例谈构造函数法在高考导数题中的应用*

⦿山东省滨州实验中学

王汉芹 刘玉华

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出：“对于较复杂的数学问题，能够通过构建过渡性命题，探索论证的途径，解决问题.”构造函数就是提出假设和引理的有效途径之一.但构造函数对学生的综合能力要求较高，考查学生对函数与方程、转化与化归、数形结合思想的深度理解.教学实践发现，多数学生不知道如何构造函数，要么走不少弯路，要么不知如何下手.因此，笔者围绕2020年和2021年新高考全国Ⅰ卷导数题构造函数问题展开研究，得到构造函数的常见题型和方法，以提高学生构造函数解决问题的能力，发展数学抽象、逻辑推理等数学素养.

1 同构法构造函数

所谓同构法构造函数，就是等式或不等式经适当整理后可以表示成两侧结构相同的式子，利用这个结构式构造对应函数，再用函数性质解决问题的方法.下面以2020年新高考全国Ⅰ卷第21题来说明这个方法.

例1(2020年新高考全国Ⅰ卷第21题)已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范围.

解析：(1)略.

(2)不等式f(x)≥1，即aex-1-lnx+lna≥1，其中x>0，a>0.

即elna+x-1-lnx+lna≥1.

即elna+x-1+lna+x-1≥x+lnx.

即elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx.

设g(x)=ex+x，x∈(0,+∞).

因为g′(x)=ex+1>0，所以g(x)在(0，+∞)单调递增.

因为elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx，所以

g(lna+x-1)≥g(lnx).

因为g(x)在(0，+∞)单调递增，所以

lna+x-1≥lnx，即lna≥lnx-x+1.

然后再求lnx-x+1(x>0)的最大值即可.

本题先得到同构式elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx，再构造函数g(x)=ex+x，x∈(0,+∞)，再利用函数g(x)的单调性，得到关于a的简单不等式，从而求解.同构式的获得，就是学生观察、分析、变形、构造的过程，这是一个从无到有的过程,可以提高学生发现问题、观察问题、分析问题和解决问题的能力，发展数学抽象、逻辑推理等核心素养[1].

指数对数混合问题同构式构造函数主要有以下几种模型[2]：

(1)和差型(ea±a≥b±lnb).

①ea±a≥elnb±lnb⟹g(x)=ex+x；

②ea±lnea≥b±lnb⟹g(x)=x+lnx.

(2)积型(aea≥blnb).

①aea≥(lnb)elnb⟹g(x)=xex；

②ealnea≥blnb⟹g(x)=xlnx.

这是本题变形成同构式时，用到的两个模型.常用的同构式除了和差积型之外，还有商型.

所以，在教学中，教师要引导学生总结指数对数混合问题常用函数模型.养成勤思考、善总结的好习惯，发展数学建模、逻辑推理等数学素养.

高考题中的导数题，经常有对同构法构造函数法的考查，例如下面这两道高考题和例1类似.

题1(2018年全国卷Ⅰ文第21题)已知函数f(x)=aex-lnx-1.

(1)设x=2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；

(1)求a,b；

(2)证明：f(x)>1.

2 放缩法构造函数

例1的第(2)问还可以利用放缩法构造函数解不等式.放缩法构造函数，是对函数进行放缩来证明不等式，常用于指数或对数的不等式问题中.常用的放缩函数有：ex≥x+1(x∈R,当x=0时等号成立)，lnx≤x-1(x>0，当x=1时等号成立)，以及由两者衍生出来的其他形式.

本题根据aex-1-lnx+lna≥1，利用两次放缩ex-1≥x，ln(ax)≤ax-1，并且等号同时成立的条件都是x=1且a=1.这样就能证得a≥1.

放缩法证明指数或对数不等式问题，在高考题中也是层出不穷，如前面题1(2018年全国卷Ⅰ文第21题)也可以运用放缩法求解.题3亦是.

题3(2013年全国新课标Ⅱ卷理第21题)已知函数f(x)=ex-ln(x+m).

(1)设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；

(2)当m≤2时，证明f(x)≥0.

2020年新高考全国卷Ⅰ第21题，体现了构造函数的两种方法，同构法构造函数和放缩法构造函数，与解决此题的常规方法——隐零点法对比，这两种方法更简洁，所以构造合适的函数可以达到事半功倍的效果.无独有偶，2021年新高考全国卷Ⅰ第22题也用到了构造函数法.

3 消元法构造函数

3.1 利用f(x1)=f(x2)消元

例2(2021年全国新高考Ⅰ卷第22题) 已知函数f(x)=x(1-lnx).

(1)讨论f(x)的单调性；

解析：(1)略.

由(1)及f(x1)=f(x2)，得0

要证2

2-x1

又因为f(x)在(1,+∞)单调递减，所以即证

f(2-x1)>f(x2)>f(e-x1).

即证

f(2-x1)>f(x1)>f(e-x1).

所以，构造函数

g(x)=f(x)-f(2-x)(0

h(x)=f(x)-f(e-x)(0

分别利用导数证明以上两个不等式即可.

此方法是利用双变量函数值之间的关系，进行消元.这里需要根据要证明的变量不等式构造函数，根据函数的单调性得到函数值之间的关系，进而利用函数值的关系消元.

3.2 引入新变量消元[3]

例2的第(2)问还可以引入新变量消元，消元之后再构造函数.

代入blna-alnb=a-b，得

bln(bt)-btlnb=bt-b，

即证ln2

3.3 直接代入消元

(1)讨论f(x)的单调性；

本题第(2)问根据x1x2=1的关系式，直接用x2表示x1，从而消去x1.

3.4 整体换元消元

(1)若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8-8ln2；

(2)略.

本题第(1)问将f(x1)+f(x2)表示成关于x1x2的式子，然后整体换元消元.

3.5 确定主元消元

例5(2020年天津高考第20题)已知函数f(x)=x3+klnx(k∈R)，f′(x)为f(x)的导函数.

(1)略；

解析：(1)略.

(2)题设不等式等价于(x1-x2)[f′(x1)+f′(x2)]-2[f(x1)-f(x2)]≥0.

以x1为主元，构造函数h(x)=(x-x2)[f′(x)+f′(x2)]-2[f(x)-f(x2)]≥0.

因为x>x2≥1，且h(x2)=0，所以只需利用导数证明h(x)在(x2，+∞)单调递增即可.证明过程略.

本题观察要证明的式子，其中x1和x2是对称出现的，所以确定x1或x2为主元，从而构造函数h(x).

4 几点建议

以上是基于新高考Ⅰ卷2020年和2021年导数压轴题得到的构造函数的主要方法.如何攻克构造函数问题呢？笔者提以下几点建议供同仁们参考.

第一，重基础.学生掌握好基础知识、基本技能、基本思想方法是灵活构造各类函数的基础.因此，在教学中，要下大力气夯实基础，抓好函数基本性质的复习.

第二，重思想.数学思想方法是数学的灵魂.在教学中，要加强数学知识之间的前后关联，重视数学思想方法的运用和渗透，提升学生数学思维能力.

第三，重实战.用构造函数法解决问题，需要细心观察、类比联想与变形转化，尽量构造易求导的函数.这种数学思维方法需要不断强化训练，才能灵活解决问题.

第四，重讲解.教师应精选题目，对此种类型的题目进行前挂后连、纵横联系，不断总结构造函数的规律，积累构造函数的方法，促进学生解题能力的进一步提升.

总之，我们要让学生学会构造函数解决导数综合题的方法，在解题过程中大胆变形，小心求证，提高解决综合性和创新性问题的能力.