傅里叶级数的物理具象化课程设计

刘 翌

(北京师范大学 物理学系，北京 100875)

“数学物理方法”课程旨在讲授解决物理问题的有针对性的数学方法，以解决普通物理阶段尚不需要求解、也未包含在高等数学课程中的偏微分方程等，为后继电动力学、量子力学等专业课程奠定数学基础. 课程内容主要分为两个部分[1-6]：复变函数和数学物理方程.前者为后者提供解方程所需的数学知识基础.

笔者在多次师生沟通交流中发现，学生对本课程有一定的直观感受：大多认为复变函数是一门“数学课”、“缺乏物理”.对于物理学专业的学生来说，在专业课程中体现物理场景、运用物理规律、解决物理问题，是保证数学与物理知识紧密衔接的必要手段，有助于提升学生主动探索物理问题的积极性，也进一步提升了学生学习效果.

复变函数的课程内容中的傅里叶级数展开和傅里叶变换既是重要的数学工具，也是分析物理量性质的常用手段.理解傅里叶分析[7]的思想并能灵活运用是此章节的重要教学目标.本文将复变函数中傅里叶变换部分内容的基础，即傅里叶级数展开与具体物理图像结合，展示该方法的物理意义，将其定位为物理分析手段，而不仅仅是一种数学运算.文中引入生动的物理场景，使课程中的物理图像“具象化”，让学生直观地感受课堂内容与具体物理问题的结合，强化傅里叶级数展开和傅里叶变换是分析物理量的重要手段的基本思想.

1 引入：课堂实验

笔者在教学中逐渐摸索出一种直观生动的“开章”方式，让学生先从心理上轻松地接受做傅里叶分析是“日常生活”中常见的操作，是每个人的“天赋”. 采用课堂演示实验的方式：使用便携式的手卷钢琴(一般可以充电后使用，不受电源限制)现场弹奏演示以下三组声音.

1) 弹奏中央C的do音，频率(基频)为262赫兹，同时课件演示对应波形图(图1第一行)；弹奏高八度的do音，对应倍频波形[图1第二行]；弹奏更高八度的do音，对应4倍频波形(图一第三行)；然后同时弹奏这三个do音，课件显示三个波形等幅叠加的波形(图1中第四行)，呈规则周期.

图1 第一组三个do音及其合奏对应的波形.

2) 再次弹奏中央C的do音(图2第一行)，然后依次弹奏同一个八度的mi(图2第二行)和sol音(图2第三行)，课件同时显示对应波形；然后合奏这三个音(C大调的大三和弦)，显示等幅叠加波形，也较为规则(图2第四行).

图2 第二组do、mi和sol音及其合奏对应的波形.

3) 弹奏三个相邻的单音升re(图3第一行)、mi(图3第二行)、和fa(图3第三行)，显示对应波形(频率相差小)，然后同时弹奏这三个音，显示对应等幅叠加波形，在与上两组相同的区间内完全没有规律行为(图3第四行).

图3 第三组升re、mi和fa音及其合奏对应的波形.

以上波形和听到的声音之间有“悦目”和“娱耳”的关联：听到的声音和谐悦耳的时候，看到的波形也是规则的、有明显周期性的，如三个do合奏以及C大调大三和弦；听到的声音刺耳难听的时候，看到的波形也不具有明确的规律性，还可以进一步推广到极端情况，即完全无周期性的白噪音.这样的关联是直观生动的，向学生提问怎么理解这样的关联，引导学生讨论，最终将问题归结到我们的耳朵是怎么判断声音动听还是难听的，答案是人类的听觉系统天生会做傅里叶分析，先暂时留个悬念，待本节课的后面“揭秘”这项“天赋”.

2 展开：以物理图像为例

本课主要内容是傅里叶级数展开，数学概念的讲解完成之后举例做级数展开.首先是电子线路中常用的方形波的展开.方形波的数学表达可以用符号函数sgnx代表，不同的函数取值(1和-1)代表高电位和低电位.积分运算确定展开系数，得到无穷级数求和的展开表达式为

图4 方形波的傅里叶级数展开示意图. 黑色线段表示原方形波，不同灰度曲线对应级数展开求和上限N取不同值的结果.

再举例全波整流交流电的傅里叶级数展开.同样以展开表达式作图(如图5所示).可以发现只需两个正弦波即可大致叠加出原波形的主要行为.

图5 全波整流交流电的傅里叶级数展开示意图. 黑色曲线为原波形，灰色为级数展开只取基频和二倍频的结果.

这里所举的例子都是学生在普通物理阶段接触过的电波信号，重温这些物理背景使得学生加强对本课程的专业认知，而不是将复变函数单纯地作为一门“数学课”来上.

3 深入：以物理分析为目的

以上两个例子(方形波和全波整流交流电波)给了学生直接的认知：傅里叶级数展开可以得到周期波形的基础频率成分，虽然理论上有无穷多个，但是一般前若干项就可以很好地重复原波形.

在此基础上重新审视和弦实验的结果.首先需要理解听觉系统的工作方式[8]：我们的耳朵里有一个重要的部件叫做耳蜗，在耳蜗的螺旋区域里，不同位置上的神经元对应不同频率的声音刺激发放神经电位脉冲，传入大脑形成听觉.因此，耳蜗相当于对听到的声音做了即时傅里叶分析，对其中的各个主要单音成分分别做出神经信号响应，等同于我们在对方形波与全波整流交流电做傅里叶变换时得出若干频率不同的正弦波，这些正弦波能把原波形(大致)描述出来.

和弦对应的信号是三个单音叠加而成的波形(如图1-3所示).这个声音在听觉系统里转换为三个主要成分的频率.对于图1第一组声音，三个单音之间有简单的倍频关系，这种声音在乐理上定义为“乐音”，是人类听觉系统很自然接受的声音.图2第二组C大调的大三和弦的单音频率的比例大致为4：5：6，简单的比例关系对应听觉神经较为“和谐”的脉冲发放，感官上是听觉系统“喜欢”的“好听”的声音.而图3三个相邻的单音之间有很复杂的比例关系，约是119:126:133，相当“不和谐”的神经脉冲发放导致听觉系统“不喜欢”这样的声音[8].

对课堂实验的解释揭示了人类听觉系统做傅里叶分析的“天赋”，从而进一步形象地展示了傅里叶级数展开可以确定周期性物理量中“基础频率”成分，达到分析本质机制的目的.

4 拓展：傅里叶变换

对于没有显然的周期性的物理量，傅里叶级数展开需要拓展到傅里叶变换才能施行，其核心思想是将其周期视为无穷大，则“基础频率”之间的间隔为无穷小，即连续频率，无穷级数展开转化为无穷积分，即傅里叶变换.为了更直观地展示出傅里叶变换在分析物理量上的应用，这里以光脉冲为例展开讨论.

通常可以用高斯分布来模拟一段光脉冲信号的包络，光强与时间的关系可记为

(1)

其中ω0是该脉冲的发生频率，常数σ与脉冲的宽度成正比，对应波形如图6左所示.对此光脉冲作傅里叶变换，得

(2)

其中ω即是光脉冲中包含的光的频率，对应的光强与频率的关系如图6右图所示.由图可见，在发生频率附近仍有最大光强分布，同样构成高斯型，其宽度与σ成反比.光脉冲的宽度，即脉冲持续时间与频率分布宽度成反比.这是光学分析中一个很重要的结论：光脉冲越窄，光的频率分布越宽.进而推及获得纯单色光的物理极限是无限长的光脉冲.

图6 光脉冲示意图(左)与对应的频谱分布(右).

光脉冲信号的傅里叶变换一例揭示了傅里叶变换与傅里叶级数展开同样的功用：都是用来提取出物理量“本征频率”的数学手段，都是分析物理量本质的常用方式.

5 课堂设计小结

本课的核心思想是借助声音实验和电波信号分析这两个具体的物理案例，充分展示傅里叶级数展开这一数学工具在物理场景中的应用；再将傅里叶级数展开拓展至傅里叶变换，结合光脉冲的频谱分析展现傅里叶变换在研究物理量“本征频率”上的重要应用，将课程内容定位于解决物理问题的数学工具.由于物理图像在数学知识中具体地体现了出来，给学生弥补上复变函数部分“缺乏的物理”，这种物理图像的“具象化”使学生在学习过程中加强了本课程是物理专业课的认知，对于提高学生的学习热情有积极的帮助.傅里叶级数展开和傅里叶变换在后继课程中有广泛的应用，不仅仅是一种数学计算，课堂上的直观物理图像有利于让学生达到灵活运用数学工具的目的.