陈计的一个四面体不等式猜想的加强

西安交通大学附属中学 樊益武 (邮编：710054)

本文约定：四面体A1A2A3A4内任一点P到Ai的对面的距离为di，Ai的对面的面积为Si(i=1,2,3,4)，V,R,r分别为四面体的体积、外接球和内切球的半径.Σ表示循环和，Π表示循环积.

1994年，彭诚建立了如下不等式[1]

①

1996年，陈计将(1)加强为[2]

②

并在文末提出如下猜想：

③

本文旨在加强(3)，我们得到了如下：

④

当且仅当P为正四面体中心时取等号.

引理1设a,b,c,d>0. 则

(a+b+c+d)6≥1024abcd(a2+b2+c2+d2)

⑤

当且仅当a=b=c=d时取等号.

证明不妨设a+b+c+d=1,a≤b≤c≤d，令

f(a,b,c,d)=1-1024abcd(a2+b2+c2+d2)，

128bd(a-c)2[(a-c)2+2b2+2c2]≥0，

1-1024x3(1-3x)[3x2+(1-3x)2]≥0.

由于g′(x)=3072x2(4x-1)(18x2-8x+1)≤0，

证毕.

⑥

⑦

化简既得⑦.证毕.

⑧

⑨

⑩

证明由⑧，我们有

化简即为⑦.证毕.

由证明过程不难看出取等条件.证毕.

由④出发，可以证明③.事实上，由均值不等式