广义模糊函数空间的稠密性和闭包表示

杨寒彪，林文辉，文钊颖，金迎迎，杨 琳

(1 五邑大学 数学与计算科学学院，广东 江门 529020；2 广州番禺职业技术学院 公共课教学部，广东 广州 529000;3 江门职业技术学院 化学材料系，广东 江门 529000)

令(P,≤)是一个偏序集，d是P上的一个度量。若(P,≤,d)由d导出的拓扑与(P,≤)的拓扑一致，则称(P,≤,d)是一个偏序度量空间。

对于一个紧度量空间(X,d)，以及一个紧偏序度量空间(P,≤,d)，令C(X,P)是所有从X到P的连续函数所构成的集合。本文认为连续函数f∈C(X,P)是一种广义的模糊函数。∀f∈C(X,P)，令

↓f={(x,p)∈X×P:p≤f(x)}，

称为f的超图。↓f是X×P里的闭集。令Cld(X×P)是X×P所有带有Hausdorff度量非空闭集构成的一个族，则∀A、B∈Cld(X×P)，

dH(A,B)=min{δ:A⊂Bd(B,δ),

B⊂Bd(A,δ)}。

其中d((x,p),(x′,p′))=max{d(x,p),d(x′,p′)。因此，(Cld(X×P),dH)是一个紧度量空间。∀A⊂C(X,P)，

↓A={↓f:f∈A}

是(Cld(X×P),dH)的一个子空间,空间↓A可以被视为一个函数空间。更一般地，对于一个拓扑空间X(不必是紧的或可度量的)和一个拓扑偏序集P，假定T是Cld(X×P)的一个拓扑以及A是从X到P所有映射(不需要一定是连续的)的集合的一个子集，其中∀f∈A，↓f∈Cld(X×P)。因此，作为(Cld(X×P),T)的一个子空间，我们能得到一个函数空间↓AT,即本文中的广义模糊函数空间。

文献[1-18]都讨论过空间↓AT。特别地，文献[8]给出了带有Fell拓扑的所有连续函数↓CF(X,R)可度量化的充要条件，其中R是带有通常拓扑和序的实数集。此外，许多研究为了确定这些空间的拓扑结构，使用了无限维拓扑作为工具。例如，著名的Curtis-Schori-West超空间定理指出：↓USCdH(X,{0,1}){0}同胚于希尔伯特立方体Q=[-1,1]ω(记作↓USCdH(X,{0,1}){0}≈Q)当且仅当X是Peano连续统，其中{0,1}是带有离散拓扑的两点集且0≤1，USC(X,{0,1})是所有X到{0,1}的上半连续函数集合，0是值域恒为0的函数[4,11]。Sakai等[10]证明了↓USCF(X,{0,1})≈Q当且仅当X是一个局部紧、局部连通以及没有紧分量的一个可分可度量空间。文献[19-27]给出了对所有可度量函数空间↓CF(X,I)，其中X是可度量的，I=[0,1]使用通常的拓扑和序。具体结论是：对一个可度量空间X，带有Fell拓扑的函数空间↓CF(X,I)可度量当且仅当X是一个局部紧可分可度量空间。此外，还有以下对同胚：

(↓USCF(X,I),↓CF(X,I))≈

其中:X0是X里所有离散点的集合;Σ={(xn∈Q):sup|xn|<1};c0={(xn∈Σ):limxn=0}。文献[18,20,23-24]证明若X是一个k空间且↓C(X,I)是可度量的，则

↓CUB(Si)={↓f∈C(X×T):maxf(X)∈

Si{vi}}。

此外，所有↓CUB(Si)都是可缩空间。

显然，⊥是(T,≼)的最小元同时是(T,≤)的最大元，∀t1、t2∈T有t1≼t2当且仅当t2≤t1，令除⊥之外的其他端点为(T,≤)的最小元。

树突(dendrite)是一个不包含简单闭曲线的Peano连续统。不同于树，树突在每一个顶点上可以有可数条边。文献[17]证明了如下结果：令X是只含有限个孤立点的有限紧可数空间，Y是一个有T上端点v的树突。对于偏序≼，有如下对同胚：

(Q,c0),

本文中，广义模糊函数空间↓C(X,(T,≤))和一般的模糊函数空间↓C(X,I)有很大区别。虽然值域都是紧的,但广义模糊函数空间的值域为有限树时，其上赋予的是偏序；而I=[0,1]的自然序显然是全序。这给拓扑性质带来很大变化，甚至有限树的不同偏序方向≤和≼都会对拓扑性质带来影响。例如，由文献[24]知，实际上↓C(X,(T,≤))是不连通的,而↓C(X,(Y,≼))≈c0是连通的。

令E是(T,≤)的边，其中E的上顶点vE在(T,≤)中。令

本文中所有枝S均如上定义。因此,视有限树(T,≤)为以上定义的枝，并且这些枝的交为空，其中一个包含最大元⊥的枝等距同构于[0,1]，其他枝等距同构于[0,1)。

2 定义和预备知识

本文中，X=[0,1]=I,T=(T,≤)是有限树，顶点为k阶意味着这个顶点与k个枝相交。每一个T中每一个非端点的顶点的阶都大于等于3。把↓C(X,(T,≤))写作↓C(X,T)。记|A|为集合A的基数，|AS|为其中枝的个数，由于本文讨论的是有限树，因此|AS|有限。

我们定义一些本文所需的概念。

定义1∀A∈Cld(X×T)，定义一个集值函数A:X→Cld*(T)，

A(x)={t∈T:(x,t)∈A}∈Cld*(T),

其中Cld*(T)=Cld(T)∪{∅}。∀A⊂T，若∃a∈A使得a等于A的上确界∨A，把a称作A的最大元，并记作maxA。令a(x)是A(x)的最大元。当A⊂X×T，则maxA=maxp(A)，其中p:X×T→T为投影函数。

定义2V(A)为A⊂T中所有的顶点，Sv为T内所有以v为上顶点的枝构成的族,Vv是Sv内所有枝的下顶点构成的集合。对T内的顶点v，u∈Vv，令T[v,u]=[u,v]∪↓u。

对任意T上的枝Si，i≤|TS|，令Si的上顶点为vi，利用以上定义可以定义本文中非常重要的几个闭集族。

定义3A={A∈Cld(X×T):∀x∈X,A(x)≠∅,A(x)存在唯一的最大元a(x)，当a(x)不是顶点时，A(x)=↓a(x)；当a(x)是顶点时，A(x)=↓a(x)或对某个u∈Va(x)，有A(x)=T[a(x),u]}。

由文献[27]中的引理7，对任意连通紧集A⊂T，maxA存在。特别地，∀f∈C(X,T)，maxf(X)存在。

实际上，由定理2的闭包表示，A(x)最大元a(x)存在性和maxA存在性不证自明。

注1在A的定义中，条件“对某个u∈Va(x),A(x)=T[a(x),u]”是必需的。举例，令X=I，T={0}×I∪[-1,1]×{0}，端点t=(0,1)是T的最大元，t1=(-1,0)和t2=(1,0)是T的最小元。定义X×T中的闭集A如下：

A={0}×([-1,0]×{0})∪{(x,(t,0))|

x∈(0,1],t≤cosx-1}⊂

X×([-1,0]×{0})。

∀n>2，n∈N，令fn:X→[1,0]×{0}T，映射定义如下：

因此,↓fn(x)X×([1,0]×{0}),↓fn∈↓C(X,T)，以及当n→∞时，函数列(↓fn)n∈N→A∈Cld(X×T)。然而,有A∈A。

我们定义如下关于端点的概念。

定义4∀A⊂(T,≤),定义

M(A)={m∈T:m是T的最小元且存在某个

a∈A使得m≤a}。

显然，∀m1、m2∈M(T,≤)，m1与m2不可比较。

由文献[27]中的引理2，有如下引理。

引理1对有限树T，以及前文定义的度量d和偏序≤，⊥是其最大元，有如下结果。

1)(T,≤)是一拓扑上半格，即∀t1、t2∈T，上确界t1∨t2存在，且上确界函数∨：T×T→T是连续的。此外，对每个非空A⊂T，上确界∨A存在。

2)∀t1、t2、s1、s2∈T,d(t1∨t2,s1∨s2)≤max{d(t1∨t2),d(s1∨s2)}。

5)∀a、b、c∈T，若a

6)∀a、b∈T，a,b是可比较的，当且仅当↓a∩↓b≠∅当且仅当M(a)∩M(b)≠∅。

7)∀t∈↓t1和t′∈↓t2，若t1、t2在T中是不可比较的，则t、t′不可比较。

引理2取v∈V(T)，ti∈T[v,ui]，其中i=1,2,ui∈Vv,u1≠u2，则t1∨t2=v。

证明取任意的t

3 广义模糊函数空间的稠密性

容易得到如下引理。

引理3若t1、t2∈T不可比较，则t1∨t2是T上的一个顶点。若t1、t2∈T可比较，则t1∨t2=t1或t1∨t2=t2。

引理4∀A∈A，v∈V(T)，令Ak=A∩[X×T[v,uk]]，其中u1、u2∈Vv，k=1,2。令p:X×T→X是投影映射。若∀x∈X都有a(x)

证明假定∃(x,t1)∈A1,(x,t2)∈A2，这里t1∈T[v,u1],t2∈T[v,u2]。由引理2，显然v=t1∨t2。由A的定义知(x,v)∈A，导出矛盾。

引理5∀A∈A，(x,t)、(x′,t′)∈A，其中x

Ak={(y,t)|y∈[x,x′],t≤a(y),a(y)∈

T[v,uk]},其中{u1,u2,…,un}=V。

由于∀y∈[x,x′],a(y)≠v，对1≤k≠k′≤n。令

A′={(y,t):y∈[x,x′],t∈A(y),

a(y)和v不可比较}=

A|[x,x′]={(y,t):y∈[x,x′],t∈A(y)}=

A′∪A1∪A2∪…∪Ak…∪An。

令投影函数p:X×T→X使得p(A|[x,x′])=[x,x′]。由引理4，∀1≤k≠k′≤n,p(A′)∩p(Ak)=∅,p(Ak)∩p(Ak′)=∅。此外，{p(A′),p(A1),p(A2),…,p(An)}是一族闭集，其中有至少2个集合是非空的，p(A′)∪p(A1)∪p(A2)∪…∪p(An)=[x,x′]=p(A|[x,x′])是连通的。矛盾。

由引理1的6)、引理5，得到定理1。

定理1对任意T上的枝Si，广义模糊函数子空间↓CUB(Si)在闭集族AUB(Si)上稠密，其中i≤|TS|。

{x(a,s)|(a,s)∈F}∪{0,1}=

记Si的上顶点为v′，maxA=a，取(x′,a(x′))=(x′,a)∈A，有以下两种情况。

这个新的有限序列{(xi,ti)}0≤i≤n有

(1)

若ti和ti+1不可比较，令vi=ti∨ti+1。

由公式(1)有dH(A,↓f)<ε。

4 广义模糊函数空间的闭包

由定理1，得到引理6。

证明注意到M(u)是有限集合，由A的定义，∃t∈M(u)，使得对无穷多个n，有t∈An(xn)。同样地，∃t′∈M(u′)，使得对无穷多个n，有t′∈An(xn)。因此,t∨t′=u∨u′=v。不失一般性，假定对所有奇数有t∈An(xn)，对所有偶数有t′∈An(xn)。

(2)

由引理6，易得如下引理。

引理7∀A∈A，v∈V(T)，u、u′是Vv中2个不同的顶点，t、t′∈T，x≤x′∈X。如果A(x)⊃↓t,t∈T[v,u]，A(x′)⊃↓t′,t′∈T[v,u′],其中t∨t′=v，t和t′都不是顶点，则∃x*∈[x,x′]，使得↓v⊂A(x*)。

由文献[28]，有如下引理。

引理8对任意紧连通序列(An)n∈N∈Cld(X×T)，当n→∞时，An→A，A是连通的。

由文献[27]中的引理7，有如下引理。

引理9对任意紧连通集合A⊂T，maxA存在。特别地，∀f∈C(X,T),maxf(X)存在。

为证A(X)有最大值，需要以下引理。

引理10对收敛列(An)n∈N∈A，若当n→∞，An→A∈Cld(X×T)，则∀x∈X，A(x)≠∅。

证明∀x∈X和n∈N，取tn∈An(x)≠∅。由于T是紧的，可以取子列{tnk}在k→∞时收敛于某个t∈T。由于当n→∞时，dH(An,A)→0，则当k→∞,

dH((x,t),Ank)≤d((x,t),(x,tnk))=

d(t,tnk)→0,

由于A和Ank都是紧集，(x,t)∈A，因此A(x)≠∅。

下面的引理可以提供连通性方面的证明工具。

引理11令(An)n∈N是A中的收敛序列，当n→∞时，An→A∈Cld(X×T)。∀x0∈X以及任意非顶点t0∈A(x0)，↓t0⊂A(x0)。

证明为了证明↓t0⊂A(x0)，只需验证∀t′∈↓t0{t0},t′∈A(x0)。由于t0不是一个顶点，∃ε>0使得B(t0,ε)内没有顶点且∀t∈B(t0,ε)均有t′

由引理1的2)及引理3、6、9、10、11可得如下引理。

引理12令(An)n∈N是A中的收敛序列，且当n→∞时，An→A∈Cld(X×T)。那么，∀x∈X,A(x)有最大元a(x)。

证明由引理10知A(x)≠∅。∀x∈X，为了证明A(x)有最大元a(x)，由引理9，需要证明A(x)在T里是连通的。由引理11，只需证∀t、t′∈A(x)，t∨t′∈A(x)。

以下引理揭示了An收敛和an(xn)收敛的关系。

引理13(An)n∈N∈A为一个收敛到A∈Cld(X×T)的收敛序列。对任意的收敛序列xn→x∈X，当n→∞时，an(xn)→a(x)，其中an(xn)是An(xn)的最大元，a(x)是A(x)的最大元。

证明我们将证明an(xn)→a(x)。为此，对每个子列ank(xnk)，因为An→A，所以存在子列anki(xnki),使得当i→∞时(xnki,anki(xnki))→(x,a*(x))。因为a*(x)∈A(x)，所以a*(x)≤a(x)。另一方面，存在一个收敛序列tnki∈Anki(xnki),使得当i→∞时tnki→a(x)。因为tnki≤anki(xnki)，所以a(x)≤a*(x)。因此，anki(xnki)→a*(x)=a(x)。

由引理1的6)及引理6、11、13，得到引理14。

引理14对任意T上的枝Si，对于任意一个收敛序列(An)n∈N∈AUB(Si)，令A是(An)n∈N的极限，其中i≤|Ts|。∀x∈X，A(x)仅有两种情况。

情况1A(x)=↓a(x)。

情况2a(x)∈V(T)且对某个u∈Va(x)∩↓Si，A(x)=T[a(x),u]。

进一步，令vi为枝Si的上顶点，∀x∈X，则存在某个u∈Vvi∩↓Si，使得A(x)=T[Vvi,u]；或者a(x)∈↓Si。

证明由引理10，当a(x)不是一个顶点时，A(x)=↓a(x)；同理，当a(x)是一个3阶顶点，A(x)=↓a(x)或存在某个u∈Va(x)∩↓Si，使得A(x)=T[a(x),u]；同理，当a(x)是一个4阶或者4阶以上的顶点时，A(x)=↓a(x)或对某个u∈Va(x)∩↓Si有A(x)=T[a(x),u]或对某个UVa(x)∩↓Si有其中1<|U|<|Va(x)∩↓Si|。

下面只需证明“当a(x)是一个4阶或者4阶以上的顶点时，对某个UVa(x)∩↓Si有其中1<|U|<|Va(x)∩↓Si|”这个情况不存在。假设当a(x)是一个4阶或者4阶以上的顶点,上面的情况存在。

由引理13，由于当n→∞时，An→A，所以存在收敛于x的序列(xn)⊂X，使得an(xn)→a(x)∈V(T)，其中an(xn)是An(xn)的最大元。不失一般性，因为在必要时，可以选择(An)的子列，所以我们只需考虑An(xn)的3种情况。

情况A∀n，An(xn)=↓an(xn)且an(xn)≥a(x)。

情况B∀n，对某个u0∈U，An(xn)⊂T[a(x),u0]。

情况C∀n，对某个u0∈Va(x)∩↓SiU，An(xn)⊂T[a(x),u0]。

以下进行分情况讨论。

情况A由于|U|<|Va(x)∩↓Si|，所以∃m∈M(a(x))M(U)。因为an(xn)≥a(x)，有(xn,m)∈An。由于An→A,xn→x，故(xn,m)∈A。但这与m∉M(U)和A(x)的定义矛盾。

情况C若u0∉U，取m∈M(u0)，则有(xn,m)∈An以及当n→∞时(xn,m)→(x,m)。已知An→A，由此可知(x,m)∈A。但因为u0∉U，所以(x,m)∉A。因此，导出矛盾。

令vi为枝Si的上顶点，u为枝Si的下顶点，假设有某个x∈X，使得a(x)∉↓Sivi。

那么必然有如下1种情况会出现：

i)a(x)>Si；

ii)∃u′∈Vvi,u′∉Si,A(x)=T[Vvi,u′]；

iii)A(x)=↓vi。

情况i)与引理13矛盾；情况ii)下，任取A′∈AUB(Si)，则dH(A,A′)>1，与A是(An)n∈N的极限矛盾；情况iii)下，同理,任取A′∈AUB(Si),则dH(A,A′)>1，与A是(An)n∈N的极限矛盾。证毕。

由引理10、12、14，我们可以证明以下引理。

引理15对任意T上的枝Si，闭集族AUB(Si)在超空间Cld(X×T)中是闭的，其中i≤|Ts|。

由定理1和引理15，我们可以证明以下定理。

证明由定理1，有∀Si⊂T,↓CUB(Si)在AUB(Si)上稠密。由引理15知,∀Si⊂T，闭集族AUB(Si)在超空间Cld(X×T)中是闭的。