聚焦“调整”经历过程——以“解决问题的策略（例2）”的教学为例

江苏沭阳县学府路小学（223600）王建芹

一、课前思考

“解决问题的策略（例2）”是苏教版教材六年级下册第三单元的教学内容，是小学阶段策略版块的最后一个课时，是对之前学过的策略进行合理选择、灵活运用的一节课。教材编排的例题是一道与“鸡兔同笼”问题相类似的实际问题，教材在呈现问题之后，引导学生选用不同策略解决问题，并呈现学生可能出现的三种解题思路。第一种思路是用画图的策略解决问题，即假设10只全是大船，一共能坐50人，通过与42人作比较，再从图上直观地去掉8人；第二种思路是用列举的策略解决问题，即根据“租10只船正好坐满”这一条件，把10只船分为大船和小船，从“大船9只、小船1只”开始有序列举，把可能出现的情况借助表格呈现，再通过分析比较，得出大船和小船的只数；第三种思路是用假设调整的策略解决问题，即假设大船和小船的只数同样多，都是5只，根据船的只数来确定乘船人数，再与总人数42进行比较，依据比较的结果适当调整大船和小船的只数，从而找到正确答案。

通过对苏教版教材呈现的这三种解题思路进行研究发现，无论是画图、列举还是假设调整，都是先基于假设的船的只数算出乘船的人数，再将乘船人数与实际人数42作比较，最后通过乘船人数调整船的只数，得出最终结果。学生在解决此类问题时，应用列举策略的较多，而选用画图和假设调整这两种策略的较少，究其原因，主要是后两种策略需要对出现的情况进行适当调整，而“怎样调整”是学生学习的难点。因此，教学中既要关注策略的合理应用，更要关注不同策略应用过程中“怎样调整”这一本质问题。

二、教学实践

1.问题导学，建立联系

【教学片段1】

师：我们之前学过哪些解决问题的策略？

生1：从条件想起、从问题想起、画图、列表、列举、转化、假设等。

师：大家说得非常全面！就让我们合理选择、灵活运用这些学过的策略来解决问题。

师：全班42人去公园划船，租10只船正好坐满。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租的大船、小船各有多少只？

（让学生读题，找出题中的条件和问题）

师：如何解决问题？

生2：可以用假设法。

师：说说你的假设。

生3：假设10只全是大船或者10只全是小船，算算坐多少人，再与42人作比较。

生4：假设5只大船和5只小船，算算坐多少人，再与42人作比较。

……

师：看来无论是哪种方法，都要与总人数42人作比较。

师：你还打算运用哪些学过的策略来解决这个问题呢？请大家先独立思考，然后在练习本上尝试解决。

设计意图：苏教版教材从三年级上册开始，对一些解题方法进行提炼，以单元的形式进行编排，形成“解决问题的策略”版块。六年级的学生经历了前几个阶段的学习，对学过的策略已有初步的体验与感悟，积累了应用策略的数学活动经验。课始，教师通过让学生回顾并列举学过的策略，唤醒学生已有的数学活动经验，为解题时策略的选择和应用建立联系。为降低“鸡兔同笼”类问题的解题难度，教师先引导学生对数量关系进行简要分析，将“船的只数10”与“乘船人数42”建立联系，培养学生独立思考、合理选择、灵活解题的能力。

2.探究让学，沟通联系

【教学片段2】

生1：我用的是画图的策略。假设10只全是大船，一共能坐50人，比原来的42人多了8人，所以只要去掉8人就可以了。我们可以在每只大船上去掉2人，4只大船就去掉8人。这4只大船就变成了小船，剩下的6只还是大船。（如图1）

图1

师：谁对生1的解法有疑问？

生2：为什么每只大船非要去掉2人，去掉1人可以吗？

生3：每只大船坐5人，每只小船坐3人，都要坐满。如果去掉1人，表示没有坐满，不符合条件，所以每只大船只能去掉2人。

师：还有谁也是用画图的策略？请介绍一下。

生4：假设10只全是小船，一共能坐30人，比原来的42人少了12人，所以要在每只小船上增加2人，让小船变成大船。这样，6只小船增加12人，所以有6只小船变成了大船，剩下的4只仍是小船。（如图2）

图2

师：这两位同学都是用画图的策略来解决问题的，这两种方法有没有相同之处？

生5：都是通过调整乘船人数来确定大船和小船只数的，而且每只船上只能调整2人。

师：说得非常好！他们都是先假设大船或小船的只数，结合题中的条件和问题，把乘船人数与42人作比较，然后根据相差的数量进行调整，直到与42人完全相等，从而确定大船和小船的只数。运用画图的策略，调整的过程非常直观，一目了然。

设计意图：让学生在边画图边思考的数学活动中，以“为什么非要去掉2人”为核心问题，通过直观的图示，突破“每只船只能调整2人”这一教学难点；让学生在操作交流、类比分析的过程中，经历“乘船人数如何变化”到“大、小船只数怎样确定”这一完整的学习过程，初步感受“怎样调整”的方法，培养学生的分析推理能力。

【教学片段3】

生1：我用的是一一列举的方法，借助表格来完成。

师：具体说说你是怎么想的？

生1：从9只大船、1只小船开始列举，算出坐船人数是9×5+1×3=48（人），比实际42人多出6人，说明大船多了，所以减少1只大船，增加1只小船，乘船人数就是8×5+2×3=46（人），还多出4人，说明大船还是多了，需要再减少……当列举到大船6只、小船4只时，乘船人数正好是6×5+4×3=42（人），与实际人数相等。（如表1）

表1

生2：我是从9只小船、1只大船开始列举的……（如表2）

表2

生3：我是从9只大船、1只小船开始列举的，算出乘船人数是48人，然后与42比较，发现多出6人，说明大船只数多了。因为每只大船只能下来2人，所以要想下来6人，需要3只大船。于是我就列举6只大船、4只小船，通过计算，发现正好是42人，两步就可以找到答案了。（如表3）

表3

师：这位同学的列举与前两位有什么不一样？

生4：他发现了规律。

师：什么规律？

生5：多出的6人与大船只数有关。去掉3只大船就会减少6人，所以大船应该是9减3得6只。

生6：列举的目的是解决问题，当我们发现船的只数和人数之间的规律时，问题就可以迎刃而解了。

师：看来，在列举时我们既要关注船的只数，也要关注乘船人数。当规律已经很明显时，就可以直接确定大船和小船的只数了。

设计意图：策略的学习关键在于“悟”，只有让学生在课堂上充分经历感悟和体验的过程，学生才能实现对策略的“悟”。学生在展示一一列举的过程中，可通过先将乘船人数与实际人数42作比较，再结合每次只能调整2人的认知经验，找到调整的规律，悟出“怎样调整”的方法。数学学习中一旦“悟”出规律，所有的问题便可迎刃而解。“跳跃式调整”跃然纸上，“假设调整”便浮出水面。

【教学片段4】

生1：我的方法是先假设有5只大船、5只小船。船上的人数就是5×5+5×3=40（人），比实际人数少2人，说明大船少了，需要增加大船只数，减少小船只数。又因为每只船每次只能调整2人，所以大船就是6只，小船就是4只，总人数正好是42，与实际人数相等。（如表4）

表4

师：你是怎么想到5只大船、5只小船这种“对半假设”的方法的？

生1：刚才大家汇报的画图、列举的策略给了我启示，当大船和小船只数居中时，往上或往下调整都很方便，这样调整的步骤少，能很快找出答案。

设计意图：引导学生聚焦“调整”，由列举时的“跳跃式调整”正向迁移到“假设调整”，突显学生学习的自主性，突出教师教学的重点。假设调整策略中，假设其实只是一个引子，其根本是调整，让学生根据“乘船人数”调整“船的只数”，逐步逼近答案，感受“对半假设”的策略优势。

3.应用活学，优化策略

【教学片段5】

师（课件出示练习题）：学生制作了78件蝴蝶标本，贴在9块展板上展出。每块小展板贴6件，每块大展板贴10件。大、小展板各有多少块？

师：你怎样解决这个问题？先独立完成，然后与同桌交流，说说自己的想法。

生1：我是用列举的方法来解决的。从1块大展板、8块小展板开始列举，一共可以展出58件蝴蝶标本，比实际数量少20件，所以要增加大展板的数量；2块大展板、7块小展板，还少16件，也就是增加1块大展板，相差数量由20件减到16件，减少了4件，那相差16件就需要增加4块大展板。于是，第3次列举数量为6块大展板、3块小展板，这样正好展出78件标本，与实际数量相等。（如表5）

表5

师：在调整的过程中，你能根据相差的数量进行跳跃式调整，了不起！看来，你对如何调整已经理解得非常透彻了。

生2：我用的是“对半假设”的方法，从9的一半开始列举。假设5块大展板、4块小展板，这样可以展出74件，比实际数量少4件，于是增加大展板的数量，得到6块大展板、3块小展板，正好展出78件，一步调整就能得到答案。（如表6）

表6

师：大家为什么不用画图的策略来解决呢？生3：数量太多，画图比较麻烦。

师：看来数量比较多时，画图就不太适合了。我们在解决问题时，要学会根据具体问题灵活选择策略。

设计意图：通过例题探究，让学生合理选用策略解决问题，架构起解决此类问题完整的思维路径，以发挥学生的学习自主性。在巩固应用阶段，设计与例题有着相似结构的习题，能够让学生在解决问题的过程中通过运用结构化的思维，从“经历”走向“经验”，实现思维进阶，充分感受灵活选择策略的重要性，最终形成理性思维。