滚动摩擦成因分析

张马悦,陈思博,桑芝芳

(苏州大学 物理科学与技术学院，江苏 苏州 215006)

物体的滚动是物体的运动形式之一，然而在很多大学物理教科书中，对于物体滚动中的摩擦问题解释过于简略，有些直接忽略[1-3]，导致部分学生对滚动摩擦知之甚少，对其认识仍只停留在高中阶段，只认识到：当压力相同时，滚动摩擦力比滑动摩擦力小很多.笔者认为学生有必要对滚动摩擦的成因及其相关知识有所掌握.一方面，在实际生活中或者在做物理实验过程中，滚动摩擦作用往往不可忽略；另一方面，学习滚动摩擦有助于学生形成完整的力学知识体系.本文对滚动摩擦的成因做了简要分析，并且对滚动摩擦和滚动摩擦力这两个概念进行了阐释.

1 滚动摩擦的成因分析

滚动摩擦在我们的实际生活中十分常见.例如，压路机在工作时，路面由于发生不对称形变，对碾轮的滚动起阻碍作用；自行车在水平地面上行进时，轮胎由于发生不对称形变，导致地面对其作用力不对称，阻碍其滚动.由于材料、硬度、表面状况等因素的不同，滚动物体与支承面之间的滚动摩擦还可能受热弹性滞后、微观滑动以及塑性滞后等作用的影响，可见实际的滚动摩擦情况相当复杂.为了方便研究，我们假设两接触物体中的其中一个为刚体，另一个物体在力的作用下发生形变，不易发生形变的物体较硬，易发生形变的物体较软.从中，我们简化出两种基本模型：1) 刚体在水平软支承面上的滚动；2) 软物体在水平刚性支承面上的滚动，并且假设滚动物体在支承面上做无滑滚动，以便进一步分析滚动摩擦的成因.

1.1 刚体在水平软支承面上做纯滚动

我们假设滚动物体为圆柱形刚体，软支承面在压力的作用下发生形变.若圆柱体在水平支承面上静止，如图1所示，圆柱体受重力FG作用，支承面发生的形变是对称的，因而对圆柱体的支持力对称分布在重力作用线两侧，支承面对圆柱体的支持力合力FN通过圆柱体质心O.FG与FN构成一对平衡力，故物体不发生滚动.

图2 物体受水平外力作用

若在柱体质心O处施加一个水平力F，如图2所示，此时支承面会对圆柱体产生一个与力F方向相反的摩擦力Fs，物体将在力Fs产生的力矩作用下向右滚动.然而，在实际情况中，当水平力F不太大时，物体仍能在支承面上保持静止.这是因为受材料黏弹性性能影响，当物体发生滚动或者有滚动趋势时，支承面的形变是不对称的，从而使得接触面上的支持力分布不对称，如图3(a)所示.

接触面上分布力的示意图

将接触面上不对称分布的力进行合成，合力为F0，并可等效看成作用在接触面上的A点，如图3(b)所示.为了便于描述A点的位置，我们建立以O点为坐标原点，以水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向的直角坐标系，则A点坐标可表示为(xA,-yA,0)，其中xA>0，yA>0.FN为F0的竖直分力，近似与支承面垂直；Fs为F0的水平分力.此时在竖直方向上有FG+FN=0，在水平方向上有Fs+F=0，因而合外力等于0；又由于FN和FG构成一对力偶，产生力偶矩为M=xAFN；F和Fs构成一对力偶，产生力偶矩为M′=yAFs，M和M′大小相等，方向相反，从而合力矩等于0.因此，物体仍能在支承面上保持静止.由上述分析可知，FN和FG这对力偶产生的力偶矩起着阻碍物体滚动的作用，称为滚动摩擦力偶矩，大小为M=xAFN.

当水平力F逐渐增加时，支承面对圆柱体作用力的作用点A向前移动，FG与FN之间的距离xA增大，滚动摩擦力偶矩也随之增大，直到xA增大到可能达到的最大值δ时(图4)，物体便达到了一个将滚未滚的临界平衡态.这时，滚动摩擦力偶矩达到最大，称为最大滚动摩擦力偶矩，用Mmax表示，其大小为Mmax=δFN.在物理学中，我们通常把δ称为滚动摩擦因数，它具有长度的量纲，经实验测定，滚动摩擦因数大小跟滚动物体和支承面的材料硬度、表面状况等因素有关[4].

图4 最大滚动摩擦力偶矩

如果继续增大力F，Fs也随之增大，当F和Fs产生的力偶矩大于最大滚动摩擦力偶矩，即M′=yAFs>Mmax时，柱体将会加速滚动.在滚动的过程中，滚动摩擦力偶矩大小近似等于Mmax；如果撤去力F(图5)，物体将继续向前滚动，但在滚动摩擦力偶矩M作用下，柱体的角速度将会逐渐减小直至为零，柱体最终静止在支承面上.从上述分析我们可知，柱体所受滚动摩擦力偶矩大小介于零和Mmax之间，即0≤M≤Mmax.

图5 无外力作用下的滚动

对于同一滚动物体而言，支承面越硬，其滚动摩擦因数δ就越小，受到的最大滚动摩擦力偶矩也越小，物体滚动时受到的阻碍就越小，反之亦然.这也解释了为什么我们在软质地面上骑车比在硬质地面上骑车感觉更费力.

1.2 软物体在水平刚性支承面上做纯滚动

下面我们讨论软物体在水平刚性支承面上的纯滚动.在这一模型中，支承面为刚体，滚动物体为发生形变的圆柱体，例如行进中的自行车轮胎.如图6(a)所示，当物体静止在水平支承面上时，与支承面的接触面上受到的支持力对称分布，其合力与重力平衡.

若使柱体在水平力F的作用下发生无滑滚动，则柱体还将受到一个向后的静摩擦力以防止物体与支承面之间发生相对滑动.经实验证明，柱体在滚动过程中接触面上各点所受到的支持力呈不对称分布，后部支持力相比前部迅速减小，分布情况大致如图6(b)所示.类似地，将接触面上分布的力进行合成，支持力合力FN可等效看成作用在接触面中心点前方的A点，静摩擦力合力为Fs，如图6(c)所示.同样建立以柱体质心O点为原点，以水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向的直角坐标系，我们可以表示出点A的坐标为(xA,-yA,0)，其中xA>0，yA>0.重力FG和支持力FN构成一对力偶，对物体的滚动起阻碍作用，该力偶矩就是滚动摩擦力偶矩，大小为M=xAFN.

支持力对称分布

由滚动摩擦力偶矩公式可知，在自行车行进过程中，自行车胎气充得越足，车胎与地面接触面积就越小，xA就越小，滚动摩擦力偶矩就越小，自行车骑起来就更为容易.

综上所述，滚动摩擦是一个物体在另一物体上滚动或有滚动趋势时，支承面对滚动物体作用力的不对称分布所引起的一种阻碍滚动的作用.这种力的不对称分布既可以是由于滚动物体的不对称形变产生的，也可以是由于支承面的不对称形变产生的.如果两个物体都为刚性的，则支承面对物体的支持力作用点位于两刚性物体的接触点A处，此时xA=0，物体不受滚动摩擦作用，而是受静摩擦力作用[5].当然，在现实生活中，绝对刚体是不存在的，任何物体在受力作用后，都会或多或少地发生一定量的形变，实际发生的滚动摩擦是一个更为复杂的过程.国内外也有许多学者对不同情况下物体所受滚动摩擦的成因进行了深入研究[6-8]，进一步完善了滚动摩擦理论.

2 滚动摩擦与滚动摩擦力

通过上述讨论我们可知滚动摩擦对滚动物体的阻碍作用，是由支承面对物体支持力的力矩造成的，即滚动摩擦的实质不是力而是力矩.然而，学生普遍存在“当压力相同时，滚动摩擦力比滑动摩擦力小很多”这一观念.那么如何理解滚动摩擦力这一说法呢，我们对此作以下探讨.

图7 物体在水平外力作用下做纯滚动

我们以刚性均质圆柱体在水平软支承面上做纯滚动为例，假设物体在水平力F作用下做纯滚动，如图7所示，根据刚体运动规律有

F-Fs=max

(1)

Iβz=yAFs-xAFN

(2)

FN=mg

(3)

ax=βzr

(4)

其中，m为圆柱体的质量，ax是柱体质心的加速度，βz是柱体相对于质心轴的角加速度，r为圆柱体半径，I为圆柱体转动惯量.通过上式可解得

从物理学角度而言，滚动摩擦和滑动摩擦两者性质并不相同.人们普遍认为“当压力相同时，滚动摩擦力比滑动摩擦力小很多”，是因为人们通常是用使物体前进所需的外力来衡量是否省力还是费力的.也就是说，当压力相同时，克服物体滚动摩擦所需要的外力要比克服物体滑动摩擦所需要的外力小得多.我们通常采用滚动摩擦力这一说法也是为了基于学生的认知水平更好地向学生解释轮子、小车等物体的运动情况.

3 结语

本文分析了刚体在水平软支承面上做纯滚动和软物体在水平刚性支承面上做纯滚动两种情况下所受滚动摩擦的成因.分析表明，滚动摩擦是一个物体在另一物体上滚动或有滚动趋势时，支承面对滚动体作用力的不对称分布所引起的一种阻碍滚动的作用，其实质不是力，而是力矩.本文还进一步阐释了如何理解滚动摩擦力这一概念，希望对更全面地认识物体的滚动运动有所帮助.

在实际课堂中，教师应改进对滚动摩擦等相关知识的教学，进一步完善学生的知识体系，对于学生有可能产生的困惑和认知错误加以及时纠正，以正确的教育理念和方法促进学生物理学科素养的提高.