创新设置，内容解读，目标定位，方法建议——以“平面向量及其应用”单元为例

马云辉

安徽省合肥市第八中学

单元教学是新课程改革与创新的一个主要场所.在实际教学中，必须以教材为基础，形成数学基本知识、数学思想方法和数学能力的合理融合，进行整体性与应用性的创新设置，尽量避免碎片化教学与学习，同时结合单元知识的基本脉络以及对应的单元知识进行合理的内容解读，利用教学进行目标定位，合理渗透，巧妙设计，并在实际教学中提供一些合理的方法建议，更好地服务于实际教学.

《平面向量及其应用》是人民教育出版社出版发行的普通高中教科书《数学》(必修第二册)(2019年6月第1版)的第六章，下面就其单元教学方面的几点总体设想加以展开与拓展.

1 创新设置

“平面向量及其应用”主要由原来教材的“平面向量”与“解三角形”两个部分综合而成，极具创新设置，知识融合自然巧妙.

1.1 平面向量

向量具有明确的几何背景和丰富的物理背景，其几何背景是有向线段，物理背景是力、速度、加速度、位移等.由此自然而然想到可以利用平面向量的相关知识与方法来解决一些简单的平面几何问题、对应的物理问题以及其他的相关应用问题.例如，利用平面向量的知识与方法可以解决平面内两条直线平行或垂直关系的判断，利用向量可以计算力对物体做的功等问题，以此提升直观想象、数学建模、逻辑推理和数学运算素养等.

1.2 解三角形

三角形是平面几何中最常见、最重要的图形之一，对三角形的边赋予方向，这些边就成了平面向量.三角形的边、角关系是三角形中最重要的关系之一，而余弦定理和正弦定理是刻画三角形边、角关系最为重要的两个定理，是勾股定理的延续与拓展，它们为解三角形提供了基本而最重要的工具.

2 内容解读

2.1 知识结构

结合《普通高中数学课程标准》的要求和学情，把“平面向量及其应用”分为四大节，大致20课时左右(加1课时总的复习课)，具体安排如下.

(1)平面向量的概念：约1课时.

(2)平面向量的运算：约8课时.其中，6.2.1向量的加法运算约1课时；6.2.2向量的减法运算约1课时；6.2.3向量的数乘运算约2课时；6.2.4向量的数量积约3课时；习题课约1课时.

(3)平面向量基本定理及坐标表示：约5课时.其中，6.3.1平面向量基本定理，6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示约1课时；6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示和6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示约2课时；6.3.5平面向量数量积的坐标表示约1课时；习题课约1课时.

(4)平面向量的应用：约5课时.其中，6.4.1平面几何中的向量方法和6.4.2向量在物理中的应用举例约1课时；6.4.3余弦定理、正弦定理约2课时；6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例约1课时；习题课约1课时.

上述课时分配仅供参考，各学校、各班级具体教学时，教师可以结合所授课班级学生的实际情况，适当增减课时数，主要目的就是达到加强基础知识的落实、增强向量的实际应用能力等.

2.2 内容分析

2.2.1 内容本质

向量具有明确的平面几何背景和丰富的物理背景，其几何背景是有向线段，物理背景是力、速度、加速度等，由此可以利用向量解决一些简单的平面几何问题和物理问题.以此提升直观想象、数学建模、逻辑推理等数学素养.三角形的边角关系是三角形中最重要的关系之一，而正弦定理与余弦定理是破解三角形中的边与角关系中最为重要与常用的两个基本定理，为了更好地体现向量的价值，可以借助向量的运算去探索三角形边长与角度之间的关系，突出向量在解三角形中的应用.

2.2.2 思想方法

蕴含了数形结合思想，利用向量来解决平面几何问题和物理问题，其过程中蕴含了化归和方程的思想，在推导正弦定理与余弦定理的过程中体现了从特殊到一般的推理，在正弦定理与余弦定理的应用中体现了从一般到特殊的演绎.

2.3 知识关联

向量的运算为解决平面几何问题和物理问题等提供了依据.初中我们学习了三角形中的边角关系是“大边对大角，小边对小角”，定性地研究过三角形边、角的关系，得到了SSS，SAS，ASA，AAS等判断三角形全等的方法，给出三角形六个元素中某些元素，这个三角形就唯一确定.那么正弦定理与余弦定理就把三角形的边角之间的关系由定性研究上升到定量研究.

2.4 教学重点

用平面向量的相关知识与基本方法来解决简单的平面几何问题、物理问题以及其他的实际应用问题的基本方法与常见步骤，用平面向量方法证明余弦定理和正弦定理以及余弦定理和正弦定理的应用等.

2.5 教学难点

把平面几何的问题、物理问题以及其他的实际应用问题等转化为平面向量的对应问题，余弦定理和正弦定理的证明与实际应用等.

3 目标定位

3.1 单元目标

(1)会用平面向量的相关知识与基本方法解决简单的平面几何问题、物理中的力学等相关问题以及其他的实际应用问题；体会平面向量在解决数学、其他相关学科以及实际应用问题中的作用.

(2)借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系.

(3)掌握余弦定理、正弦定理.

(4)能用余弦定理、正弦定理解决平面几何问题、相关物理问题以及一些简单的实际应用问题等.

3.2 目标定位

(1)会用平面向量的相关知识与基本方法解决简单的平面几何问题、物理中的力学等相关问题以及其他的实际应用问题；体会平面向量在解决数学、其他相关学科以及实际应用问题中的作用.

(2)理解并掌握解决平面向量问题的两个基本方法：基底法和坐标法.基底法要注意抓住几何特征，找准基底，利用向量运算解题；坐标法要结合实际建立恰当的坐标系用坐标表示向量，利用向量的坐标运算解题.

3.3 目标解析

(1)向量作为代数对象，它可以运算；作为几何对象，它可以刻画几何元素(点、线、面).通过向量运算可以刻画几何元素之间的关系，如直线的垂直、平行；利用向量的长度可以刻画长度、面积、体积等几何问题，从而可以把几何问题转化为向量问题.平面向量是在物理相关知识的背景下建立起来的，来源于物理，物理中的一些量，如位移、力、速度(或加速度)、功等都与平面向量有着密切的联系，又可以服务于物理，利用平面向量的相关知识与基本方法来解决一些相关的物理问题，解释物理现象，把物理问题转化为数学问题来解决.

(2)余弦定理除了借助平面几何中三角形的知识来证明外，课本中主要以平面向量的数量积为工具，巧妙将平面向量的模与三角形的边长、平面向量的夹角与三角形的内角等联系起来.同理，正弦定理的推导除了利用向量的数量积还利用了向量的加法.

(3)正弦定理与余弦定理各自都含有三个等式或方程，结合等式或方程的特征，在四个量的关系式中，“知三求一”，这是利用正弦定理与余弦定理破解解三角形问题的理论依据.同时注意三角函数的相关知识对解三角形的影响，必要时要进行合理的分类讨论.

(4)解三角形的实际应用问题，主要是借助三角形的基本性质、正弦定理、余弦定理等来分析与处理，合理构建实际问题与相应数学问题之间的联系，逐步提高应用数学知识解决实际应用问题的能力.

4 方法建议

4.1 问题诊断

用向量法解决平面几何和物理问题对学生来说是比较新的内容，学生对它的学习充满了探求的欲望.学生在学习本单元内容之前，已熟知了平面几何知识，具备了物理知识，这都为学习向量作好了各个方面的准备.平面向量既有代数形式又有几何意义，如何把向量用到平面几何或物理问题上，为什么用向量法证明正弦定理、余弦定理更优，这都要让学生充分操作、体悟、思考、总结，加强小组合作!

4.2 教学支持

(1)在本单元的教学中，借助教师的合理引导，充分培养学生的自主学习能力，通过合理自主探索、动手实践、小组合作、团队交流等学习方式，让学生切身体验数学的发现、概括、创造、应用等历程.平面向量是体现“形”与“数”融合的重要载体，充分展示数形结合思想、函数与方程思想等.

(2)利用信息技术工具(主要包括几何画板等)进行动态直观地演示，让学生自己体验线段长度相等、角度大小的变化等，也可以演示力的合成分解与位移的合成，帮助学生理解向量的加减运算和平面向量的基本定理.还可以利用思维导图软件XMind8帮助学生总结数学知识的基本规律和解题的通技通法.

(3)利用学案教学，合理沟通学生与教师之间的联系，提供教学的平台与学生练习的场所，并能作出合理有效的教学评价.Z