厘米处钉小钉子，然后测量两钉子之间的距离是否为100厘米，以此来检验衣柜上顶的平面角是否为直角，衣柜是否方正［10］.教材应以真实问题作为素材与学习的载体，关注情境的真实性，从而增强学生认识真实世界、解决真实问题的能力.5.3 丰富素材中的数学文化类型5.3.1 增加与跨学科内容的联系

首先，应均衡数学与科学技术的类型.数学与科学技术类型中，教材较多地关注地球科学与工业建筑科学类型，较少的涉及生物科学、物质科学以及高新技术等类型.我国两版教材中多次将零件问题作为勾股定理学习的背景素材，导致与科学技术类的学科联系素材内容单一，不利于发展学生跨学科应用意识.因此，应丰富数学与科学技术联系的素材类型，比如可以将勾股定理与等高线地形图、与草本植物缠绕树干［11］等学科内容进行联系，培养学生跨学科思维应用.

再者，数学不仅与科学技术联系紧密，数学与人文艺术也有着很深的渊源.在新加坡NSM版教材中以附加的形式提到毕达哥拉斯在音乐领域发现音律的五度相生法，然而在历史上中华民族非常重视音乐，甚至将音乐与朝代更迭相联系.朱载堉作为十二平均律的创作者，曾将黄钟长度1尺通过勾股定理化为弦幂再开方等方法，计算出十二平均律各律数值，是世界历史上将数学与音乐完美结合的第一人［12］.这些素材不仅能发扬中华民族传统文化，增加学生的文化自信，还可以让学生感悟数学的魅力，体验数学的人文价值与应用价值.

5.3.2 丰富数学史的应用类素材

除证明方法之外，在历史上勾股定理有着丰富的文化内涵与广泛的应用，教材应增加勾股定理应用类的历史素材.比如，历史早期的陈子测日［10］3-4与大禹治水［10］96等著名的勾股定理应用问题，还有明代程大位所编《算法统宗》中的秋千问题等中国古代问题［13］.教材应当继续挖掘数学史中的应用素材，更丰富地呈现历史源流与多元文化类数学文化素材.

参考文献

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［11］杨裕前，董林伟.义务教育教科书，数学.八年级上册［M］.南京：江苏凤凰科学技术出版社，2013：91.

［12］周明儒.数学与音乐［M］.北京：高等教育出版社，2015：70-73.作者简介 冯源（1998—），女，陕西延安人，硕士研究生;主要研究数学教学论.